高等数学练习册(下)

·高等数学练习册·[第七章]空间解析几何与向量代数-1-习题8-1向量及其线性运算1．填空题：（1）已知某向量b与a平行，方向相反，且ab2，则b由a表示为.（2）已知梯形BCOABC,∥AO且AOBC21，若bCOaAO,，则BA.（3）点M（2，-3，-1）关于yoz坐标面对称点为1M.（4）点（4，-3，5）到oy轴的距离为.（5）一向量的终点在点)7,1,2(B，它在x轴，y轴和z轴上的投影依次为4，-4和7，则这向量的起点A的坐标为.（6）设向量r的模是4，它与轴u的夹角是60，则r在u上的投影为.（7）力)5,4,3(),4,3,2(),3,2,1(321FFF同时作用于一点，则合力F的大小为.（8）已知)3,1,7(),5,0,4(BA则与AB同方向的单位向量e.班级：姓名：学号：-2-2．设C点位于线段AB上，且分AB为m:n，已知线段端点A及B的矢径是1r和2r，求证C点的矢径为nmrmrnr21.3．在yoz面上，求与三点)2,2,4(),2,1,3(BA和)1,5,0(C等距离的点.·高等数学练习册·[第七章]空间解析几何与向量代数-3-4．已知向量a与三坐标轴成相等的锐角，求它的方向余弦，若2a，求向量的坐标.5．设358,247mijknijk和54pijk，求向量43amnp在x轴上的投影及在y轴上的分向量.班级：姓名：学号：-4-6．一向量的终点在B（2，-1，7），它在X轴﹑Y轴和Z轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量的起点A的坐标。·高等数学练习册·[第七章]空间解析几何与向量代数-5-习题8-2数量积、向量积1．填空题：（1）已知cba,,为单位向量，且满足0cba，则accbba.（2）若向量b与向量)2,1,2(a共线，且18ba，则b.（3）已知5,3ba，问时，ba与ba相互垂直.（4）已知7,3,2baba，则),(ba=.（5）已知a与b垂直，且12,5ba，则ba，ba.（6）向量cba,,两两垂直，且3,2,1cba，则cbas的长度为.2．已知(4,1,1),(2,1,2)ab，试求：（1）a与b的夹角；（2）a在b上的投影.班级：姓名：学号：-6-3．已知)2,1,1(1M、)1,3,3(2M和),3,1,3(3M求与21MM，32MM同时垂直的单位向量.4．已知三点O（0，0，0）﹑A（1，0，3）﹑B（0，1，3），求OAB的面积.·高等数学练习册·[第七章]空间解析几何与向量代数-7-习题8-3曲面及其方程（一）1．填空题：（1）以点（1,2,3）为球心，且过点（0,0,1）的球面方程是.（2）将xoz坐标面上的抛物线xz52绕ox轴旋转而成的曲面方程是.（3）将xoy坐标面上的圆2)1(22yx绕oy轴旋转一周所生成的球面方程是，且球心坐标是，半径为.（4）方程0322222zyx表示旋转曲面，它的旋转轴是.（5）方程zy2在平面解析几何中表示，在空间解析几何中表示.2．画出下列各图：（1）22194xz.班级：姓名：学号：-8-（2）yoz坐标面上的抛物线2zy绕oz轴旋转一周而成的曲面.（3）由1,122yxzx和0z所围立体的表面.·高等数学练习册·[第七章]空间解析几何与向量代数-9-习题8-3曲面及其方程（二）1．画出下列不等式所确定的空间区域：（1）0),(4,12222zyxzyx；（2）223()3xyz班级：姓名：学号：-10-（3）2220zaxy（4）222222,,0,0,0.xyRxzRxyz·高等数学练习册·[第七章]空间解析几何与向量代数-11-习题8-4空间曲线及其方程1．填空题：（1）在空间直角坐标系中方程0214922xzy表示.（2）用平面hx去截双叶双曲面1222222czbyax，所得截痕是；若用平面22()ykkb截上述曲面所得截痕是.（3）二次曲面2222byaxz与平面hy相截，其截痕是空间中的.（4）曲面zyx22在xoz坐标面上的截痕是.（5）双曲抛物面zyx2322与xoy坐标面的交线是.（6）由曲面22yxz与222yxRz所围成的有界区域用不等式组可表示为.2．指出下列方程所表示的曲线：（1）2223471xyzy（2）408422yxzy班级：姓名：学号：-12-3．求半球面225zxy及旋转抛物面224xyz的交线在xoy面上的投影曲线的方程.4．求旋转抛物面)40(22zyxz在三坐标面上的投影.·高等数学练习册·[第七章]空间解析几何与向量代数-13-习题8-5平面及其方程1．填空题：（1）过点（3,0,-1）且与平面012573zyx平行的平面方程为.（2）过两点（4,0,-2）和（5,1,7）且平行于ox轴的平面方程为.（3）若平面01111DzCyBxA与平面02222DzCyBxA互相垂直，则充要条件是；若上两平面互相平行，则充要条件是.（4）设平面092:zkyx，若过点（5，-4，-6），则k；又若与平面03342zyx垂直，则k.（5）一平面过点（6,-10,1），它在ox轴上的截距为-3，在oz轴上的截距为2，则该平面方程是.（6）一平面与02:1zyx及1:2yx都垂直，则该平面法向量为.2．