第5章随机信号分析.

第5章随机信号分析随机信号简介随机信号的相关分析随机信号的功率谱估计谱估计应用中的问题平稳随机信号通过线性系统本章主要内容5.1随机信号简介是时间t或n的函数，没有明确的数学关系。样本无穷多，持续时间无穷长。对任一时刻t的集合构成一个随机变量，随着t的变化我们得到无穷多个随机变量。用描述随机变量的方法来描述随机信号。,,2,1),(itxi组成随机过程的样本函数总体随机信号描述NkkNxtxNtm111)(1lim)(均值：NkkkNx)t(x)t(xNlim)t,t(R111111自相关函数：平稳随机过程均值和时间无关，是常数；自相关函数与时间的起点无关，只与两点的时间差有关。不同样本函数计算的均值、自相关函数都一样，则称此随机过程为各态遍历的。非平稳随机过程包括所有不满足平稳性要求的随机过程。非平稳随机过程的特性一般是随时间而变化的。5.2随机信号的相关分析一、自相关函数及应用1定义•一般随机信号dxtxxptXEtXX);()]([)(**12121211(,){()()}lim(,)(,)NXNiRnnEXnXnxnixniN11(){()}lim(,)NXNinEXnxniN212121212121),;,()]()([),(dxdxttxxpxxtXtXEttRXXdxtxxptXEtXX);()]([)(概率密度•广义平稳随机信号•各态遍历随机信号)}()({)(),(*21mnXnXEmRnnRXX12nnm)}({)(nXEnXXxNNnNXnxNnXE)(121lim)}({)()()(121lim)}()({)(mRmnxnxNmnXnXEmRxNNnNX2.性质性质1若是实信号，性质2性质3周期平稳过程的自相关函数必是周期函数，且与过程的周期相同。()()XXRmRm)(nX)()0(mRRXX性质4性质5不包含任何周期分量的非周期平稳过程满足)]([2nXE2[()](0)=XREXn2)()(limXXXmRmR3.估计直接估计)()(1)(10^mnxnxNmRNnx)()(1)(10^mnxnxmNmRmNnx快速计算——利用FFT来实现的快速计算)()(1)(10^mnxnxNmRNnNNx求傅立叶变换，得mjNNmNNnNmjNNmxemnxnxNemR)()(1)(1)1(101)1(^mjNnNNmNNemnxnxN)()(1101)1(1201,...,1,0)()(2NnNNnnxnxNNmjNNmxemR)(1)1(^)(1201)1(22)()(1mnjNnNNmNnjNemnxenxN令l=n+m2212012022)(1)()(1jNljNnNlNnjNeXNelxenxNmjNNmxemR)(1)1(^22)(1jNeXN自相关函数和的功率谱是一对傅立叶变换)(^mRx)(2nxN4自相关函数的应用检测淹没在随机噪声中的周期信号)sin()(0txtxdtttxTRTTTx])(sin[)sin(1lim)(2/2/20)(tddt1令,则2200()sin[sincossincos]cos22xxxRtd汽车前桥和车身上振动加速度自相关函数二、互相关函数及应用1定义•一般随机信号dxdyttyxpxytYtXEttRYXXY),;,()]()([),(21,2121联合概率密度)]()([),(21*21nYnXEnnRXY•广义平稳随机信号•各态遍历随机信号121221(,)[()()]()XYXYRttEXtYtRtt)]()([),(*21mnXnXEnnRXYdttytxTtytxERTTNxy)()(21lim)]()([)()()(121lim)]()([)(mnynxNmnynxEmRNNnNxy2、性质互相关函数与均值、标准差有如下关系不是偶函数，也不对称。)()(yxxyRRyxyxxyyxyxR)(xyR0xyxyxy若与是两个完全独立无关的信号，则的最大峰值一般不在处。()0xyR0)(tx()yt()xyR直接方法：mNnxymnynxmNmR10^)()(1)(mNnyxmnxnymNmR10^)()(1)(3.估计快速傅立叶变换先通过FFT求得互谱，然后计算互谱的逆傅里叶变换。knXFFTxknYFFTyxyxyRIFFTYXNP*1测量滞后时间当系统的输出与输入之间有一定的时间差时，互相关函数在时间差等于信号通过系统所需时间值时，将出现峰值。