第4章电路定理.

重点:1.熟练掌握叠加定理、戴维南和诺顿定理3.了解对偶原理第4章电路定理(CircuitTheorems)2.掌握替代定理、特勒根定理和互易定理1.叠加定理i)响应是激励的线性函数+R1isusR2il2il1i2应用回路法，得电路的回路电流方程为：il1=isR2il1+(R1+R2)il2=us解得：2122RRiRuissl则sslliRRRuRRiii211212121a=1/(R1+R2)、b=R1/(R1+R2)令得到i2=aus+bis响应是激励的线性函数§4.1叠加定理(SuperpositionTheorem)ii)叠加定理当is=0，us0，即电压源单独作用saui)1(2+usR2)1(2iR1从电路上看isR2)2(2iR1当us=0，is0，即电流源单独作用sbii)2(2因此)2(2)1(22iii各电源单独作用在支路2上产生的电流叠加二电源共同作用从电路上看i2=aus+bis在线性电路中，任一支路电流(或电压)都是电路中各个独立电源单独作用时，在该支路产生的电流(或电压)的叠加。叠加定理：1.叠加定理只适用于线性电路求电压和电流；不适用于非线性电路。2.独立源单独作用有两种方式：一次作用或分组作用。受控源不能单独作用，而应保留在电路中。关于叠加定理的几点说明5.功率是u或i的二次函数，不能使用叠加定理。4.叠加时要注意u,i的参考方向，总量是各分量的代数和。6.叠加定理的重要性表现在线性电路的理论分析中。如戴维南定理的推导，非正弦周期电流电路的分析等。例：P＝Gu2=Ri2,以电流为例iiippiiRiRiRiiRp2)(2223.不作用电源置零：电压源短路代替电流源开路代替例1.求图中电压u。+–10V4A6+–4u解:(1)10V电压源单独作用，4A电流源开路u'=4V(2)4A电流源单独作用，10V电压源短路u=-42.4=-9.6V共同作用：u=u'+u=4+(-9.6)=-5.6V+–10V6+–4u'4A6+–4u''(1)10V电压源单独作用：(2)4A电流源单独作用：解:Us'=-10I1'+U1'Us=-10I1+U1”例2求电压Us。+–10V6I14A+–Us+–10I1410V+–6I1'+–10I1'4+–Us'+–U1'6I1''4AUs''+–10I1''4+–U1+–Us'=-10I1'+U1’=-10I1'+4I1'=-101+41=-6VUs=-10I1+U1”=-10(-1.6)+9.6=25.6V共同作用：Us=Us'+Us=-6+25.6=19.6VAI146101AI6.146441VU6.946464110V+–6I1'+–10I1'4+–Us'+–U1'+–6I1''4AUs''+–10I1''4+–U1思考：本例中在4支路上串接6V电压源重求Us（考虑电源分组作用）例3.图示电路中N0为无源电阻网络。当U1=2V,U2=3V时,IX=20A;又当U1=–2V,U2=1时，IX=0.若用有源电阻网络NS(除源后即为N0)替代N0，当U1=U2=0V时，IX=–10A，试求网络变换后，当U1=U2=5V时的电流IX。N0+–U1U2+–IX解：应用叠加定理，接N0时，IX=aU1+bU2利用已知条件2a＋3b＝20–2a＋b＝0解得：a＝2.5，b＝5接NS时应有IX=aU1+bU2+cU3式中U3为NS中的等效电源。代入已知条件可得cU3＝–10A当U1＝U2＝5V时，IX=2.5×5+5×5–10＝27.5AN0+–U1U2+–IX２．齐性原理（homogeneityproperty)在线性电路中，当所有激励(电压源和电压源)都同时增大或缩小K倍（K为实常数）时，响应(电压或电流)也将同样增大或缩小K倍。用齐性定理分析梯形电路特别有效例4:求图示梯形电路各支路电流20Ω2Ω+–Us2Ω2Ω20Ω20Ω120Vi1ABDCi2i3i5i42Ω+–Us2Ω2Ω20Ω20Ω120Vi1ABDCi2i3i5i4Ai15设AUiBC1.1204VUBC221)220(AUiBC1.1204Aiii1.21.11543ViiUAD2.26222.420243AUiAD31.1202给定US=120V根据齐性定理2Ω+–Us2Ω2Ω20Ω20Ω120Vi1ABDCi2i3i5i4AiKi38.1211AiKi76422.AiKi62733.VUiiUADs02.3382.620221Aiii41.31.231.13211203.6333.02SSUKU此法又称倒退法AiKi99.344AiKi63.355例5:用齐性定理重解例3N0+–U1U2+–IX图示电路中N0为无源电阻网络。当U1=2V,U2=3V时,IX=20A;又当U1=–2V,U2=1时，IX=0.若用有源电阻网络NS(除源后即为N0)替代N0，当U1=U2=0V时，IX=–10A，试求网络变换后，当U1=U2=5V时的电流IX。联立(1)、（2）式得IX1＝5A,IX2=15A已知NS中电源单独作用的贡献IX3=–10A当U1=U2＝5V时，再利用齐性定理IX=2.5×5+5/3×15–10＝27.5A设U1=2V单独作用时对IX贡献为IX1设U2=3V单独作用时对IX贡献为IX2则IX1+IX2=20(1)利用齐性定理，当U1=–2V,U2=1时有–IX1+1/3IX2=0(2)解：§4.2替代定理(SubstitutionTheorem)定理：给定任意一个线性电阻电路，其中第k条支路的电压Uk和电流ik已知，那么这条支路就可以用一个电压等于Uk的独立电压源，或是用一个电流等于ik的独立电流源来替代，替代后电路电路中全部电压和电流均将保持原值。