第7章力法.

§7-1超静定结构计算的一般方法1.超静定结构的几何特征和静力特征静力特征:仅由静力平衡方程就能求出所有内力和反力。几何特征:没有多余约束的几何不变体系。静力特征:仅由静力平衡方程不能求出所有内力和反力。几何特征:有多余约束的几何不变体系。FPFP静定结构超静定结构超静定梁超静定刚架超静定拱两铰拱无铰拱2.超静定结构的类型超静定桁架超静定组合结构多余约束只是对几何不变性而言的，对内力和变形而言这些约束是有作用的，它们直接影响到内力和变形的大小和分布规律。在一个静定结构上增加多余约束所得的超静定结构是唯一的；但从超静定结构上去掉多余约束使之成为静定结构时，形式可以有多种多样，多余约束在很大范围内是可以任选的。3.超静定结构的性质超静定内力和反力与材料的物理性质、截面的几何特征（形状和尺寸）有关。非荷载因素也会使超静定结构产生内力和反力；由于有多余约束，所以增强了抵抗破坏的能力；由于有多余约束，所以增强了超静定结构的整体性，在荷载作用下会减小位移，内力分布更均匀。4.求解超静定结构的三方面条件（1）满足平衡条件——各部分受力状态满足平衡方程（2）满足几何条件——位移满足支承约束和变形连续（3）满足物理条件——变形或位移与力之间的成比例关系•判断超静定次数可以用去掉多余约束使原结构变成静定结构的方法进行。一般有以下几种方式:几何组成分析：超静定次数=多余约束的个数=-W静力分析：超静定次数=多余未知力的个数=未知力总个数-独立的平衡方程的个数5.超静定次数的确定去掉一个链杆或切断一个链杆相当于去掉一个约束内部有一个多余约束外部有一个多余约束两次超静定FPX1FPX2X2例题：找出多余约束，并判断超静定次数截开一个单铰或去掉一个固定铰支座相当于去掉两个约束FPFPX2X2X1X1FPFPX2X1两次超静定两次超静定例题：找出多余约束，并判断超静定次数切断刚架中的杆或去掉一个固定端支座相当于去掉三个约束FPFPX1X2X3FPX2X2X1X1X3X3三次超静定例题：找出多余约束，并判断超静定次数将刚性连接变成铰结点或将固定端支座变成固定铰支座相当于去掉一个约束。FPX1X1FPX1FP两次超静定例题：找出多余约束，并判断超静定次数说明：1.一个封闭框具有三个多余约束。2.拆除多余约束时，不能把原结构拆成一个几何可变体系。3.要把全部多余约束都拆除，原结构才能成为静定结构。4.同一超静定结构，可以采取不同方式去掉多余约束，得到不同形式的静定结构，但去掉多余约束的总数目相同。§7-2力法基本概念1.力法思路原体系（待求）原体系是具有一个多余约束的几何不变体系，称一次超静定体系。目前超静定体系求解还没有讲授，而静定结构体系的求解是已经介绍过的。EIAB1.力法思路基本结构（静定）原体系（待求）EI将超静定结构的多余约束去掉得到的静定结构称为原结构的基本结构。EIAB1.力法思路基本结构（静定）原体系（待求）EI基本结构在外力和多余力作用下形成基本体系EIX1基本体系（可求）EIAB1.力法思路原体系（待求）EI如果能确定出多余力X1的实际值，则基本体系和原体系的内力和位移就完全相同了。可见，多余力的计算是关键所在，称X1为基本未知量。EIX1基本体系（可求）基本未知量(参数)AB1.力法思路原体系（待求）EI由叠加原理，基本体系在基本未知量方向的位移：EIX1基本体系（可求）基本未知量(参数)AB1111PΔ1111PX1.力法思路原体系（待求）EI为消除基本体系与原体系在支座处的位移差别，EIX1基本体系（可求）基本未知量(参数)AB01Δ令基本方程(协调条件)1.力法思路原体系（待求）EI确定基本未知量（原体系的实际支座反力）：EIX1基本体系（可求）基本未知量(参数)AB1P111X1111P0X1.