设信号传播速度为，a和b两点距离，则信号由a点传播到b点的时间延迟VLVLL4互相关函数的应用热轧钢运动速度测定图5.3.5汽车脉冲试验互相关函数(车速60km/h,采样间隔30ms,采样段1)()xy0.15~0.18滞后s1.945s()()方向盘转角角速度xtyt互相关测定油管裂损位置'vs21确定传递通道检拾和回收噪声中的信号系统识别互相关函数测试框图测定系统的频率响应原理图})kmn(x)k(h)n(x{E)}mn(y)n(x{E)m(Rkxy)}kmn(x)n(x{E)k(hk)()(kmRkhxxk)m(h*)m(Rxx)m(h)m(Rxy互相关FFT()hn()jHe()xn()yn()()xyRmhm2()jNHe随机信号的功率谱密度功率谱密度性质功率谱密度与自相关函数的关系功率谱估计的方法功率谱估计的应用互谱密度及其估计5.3随机信号的功率谱估计一、随机信号的功率谱密度()()()TjtjtTTTTXxtedtxtedt1()()2jtTTxtXed1定义TtTttxtxT,0,)()(t()xtTT0由于是随机过程的一个样本函数，取哪一个样本函数取决于试验结果，且是随机的。因此，和也都是试验结果的随机函数，最好写成和。)(tx)(tX)(TX)(txT),(TX),(txT若是实函数，可得某个样本函数的平均功率)(txG21lim(,)2TTTTGxtdtT11lim(,)(,)22TjtTTTTxtXeddtT11lim(,)(,)22TTjtTTTTTXxtedtdT211lim(,)22TTXdT211lim(,)22TTXdT样本函数的功率谱密度函数如果对所有试验结果取统计平均21()lim(,)2XTTPEXT21lim(,)2TTEXT随机过程的功率谱密度函数，简称功率谱密度。2功率谱密度的性质非负性，是实函数当随机信号是实过程时，其功率谱是偶函数，即()0XP)(XP()()XXPP3功率谱密度与自相关函数的关系1211221()lim(,)(,)2TTjtjtXTTTTTPExtedtxtedtT12()12121lim()()2TTjttTTTTTEXtXtedtdtT121212(,)()()(,)TXTTRttEXtXtTttT引入21()lim(,)2XTTPEXT连续时间随机信号12()12121()lim(,)2TTjttXXTTTPRttedtdtT变量替换11ttdtdt2122ttttddt1()lim(,)2TtTjXXTtTTPRttdtedT1()lim(,)2TjXXTTPRttdtedT()jXRed自相关函数和功率谱密度构成傅立叶变换对维纳－辛钦定理或维纳－辛钦公式()jXRed平稳随机过程应用于含有直流或周期性成分的平稳过程中利用函数)()()(0fdttft重要的傅立叶变换对111()()222jjeded1()1()2jjteded离散时间随机序列具有零均值实平稳随机序列的功率谱密度与序列的自相关函数是一对离散时间傅立叶变换对。)(XP)(mRXmjmXXemRP)()(按定义从无限区间求得真实频谱，实际是在有限域中计算，这只是真实频谱的一种估计值，称为谱估计。4功率谱估计的方法分类经典法(线性估计法)—用传统的傅里叶变换分析方法求谱。间接法(相关估计法)—由数据的自相关序列求功率谱；直接法(周期图法)—由数据直接用离散傅里叶变换求功率谱。现代法（非线性估计法）相关估计法维纳—欣钦定理：实平稳随机序列的功率谱密度与序列的自相关函数是一对傅里叶变换。mjmXXemRP)()(相关估计法具体步骤将原序列按长度补零得序列；求的DFT，得和它的共轭；计算DFT乘积，并除以，得求IDFT，得12NL)(mx)(mx)(kX)(*kXN)]()([1*kXkXN)]()(1[)(*12kXkXNIDFTmRN周期图法假定数据序列{xk}的采样是任意的N(N=2m)使用适当的窗函数对原始序列{xk}修正。用FFT计算序列{xk}的离散傅立叶变换。计算功率谱，得到主频率。（f=k·fs/N)修正：由于采用窗函数对原始数据修正，因此要再用比例因子修正功率谱值。)e(PjN2)(1jNeXN说明采取窗处理减少功率泄漏。采取平均化处理减小统计变异性。去均值修正比例因子数据分段加窗处理计算各段DFT求各段功率谱求平均功率谱)(nx)(nxi1,,1,0Li)()()('nwnxnxii1,,1,0Mn)('kXi)(kSi)(ˆkS从含有噪声的信号中确定主频率5功率谱估计的应用分析电动机噪声产生的原因不解体的故障判断图汽车变速器噪声和振动的功率谱图(a)汽车变送器噪声功率谱；(b)汽车变送器振动功率谱利用实测的荷载谱控制振动台来模拟随机环境图随机环境的模拟系统6互谱密度及其估计1()lim[(,)(,)]2XYTTTPEXYT1()lim[(,)(,)]2YXTTTPEYXT有限长离散序列和)n(x()ym221110001()()()()NNNjmkjmkNNXYxymmnPkRmexnynmeN2211*0011()()()()NNjnkjmkNNmmxneymeXkYkNN互谱密度在信号频谱分析中的应用：利用互谱可以得到系统的频率响应函数；识别动力学系统的特性；确定响应对激励的滞后时间。5.4谱分析中的几个重要问题一、预处理1预滤波当信号需要平滑或抑制不需要的频率分量时，可采用滤波的方法。2零均值变换3趋势项的移动)n(x)n(x)n(x^Nn)n(xN)n(x11其中：二、频谱泄漏与窗