第5章动态电路的时域分析.

电工技术第5章动态电路的时域分析上一页下一页目录返回退出引例闪光灯电路充放电问题？延时问题？R1RL＋－UsU＋－Ci12直流电源电子开关110VR1R270V氖灯C0.1mFSS1usRLS1usS2磁场线圈等效继电器电路RC延时电路上一页下一页目录返回退出本章教学内容5.1电容元件5.2电感元件5.3动态电路方程5.4一阶电路的零输入响应5.5一阶电路的零状态响应5.6一阶电路的全响应及三要素法上一页下一页目录返回退出本章重点内容电容元件和电感元件的特性动态电路方程的列写、求解及初始条件的确定一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应一阶电路的三要素法上一页下一页目录返回退出第5章动态电路的时域分析前面四章讨论的内容主要局限于电阻电路。实际上，大量实际电路并不能只用电阻和受控源来构建它们的模型，还必须包含有电容元件和电感元件等。电容和电感元件都能够储存能量，称为储能元件，其端口电压电流关系要用微分方程来描述，所以又称为动态元件。含有动态元件（即储能元件）的电路称为动态电路。动态电路是用微分方程来描述的，所以对这种电路的分析要涉及对微分方程的求解。在动态电路分析中，激励和响应都表示为时间的函数，采用微分方程求解电路和分析电路的方法，称时域分析方法。上一页下一页目录返回退出5.1电容元件电容元件的定义：一个二端元件，如果在任一时刻t，它所储存的电荷q和它的端电压u之间的关系是由qu平面上的一条曲线所确定，则此二端元件称为电容元件。这条曲线称库伏特性曲线。_+qquuqO上一页下一页目录返回退出5.1电容元件（续1）线性时不变电容元件：任何时刻，电容元件极板上的电荷q与电压u成正比。q-u特性曲线是过原点的直线。uqOCuq电路符号_+uiC单位：法[拉](F)1F=106mF，1mF=106pF上一页下一页目录返回退出电压－电流关系tuCtCutqiddd)(ddd当电压和电流取关联参考方向动态元件u为直流时，电容相当于开路隔直通交tiCtud)(1)(tttiCdiCtu00d)(1)(1)(000d)(1)()(ttiCtututt“记忆”特性5.1电容元件（续2）_+uiCVCR的微分形式VCR的积分形式上一页下一页目录返回退出5.1电容元件（续3）电容电压的连续性质000d)(1)()(ttiCtututtCCC当电容电流有界时，)()(tutuCC当流过电容的电流有界时，电容电压不能跃变。储能)(21)(2tCutWC上一页下一页目录返回退出5.1电容元件（续4）几种常见电容器的外形图(a)空气可变电容器(b)纸介电容器(c)云母电容器(d)陶瓷电容器(e)铝电解电容器(f)贴片陶瓷电容器上一页下一页目录返回退出实际电容器的模型5.1电容元件（续5）上一页下一页目录返回退出5.1电容元件（续6）例1如图(a)所示电路中电容与电压源连接，已知电压源电压波形如图(b)所示，试求电容电流及电容的储能。解由图(b)所示波形曲线，可求得电压源电压的表达式为4(00.25s)1(0.25s0.5s)41(0.5s0.75s)88(0.75s1s)tttutttt+_uiC1F(a)2O10.250.50.751t/su/V(b)上一页下一页目录返回退出5.1电容元件（续7）则电容电流为：4i(A)10.5Ot(s)-80.250.75电容电流随时间变化的波形曲线4(00.25s)0(0.25s0.5s)4(0.5s0.75s)8(0.75s1s)ttduiCtdtttuCdd上一页下一页目录返回退出5.1电容元件（续8）则电容的储能为：22228(00.25s)0.5(0.25s0.5s)12840.5(0.5s0.75s)326432(0.75s1s)CtttwCutttttt2wC(J)10.5Ot(s)0.50.250.75电容储能随时间变化的波形曲线上一页下一页目录返回退出例2如图(a)所示电路中电容与电流源连接，已知电流源电流波形如图(b)所示，试求电容电压及电容吸收的功率。假设u(0)=0V。解：由图(b)所示波形曲线，可求得电流的表达式为2(00.5s)21(0.5s1s)ttitt5.1电容元件（续9）+_uiC1F(a)O0.51i/At/s(b)上一页下一页目录返回退出5.1电容元件（续10）当0≤t0.5s时2001(0)()2ttuuiddtC当0.5s≤t≤1s时220.50.51(0.5)()0.5(21)0.5ttuuiddttC0.5u(V),p(W)10.5O0.25upt(s)电容电压随时间变化的曲线如图中实线所示上一页下一页目录返回退出5.1电容元件（续11）3222)()()(ttttitutp电容吸收的功率为当0≤t0.5s时当0.5s≤t≤1s时5.0232)12()5.0()(232tttttttp0.5u(V),p(W)10.5O0.25upt(s)电容吸收的功率随时间变化的曲线如图中虚线所示上一页下一页目录返回退出5.1电感元件电感元件的定义：一个二端元件，如果在任一时刻t，它的磁链ψ与流过它的电流i之间的关系是由ψ-i平面上的一条曲线所确定，则此二端元件称为电感元件。这条曲线称韦安特性曲线。i(t)ψ(t)＝N(t)iψo上一页下一页目录返回退出5.1电感元件（续1）线性时不变电感元件：任何时刻，通过电感元件的电流i与其磁链ψ成正比。ψ-i特性为过原点的直线。