第5章静定平面桁架

一、工程背景混凝土屋架长沙市体育馆的屋盖承重结构南京长江大桥主体结构图5-1第一节概述退出二、静定平面桁架结构的主要受力特征直杆铰接体系且只受结点荷载作用，其受力特性是结构内力只有轴力，而没有弯矩和剪力。图5-2退出三、静定平面桁架结构的计算简图取桁架计算简图时采用的假定：（1）各杆两端用理想铰联结；（2）各杆轴线绝对平直，在同一平面内且通过铰的中心。（3）荷载和支座反力都作用在结点上并位于桁架平面内。通常把理想情况下计算出的应力称为“初应力”或“基本应力”；因理想情况不能完全实现的而出现的应力称为“次应力”。图5-3退出四、桁架各部分的名称及分类1、名称：上弦杆下弦杆竖杆斜杆桁高（h)节间长度(d)跨度（l）2、分类：（1）按外形分：平行弦、折弦、三角形等。图5-5图5-4退出（3）按几何组成分：a)简单桁架：由基础或基本铰结三角形开始，依次增加二元体而形成的桁架。（2）按竖向荷载作用下支座是否产生水平推力分：（a）无推力桁架（梁式桁架）；（b）有推力桁架（拱式桁架）。图5-6图5-7退出b)联合桁架：若干个简单桁架按几何不变体系组成规则铰结而成的桁架。图5-8退出c)复杂桁架：不属于以上两类的静定桁架（可采用“零载法”分析）。图5-9退出1、定义：利用各结点的平衡条件求解桁架内力的方法。2、实质：作用在结点上的各力组成一平面汇交力系。3、注意点：（1）轴力以拉力为正，即离开隔离体方向为正。（2）一般结点上的未知力不能多余两个。（3）可利用比例关系求解各轴力的铅直、水平分量。图5-10NyNNxxyFFFlllFNlxlylFNFNxFNFNy第二节静定平面桁架计算的结点法退出4、结点法举例：例1计算图示各杆的轴力。解：求支座反力00018MMFx)(100)(800811KNFKNFFyyx校核：080100806040yFF1x=0F1y=80kNF8y=100kN40kN60kN80kN4m4×3m=12m图5-11退出分别以各结点为研究对象，求各杆之轴力：3F34y100kN80kN60kN40kNFN34F34xFN35180kNFN12F13yF13xFN13FN23FN24260kN40kN(b)3(c)(a)图5-12退出将计算结果标在桁架计算简图上：轴力（kN）图5-13退出例2计算图示各杆的轴力。√10kN20kN20kN20kN10kNF1y=40kNF8y=40kNF1x=02m4×2m=8m解：求支座反力00018MMFx)(40)(400811KNFKNFFyyx校核：040401020202010yF图5-14退出分别以各结点为研究对象，求各杆之轴力：40kN1FN12FN23FN25260kN20kN3FN34FN13F13xF13y10kNFN3530√5kNmmF34yFN34F34xF35yFN35F35xkN√53060kN30kN20kN20kN40kN4F46xFN4620√5kN20kNF46yFN45(a)(b)(c)(d)(e)图5-15退出将计算结果标在桁架计算简图上：轴力（kN）图5-16退出（1）在不共线的两杆结点上，若无外荷载作用，则两杆内力性质相同（图a）。（2）三杆结点无外荷载作用时，如其中两杆在一条直线上，则共线的两杆内力性质相同，而第三杆内力为零（图b）。（3）四杆结点无外荷载作用时，如其中两杆在一条直线上，另外两杆在另一条直线上，则同一直线上的两杆内力性质相同（图c）。5、结点平衡特殊情况的简化计算(b)FN2FN1FN1=FN2=0FN1FN2FN1=FN2FN2=0FN3FN3FN2=FN4FN1=FN2FN2FN1FN4(a)(c)图5-17退出(b)(a)2FPFP2FPFPFN3FN2FN1图5-18退出1、定义：截取桁架的一部分（至少两个结点），利用平衡条件求解桁架内力的方法。2、实质：作用在隔离体上的各力组成一平面任意力系。3、注意点：（1）一般隔离体上的未知力不能多余三个。（2）技巧：选取平衡方程时，最好使一个方程只含一个未知数4、截面法举例：ⅠⅠ(b)(a)FP1FN35FN24FN34hbcad/2d4321FP3FP2FP17654321ddddd/2ho例题1：试求图示桁架杆24、35、34之轴力。图5-19第三节静定平面桁架计算的截面法退出求出支座反力后，作Ⅰ-Ⅰ截面，研究其左半部：（1）04M：03511hFdFcFNpyhMhdFcFFPyN41135（拉力）（2）将轴力FN24移至结点O处沿x、y方向分解后：03M：02)(1124dFdFdaFPyy压力）()2(31124daMdadFdFFPyy（3）将轴力FN34在结点3处沿x、y方向分解后：0oM：0)()2(34134daFdaFaFyPydaaFdaFFyPy1134)2(d4321oFP1FN35FN24FN34hbcad/2图5-20退出例题2：试求图示桁架杆24、35、34之轴力。(c)(b)(a)FAyFNaFAyFNbFPFPAFPABAFPFPFPFPFPbaⅡⅡ解：（1）求支座反力0AxF)(5.2PByAyFFF（2）作Ⅰ-Ⅰ截面，研究其左半部(图b)：0yF0PNaAyFFFPPAyNaFFFF5.1（3）作Ⅱ-Ⅱ截面，研究其左半部（图C）：0yF0sinPPNbAyFFFFPbyFFsin21图5-21退出109876543213m2.25m6×3m=18mFBy=100kN40kN40kN40kN40kN40kNcⅠⅠⅡⅡabABFAy=100kN例题3：试求图示桁架杆a、b、c之轴力。