ikAAik+–uk支路kA+–uk注意：第k条支路可以是有源的，也可以是无源的，但一般不应含受控源或受控源的控制量。替代定理证明（以电压源替代为例）∵替代前后两个电路的拓扑图相同∴两个电路的KCL和KVL方程相同∵用us=uk的电压源替代第k条支路后，不会引起k条支路所在回路其它支路电压的变化∴由此推及所有的支路电压都不会变化。∵除替代支路外其它支路的元件约束关系不变。∴其它支路的支路电流不变。∵第k条支路的电压源对电流无约束，决定于外电路，而外电路的电流不变。∴第k条支路的电流亦不变。若用电流源替代也可以作类似证明。说明1.替代定理适用于线性、非线性电路、定常和时变电路。ii)被替代的支路和电路其它部分应无耦合关系i)原电路和替代后的电路必须有唯一解??2.替代定理的应用必须满足的条件:满足不满足2.5A1.5A1A10V5V2510V5V25V2.5A1V+-A1AB1V+_BA1A11V+-A1AB1A+-?定理示例：i1i2i3+6Ω–8Ω4Ω+–4V20V10u3Ai14483Ai1882Ai26820113841816144620nuVu8Ωi1i2i3+6Ω–+–8V20V108Ωi1i2i3+6Ω–20V101AVun81Ai268201Ai1882Aiii112213Vun8816116201Ai21Ai13Ai1882§4.3戴维南定理和诺顿定理(Thevenin-NortonTheorem)1.戴维南定理：两个概念外电路Nsba–u+i断开外电路+uoc–Nsbai=0含源一端口的开路电压bN0a将NS断中独立源置零N0：不含独立源的一端口，可等效为一电阻ReqReqNs:含源一端口NS外电路iau–+bReq外电路iauOCb+–Req=Rin戴维南定理：任何一个含有独立电源、线性电阻和线性受控源的一端口，对外电路来说，可以用一个电压源和电阻的串联组合来等效替代，该电压源的电压等于端口的开路电压Uoc，电阻等于端口中所有独立源置零后端口的输入电阻Rin。证明的目标是含源一端口Ns的u~i关系与戴维南等效电路端口的u~i关系一致。这一目标应与外电路无关，为简化证明，外电路设为一电阻R0。证明NSR0iau–+bReqiauOCb+–R0+–u戴维南定理的证明NSR0iau–+bReqiauOCb+–R0+–uNSau'=uoc–+bi'=0NSis=iiau–+b替代叠加+电源分组作用is单独作用，Ns中所有独立源置零：u=–ReqiN0is=ii=iu–+baReqis不作用u'=uoc由叠加定理：u=u'+u=uoc–Reqi也是Req与uoc串联组合端口的u~i关系证明定理得证2.诺顿定理abISCNSN0Ginab任何一个含独立电源、线性电阻和线性受控源的一端口，对外电路来说，可以用一个电流源和电导的并联来等效替代，其中电流源的电流等于该一端口的短路电流，而电导等于把该一端口的全部独立电源置零后的输入电导。诺顿定理：abNS外电路+–uiiab+–uGinIsc外电路证明:戴维南电源变换abNSi=0（a）显然，(a)图与(c)图等效，isc＝uoc/Rin,诺顿定理得证。戴维南定理与诺顿定理统称为等效发电机定理。定理说明了含源一端口有两种等效电路。求含源一端口的戴维南等效电路或诺顿定等效电路：归结为求端口的uoc、isc及Rin。（b）Uoc+–RinabGinIsc（c）baReq的求法ii）在Ns中求uoc和isc，利用公式scoceqiuRi）在N0中a）N0中不含受控源时，可用电阻的串并联，Δ－Y变换求Reqb）外加电源求N0的输入电阻Rin，Req＝Rin注意事项i）应用等效发电机定理时，Ns与外电路间不能有受控源联系。ii）由Ns求N0受控源要保留在电路中。例1.求图示电路的戴维南定理1K1K＋–10V0.5ii＋–uoc(a)1K1K0.5iius＋–(b)解：求uoci＝0，0.5i＝0uoc＝10V两种方法求Reqi）外加电压源us如图(b)us＝1000×0.5i+1000i＝1500i1500iuRseqi'i'=0.5iii）如图(c)将端口短路求isci＝isci＝–1/150A1500150/110iuiuRocscoceq注意uoc和isc的参考方向。戴维南等效电路由KVL：1000×0.5i＋1000i+10＝01K1K＋–10V0.5iiisc图(c)10V+–1.5K例2在图示电路中，当R=5,R=13时分别求电流I.10A2＋–40VR8102uoc=uab=uac=2×10+40=60VReq=2+[10∥(8+2)]=7解：1）开路电压2）求Req＋–60V7RabI3）原电路等效为如下电路所以R=5时:I=60/(7+5)=5AR=13时:I=60/(7+13)=3A10A2＋–40V8102abuocc解：(1)求开路电压UocUoc=6I1+3I1I1=9/9=1A电路如图，求UR。例3解法一：解得：Uoc=9V36I1+–9V+–UR+–6I113+–Req3UR-+Uoc36I1+–9V+–+–6I1Uoc(2)求等效电阻Req方法i):开路电压、短路电流法36I1+–9VIsc+–6I1又Uoc=9V,则由于3I1=-6I1I1=0∴Isc=9/6=1.5A6+–9VIscReq=Uoc/Isc=9/1.5=6方法ii)除源伏安法（独立源置零，受控源保留）U=6I1+3I1=9I1I1=I6/(6+3)=(2/3)IReq=U/I=6U=9(2/3)I=6I(3)等效电路V39363RUUoc+–Req3UR-+36I1+–6I1U+–I解法二：有源伏安法