LiΨ电路符号单位：亨[利](Ｈ)1H=103mH=106mHiOΨ_+uiL上一页下一页目录返回退出电压－电流关系当电压和电流取关联参考方向动态元件i为直流时，电感相当于短路“记忆”特性5.1电感元件（续2）VCR的微分形式VCR的积分形式tiLtLitΨuddd)(dddtuLtid)(1)(tttuLduLti00d)(1)(1)(000d)(1)()(ttuLtititt_+uiL上一页下一页目录返回退出5.1电感元件（续3）电感电流的连续性质当电感电压有界时，当电感电压有界时，电感电流不能跃变。储能)(21)(2tLitWC000d)(1)()(ttuLtitittLLL)()(titiLL上一页下一页目录返回退出5.1电感元件（续4）几种常见电感器的外形图(a)空心电感器(b)铁心电感器(c)磁心电感器(d)贴片电感器上一页下一页目录返回退出实际电感线圈的模型5.1电感元件（续5）上一页下一页目录返回退出5.3动态电路方程含有动态元件电容或电感的电路称为动态电路。动态电路可以用微分方程来描述。当动态电路状态发生改变时，需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。动态电路稳态的改变,是由电路的接通、断开、改接及电路元件的突然变化等原因所引起的,这些变化统称为“换路”。动态电路产生过渡过程的内因是含有动态元件，即储能元件；外因是“换路”。上一页下一页目录返回退出5.3动态电路方程（续1）t=0+uC-+US-CRSRiStOuC过渡过程0)(Cu稳态2S)0(UuC稳态1上一页下一页目录返回退出500kV断路器5.3动态电路方程（续2）上一页下一页目录返回退出5.3.1动态电路方程的列写动态电路方程的列写依然是根据KCL、KVL和元件的VCR。一般情况下，对于线性非时变动态电路，只含单一响应变量的动态电路方程通常为常系数线性微分方程。_+iCR++__RuCuSu左图为含有一个电容元件的动态电路。根据KVL得SuuuCRRiuRtuCiCdd将和代入上式得SdduutuRCCC一阶电路上一页下一页目录返回退出5.3.1动态电路方程的列写（续1）_+iCR++__RuCuSu+_LuL由KVL和各元件方程得)()(d)(d)(sctututtiLtRittuCtid)(d)(cS22dddduutuRCtuLCCCC二阶电路电路中有多个动态元件，描述电路的方程是高阶微分方程。)(dddddd01111texatxatxatxannnnnnn阶电路上一页下一页目录返回退出5.3.2一阶微分方程的求解求解一阶常微分方程的经典法设一阶微分方程bxtxaddDtx)(0其通解由两部分组成，即)()()(phtxtxtx)(htx为对应的齐次微分方程的通解，其中)(ptx方程的一个特解。为非齐次微分atktxe)(hbtx)(patbDk0ebktxate)(上一页下一页目录返回退出5.3.2一阶微分方程的求解（续1）bktxate)(自由分量（也称暂态分量）atkeb强制分量（也称稳态分量）bxtxaddDtx)(0上一页下一页目录返回退出5.3.3初始条件的确定换路时刻在电路分析中，认为换路是在瞬间完成的。为了叙述方便，通常把换路前的最终时刻记为t=0-，把换路后的最初时刻记为t=0＋。t=0＋时刻的电压、电流值称为初始值。换路定则)0()0(CCuu)0()0(LLii在换路前后电容电流和电感电压为有限值的条件下，换路前后瞬间电容电压和电感电流不能跃变。上一页下一页目录返回退出5.3.3初始条件的确定（续1）例1求开关闭合后电容电压的初始值uC(0+)及各支路电流的初始值i1(0+)、i2(0+)、iC(0+)。解：（1）画出t=0-时的等效电路V12)0()0(CCuu（2）由换路定则得V12)0(Cu上一页下一页目录返回退出5.3.3初始条件的确定（续2）（3）画出t=0＋时的等效电路A0)0()0(1s1RuUiCmA6)0()0(22RuiCmA6)0()0()0(21iiiCt=0＋时电容用电压源替代上一页下一页目录返回退出5.3.3初始条件的确定（续3）例2求开关闭合后电感电流的初始值iL(0+)、电感电压的初始值uL(0+)以及其它两个支路电流的初始值i(0+)和is(0+)。解：（1）画出t=0-时的等效电路A1A4610)0(21SRRUiL上一页下一页目录返回退出5.3.3初始条件的确定（续4）（2）由换路定则得A1)0()0(LLii（3）画出t=0＋时的等效电路V4)0()0(2LLiRuA67.1A610)0(1sRUiA67.0)0(0)0(sLiiit=0＋时电感用电流源替代上一页下一页目录返回退出5.3.3初始条件的确定（续5）例3求图示电路中各支路电流及电感电压的初始值，设换路前电路处于稳态。t=0+8V-+uC-+uL-RR14ΩR34ΩR24ΩiLi1iCCLU2Ωi解：+8V-+uC-RR14ΩR34ΩR24ΩiLi1iCCLU2ΩiV4)0()0(A12444)0()0(3311LCLiRuiRRRiV4)0()0(CCuuA1)0()0(LLii上一页下一页目录返回退出5.3.3初始条件的确定（续6）t=0+8V-+uC-+uL-RR14ΩR34ΩR24ΩiLi1iCCLU2Ωi)0()0()0()0()0()0(2LCCCiiiUuRiRi1)0()0(84)0(4)0(2CCiiii代入数据得：解之得V34414431)0()0()0()0(A31)0(,A34)0(32RiuRiuiiLCCLC上一页下一页目录返回退出5.3.3初始条件的确定（续7）求初始值的步骤由换路前电路（稳定状态）求uC(0－)和i