解：（1）求支座反力0AxF)(100kNFFByAy（2）作Ⅰ-Ⅰ截面，研究其左半部：04M:033406axAyFFkNFax160kNFay40)160(375.0kNFNa91.164)160(3092.30yF:04040byAyFFkNFby20kNFNb33.32025.275.3（3）作Ⅱ-Ⅱ截面，研究其左半部：0yF:040cyAyFFkNFcy20kNFNc28.2822040kN40kN40kNFAy=100kNFAy=100kNFNcFN46FN35FN24FNbF13xF13y433AbaⅡc124Aba12图5-22退出5截面法中的特殊情况（a）被截断的杆件中，除一根以外，其它各杆均交于一点用截面法术桁架内力时，应尽量使所截杆件不超过三根。这样就可直接利用隔离体的三个平衡方程将三根杆件的内力求出。然而，在如下两种特殊情况下，尽管截面所截断的杆件数目超过三根，隔离体上未知轴力数目超过三个，但其中的一些未知轴力仍可直接由平衡方程求得。ⅠⅠaABFP1FP2FAyFByFAyFP1ACCFNa(a)(b)图5-23退出例题1CⅠⅠFPFPABDGEHFa3d3dAEFBFPFNFBFNFHFaxFayFNaFNEGFNED2dd(a)(b)解：取EF部分为隔离体，由0AM032dFdFayPPayFF32利用比例关系可得到PayNaFFF3525图5-24退出（b）被截断的杆件中，除一根以外，其它各杆均平行FPy'x'CFByFNaⅠⅠACBllll44444l2la(a)(b)图5-25退出例题2(b)(a)CA34FPFPFNb=0FN3FN2FN1FNax'y'ⅠⅠd2dd2d2dd2d34FP43FAx=-FP321abBCAFPFPFAy=-FBy=解：（1）求支座反力0AxF)(34PAyFF)(34PByFF（2）作Ⅰ-Ⅰ截面，研究其左半部(图b)：0yF021213421PPNaFFF3PNaFF图5-26退出6用截面法计算联合桁架(a)按两刚片相联规则组成的联合桁架解：将AC,BD,EF截断,取图(b)为隔离体0AM02521dFdFdFPPNa)2(5121PPNaFFF0xF0NEFF0NEFNbFF(a)D5dFByFAyFP3FP2FP1FECABab(b)FNEFFNaFNACAFAyFP1FP2DE图5-27退出(b)按三刚片相联规则组成的联合桁架图5-28ABDEIKCFJⅠⅡⅡⅠaFFy=FPFJy=FPFFx=0ddddddFPFP(a)EDBAFPFPFAxFAyFByFBx(b)JCKBBFJy=FPFByFBxFCxFCyFPFNaFBExFBEyFNBEFP2(c)(d)(b)退出结点法、截面法是计算桁架的两种基本方法。计算简单桁架时，两种方法均很简单；而计算联合桁架时，需要联合应用。例题1、试求图示桁架指定杆件的轴力。(a)KbcaⅡⅠⅡⅠ3m3m6×4m=24mFP3FBy=FBy=32FPDCBAFP解：（1）求支座反力0AxF)(31PAyFF)(32PByFF图5-29第四节结点法与截面法的联合应用退出(a)KbcaⅡⅠⅡⅠ3m3m6×4m=24mFP3FBy=FBy=32FPDCBAFP（2）作Ⅰ-Ⅰ截面，研究其左半部(图b),此时隔离体上有四个未知轴力，要计算全部指定杆件轴力，必须补充一个平衡方程，由于结点K是K型结点，故有：cxaxFFcyayFF(a)于是，指定杆件轴力可由上述方秸及截面法的平衡方程确定。0yF0cyayAyFFF(b)由式（a）、（b）可得到PayFF61KDA3FPFNDCFNbFNaFaxFcxFNCFcyFay利用比例关系可得到NcPPNaFFFF185)6(350DM由可得0)(3683cxaxNbPFFFF即PpNbFFF946138FNbFNDCFP3AD图5-30退出例题2、试求图示桁架中杆件HK的轴力FNHK。6×5m=30m3m3mFByFAy300kN300kN300kN300kN300kNKHGFEDCBAⅠⅡⅡⅠFFNCDFNKFFNGFBDEGHK300kN300kNFBy3m3m解（1）计算支座反力0AxF)(750ByAyFFFNHGFNHKFNEKFNED300kNFByBEH（2）作截面Ⅱ-Ⅱ，取右边部分为隔离体，由可得（3）作截面Ⅰ-Ⅰ，取右边部分为隔离体，由可得0EM)(875653005750kNFNGF再由结点G可知：kNFFNGFGHx8750EMkNFHKx5.62448755750故kNFFHKxNHK74.6351522图5-31退出例题3、试求图示桁架中杆件a的轴力FNa。FPFPFAx4m4m8m8m4m4m8m8mabFByFAyFCyDCBAⅠⅠFNaFayFaxDCFCy4m4m解这是一个复杂桁架，它有四个支座反力，由整体平衡只能得到三个平衡方程，必须由局部平衡建立补充方程。下面先计算与。ByF0AM020122040PPByCyFFFFCyF由可得0820axCyFFbxaxFF即08510PByCyFFF作截面Ⅰ-Ⅰ，取右边部分为隔离体，由可得0DM注意到byayFFayaxFFByaxFF2(a)(b)(c)由式(b),(c)可得05ByCyFF(d)由式（a）、（c）可得PByFF38PaxFF34PaxNaFFF2342图5-32图中内力单位kN(c)(b)(a)-45.3-47.5-51.501010+10045454540250-250-57.121.235.4-45-40-25-15-47.4-63.2-79.1-18.0-15.8301510607575l=6aaaa10kN10kN10kN10