力法思路原体系（待求）EI通过叠加确定内力分布EIX1基本体系（可求）基本未知量(参数)ABPMMM11.力法思路EI由于基本体系既平衡又协调，根据解答的唯一性，它就是原体系的真实解答。EIX1AB力法基本思想设法将未知的超静定问题转换成已知的静定问题来解决，核心是转换力法的基本特点（1）解除超静定结构的多余联系，得到静定的基本结构。（2）以多余未知力为基本未知量。（3）根据所去掉的多余联系处的变形条件建立力法方程，从而求出多余未知力。（4）根据平衡条件求出全部反力及内力。（5）一切计算均在基本结构上进行。2.力法的解题步骤（1）确定基本体系；（2）通过位移条件写出力法方程；（3）作单位弯矩图、荷载弯矩图；（4）求出系数和自由项；（5）解力法方程求多余力；（6）叠加法作弯矩图。01111PΔX3.力法解题示例82ql例题：用力法绘制图示结构弯矩图。EIABl解：确定基本结构和基本未知量写出基本方程3113lEI41P8qlEI138Xql11PMXMMM1MPM绘制弯矩图(1)荷载作用下的结构分析静定结构与超静定结构的弯矩图的比较比较可知，采取超静定结构降低了梁的最大弯矩，提高了梁的强度。EIEI22qllq2128982ql超静定刚架如图所示,荷载是作用在刚性结点C上的集中力矩M。7.3.1二次超静定结构的力法典型方程BACMll/2EI=常数原结构AClBl/2基本结构ABCMXlX12l/2基本体系（1）力法基本未知量X1与X2§7-3力法的典型方程AC△11ll/2X1△21B'C'BAB'C△22l/2lX2△C'B12l1P2PB'l/2C'CB△△AM（2）位移协调条件：基本结构在原有荷载M和多余力X1、X2共同作用下，在去掉多余联系处的位移应与原结构相应的位移相等。（a）基本体系在X1方向的位移为零，Δ1=0基本体系在X2方向的位移为零,Δ2=0}（b）将，，代入（b）式，得两次超静定的力法基本方程（3）计算系数与自由项。作出基本结构分别在单位力与荷载单独作用下的弯矩图。AM1l/2l/2CBX1=1ll/2M2ACB2l/2llX=1BCAMPll/2MM（4）求出基本未知力。将计算出来的系数与自由项代入典型方程得解方程得，求得的X1、X2为正，表明与原假定的方向一致。02340242472231322313EIMlXEIlXEIlEIMlXEIlXEIl)(561lMX)(532lMX先作弯矩图（），把弯矩图画在杆件的受拉纤维一侧。再作剪力图，最后作轴力图。BACll/2M/M35M/25M/5M3/5CM2/5M由刚结点C的平衡可知M图正确。(5)作内力图。M2ACll/2BlX=12BCAMPll/2MMAM1X=1l/2ll/2l/21CBP2211MXMXMM杆AC:BAM5/5/5MM/Mll/232CCAM/5CASFSACF52M/杆CB:CBM/FSFSCBBC35BCM/lFSA35M/l65l/2l作剪力图的原则是,截取每一杆为隔离体，由平衡条件便可求出剪力。lMlMMFFACCA53552SSlMlMFFBCCB56253SSFCBFCAM/lCNM/lN3565取刚结点C为隔离体，由投影平衡条件解得ll/2M/lFNA35M/l65BCBCM/lFSA35M/l65l/2l作最后轴力图的原则是考虑结点平衡，由杆端的剪力便可求出轴力。lMFCA56NlMFCB53N（拉），（压）7.3.2n次超静定结构的力法典型方程n次超静定定结构，力法典型方程为（7-1a）柔度系数ij——表示当单位未知力Xj=1作用下,引起基本体系中Xi的作用点沿Xi方向的位移。思考：柔度系数有什么的特点？000p2211p21222121p11212111nnnnnnnnnnΔXXXΔXXXΔXXX，。