求过（1，1，-1）、（-2，-2，2）和（1，-1，2）三点的平面方程班级：姓名：学号：-14-3．求点（1，2，1）到平面22100xyz的距离.4．一平面过点（2,1,-1）且平行于向量a=（3,0,1）和b=（4,-1,2），试求这平面方程.·高等数学练习册·[第七章]空间解析几何与向量代数-15-习题8-6空间直线及其方程1．填空题：（1）过点（4,-1,3）且平行于直线5123zyx的直线方程为.（2）过两点（3,-2,1）和（-1,0,2）的直线方程为.（3）直线421zyxzyx的对称式方程为，参数方程为.（4）过点（2,0,-3）与直线1253742zyxzyx垂直的平面方程为.（5）直线211232:zyxL和平面08332:zyx的交点是.（6）直线003zyxzyx与平面01yx的夹角为2．证明直线127:27xyzLxyz与直线13638:20xyzLxyz平行.班级：姓名：学号：-16-3．求过点（1，2，1）且与两直线1210:10xyzLxyz和220:0xyzLxyz平行的平面方程.4．求直线2403290xyzxyz在平面410xyz上的投影直线的方程.·高等数学练习册·[第八章]多元函数微分法及其应用-17-习题9-1多元函数的基本概念1．填空题：（1）已知vuwwuwvuf),,(，则),,(xyyxyxf.（2）函数)1ln(4222yxyxz的定义域是.（3）函数222222221(0)uRxyzRrxyzr的定义域是.（4）xxyyxsinlim)0,0(),(.（5）2222)0,0(),()cos(1limyxyxyx.（6）函数xyxyz2222在间断.2．求下列极限：（1）2222(,)(0,0)42limxyxyxy班级：姓名：学号：-18-（2）yxxyxx2)11(lim0(3)22(,)(0,0)limxyxyxy·高等数学练习册·[第八章]多元函数微分法及其应用-19-(4)222222(,)(0,0)1cos()lim()xyxyxyxye3．证明：极限242)0,0(),(limyxyxyx不存在.班级：姓名：学号：-20-4．函数)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin),(22yxyxyxxyxf在（0,0）处是否连续？为什么？·高等数学练习册·[第八章]多元函数微分法及其应用-21-习题9-2，9-3偏导数，全微分1．填空题：（1）ln(),zzxyx，yz（2）xzxyzy,)1(，yz（3）xuxuzy,，zu（4）22,arctanxzxyz，yxz2（5）已知duxuyz,（6）已知)2,1(22),1ln(dzyxz2．设(,)(1)arcsinxfxyxyy，求(,1)xfx.班级：姓名：学号：-22-3．设),(yxf在点),(ba处的偏导数存在，求xbxafbxafx),(),(lim04．求函数0,00,),(2222242yxyxyxyxyxf在点（0,0）处的一阶偏导数，并证明此函数在该点不连续。·高等数学练习册·[第八章]多元函数微分法及其应用-23-5．验证222rxyz满足2222222rrrxyzr。班级：姓名：学号：-24-6．求下列函数的全微分：（1）23stust（2）设zyxzyxf1)(),,(，求)1,1,1(df·高等数学练习册·[第八章]多元函数微分法及其应用-25-习题9-4多元复合函数的求导法则1．填空题：（1）设vuzln2而yxvyxu23,，则xz=，yz.（2）设)arcsin(yxz，而34,3tytx，则dtdz.（3）设1)(2azyeuax，而xzxaycos,sin，则dxdu（4）设)arctan(xyz，而xey，则dxdz.（5）),(22xyeyxfu，则xu，yu.（6）),,(xyzxyxfu，则xu，yu，zu.班级：姓名：学号：-26-2．设1()(),zfxyyfxyfy具有二阶连续导数，求yxz2.3．设(,)xzfxy具有二阶连续偏导数，求22xz.·高等数学练习册·[第八章]多元函数微分法及其应用-27-4．设22(sin,),zfxxyf具有二阶连续偏导数，求yxz2.5．设feyxfzyx),,cos,(sin具有二阶连续偏导数，求22xz.班级：姓名：学号：-28-6．设函数(,)()()()xyxyzxyxyxytdt，其中函数具有二阶连续导数，具有一阶导数，证明：22220zzxy.·高等数学练习册·[第八章]多元函数微分法及其应用-29-习题9-5隐函数的求导公式1．填空题：（1）设xyyxarctanln22，则dxdy（2）设022xyzzyx，则xz，yz（3）设yzzxln，则xz，yz（4）设0xyzez，则22xz（6）设),(),,(yxvvyxuu由uvveyuex确定，则xu，yu2．设2sin(23)23xyzxyz，证明1zzxy.班级：姓名：学号：-30-3．设),(vu具有连续偏导数，证明由方程0),(bzcyazcx所确定的函数),(yxfz满足cyzbxza.4．设23(,,),ufxyzxyz其中z是方程22230xyzxyz所确定的x﹑y的函数，求(1,1,1)ux