0iijiij自由项iP——荷载作用下引起基本体系中Xi的作用点沿Xi方向的位移。通常先用叠加原理计算弯矩由力法典型方程解出n个基本未知数X1，X2，…，Xn后就己将超静定问题转化成静定问题了。由弯矩图并应用平衡条件可求出剪力图和轴力图。1、力法的典型方程是体系的变形协调方程；2、主系数恒大于零，副系数满足位移互等定理；3、柔度系数是体系常数；4、荷载作用时,内力分布与刚度大小无关，与各杆刚度比值有关，荷载不变，调整各杆刚度比可使内力重分布。小结：例.求解图示结构原结构FP基本体系一FP有两个多于约束解除约束代以未知力基本未知力§7-4用力法计算超静定结构在荷载作用下的内力PFP00222212112111pp或0022221211212111ppXXXX基本未知力引起的位移荷载引起的位移变形协调条件力法典型方程016654096546P21P21FXXFXX883114P2P1FXFXFPFPa作单位和荷载弯矩图求系数、建立力法方程并求解仅与刚度相对值有关883114P2P1FXFXFPFPaFP（×Fpa）由叠加原理求得PMXMXMM2211力法基本思路小结根据结构组成分析，正确判断多于约束个数——超静定次数。解除多余约束，转化为静定的基本结构。多余约束代以多余未知力——基本未知力。分析基本结构在单位基本未知力和外界因素作用下的位移，建立位移协调条件——力法典型方程。从典型方程解得基本未知力，由叠加原理获得结构内力。超静定结构分析通过转化为静定结构获得了解决。由于从超静定转化为静定，将什么约束看成多余约束不是唯一的，因此力法求解的基本结构也不是唯一的。解法2：原结构基本体系FPFP解法3：原结构基本体系FPFP原结构FP基本体系FPM1图M2图aBFPaFPMP图FaP2单位和荷载弯矩图M1图M2图aBFPaFPMP图FaP2由单位和荷载弯矩图可勾画出基本体系变形图FPP2P1114,8815FXaFXM1图M2图aBFPaFPMP图FaP2由单位和荷载M图可求得位移系数、建立方程00P2222121P1212111XXXX00p222212p112111FP（×Fpa）原结构FP基本体系FP图M2图M1FPaFP图MP单位和荷载弯矩图aFXaFXP2P1883,8815例.图示一超静定刚架，梁和柱的截面惯性矩分别为I1和I2，I2：I1=2：1。作刚架的内力图。解：（1）选取基本体系基本体系（2）列力法方程01111PX（3）求系数项和自由项)mkN(图PM66(m)1图M1212111504144216)632()6621(26)66(1EIEIEIEIEI11110806)45632(1EIEIP(kN)14.21111pXPMXMM1112.8612.864532.14)mkN(图M2.142.143030302.1430)kN(图Q)kN(图N一、支座移动时的计算1.支座移动和温度改变对超静定结构的影响超静定结构由于支座移动或温度改变，都会引起结构产生变形和位移，并使结构产生内力。2.支座移动时的内力计算用力法求解支座移动、温度改变时的问题，其方法与荷载作用时相同，唯一的区别在于典型方程中自由项的计算不同。§7-5用力法计算超静定结构在支座位移和温度变化时的内力原结构AhBlbaφ图示刚架，设支座A发生了图示位移。（1）判定超静定次数，取基本体系。二次超静定，基本体系如图示。注意力法方程等号右侧为基本结构在拆除约束处沿多余未知力方向的位移条件，也就是原结构在多余未知力方向的已知实际位移值Δi，当Δi与多余未知力方向一致时取正值，否则取负值。11112212112222CCXXaXX（2）由位移条件，建立力法典型方程。基本体系Bhl