第8章非线性系统.

1第八章非线性控制系统分析8.1非线性控制系统概述8.4描述函数法8.3相平面分析法8.2常见非线性特性及其对系统运动的影响2前面几章所讨论的系统都是基于线性系统的分析设计方法，但实际控制系统在某种程度上均不可避免地具有某种程度的非线性特性，系统中只要具有一个非线性环节，就称之为非线性系统，因此实际的控制系统大都是非线性系统。前面章节中所讨论的系统的线性特性很多情况下是将系统的非线性特性在工作点附近进行小偏差线性化处理而得。3非线性：指元件或环节的静特性不是按线性规律变化。非线性系统：如果一个控制系统，包含一个或一个以上具有非线性静特性的元件或环节，则称这类系统为非线性系统，其特性不能用线性微分方程来描述。一、有关概念一般，非线性系统的数学模型可以表示为：在F函数中，若相应的算子为线性，则系统为线性系统；否则为非线性系统。同时，若在F函数中不显含t，则为时不变系统；若显含t，则为时变系统。8.1非线性控制系统概述4本质非线性：不能应用小偏差线性化概念将其线性化。非本质非线性：可以进行小偏差线性化的非线性特性。自激振荡：无外作用时非线性系统内部产生的稳定的等幅振荡称为自激振荡，简称自振荡。5二、非线性系统的特征（1）齐次性和叠加定理：线性系统的最大特点是它具有可叠加性和齐次性，但对于非线性系统，这个特点不再具有。（2）在非线性系统中，除了从平衡状态发散或收敛于平衡状态两种运动形式外，往往即使无外作用存在，系统也可能产生具有一定振幅和频率的稳定的等幅振荡，即自激振荡。改变非线性系统的结构和参数，可以改变自激振荡的振幅和频率，或消除自激振荡。而对线性系统，围绕其平衡状态只有发散和收敛两种运动形式，其中不可能产生稳定的自激振荡。6（3）非线性系统的稳定性不仅取决于控制系统的固有结构和参数，而且与系统的初始条件以及外加输入有关系。例：对于一由非线性微分方程X=-x(1–x)(8-1).描述的非线性系统，显然有两个平衡点，即x1=0和x2=1。将上式改写为(1)dxdtxx7设t＝0时，系统的初态为x0。积分上式可得(8-2)t10图8-1一阶非线性系统()xt000()1ttxextxxe00ln1xx8（4）非线性系统在正弦信号作用下，其输出存在极其复杂的情况：（a）跳跃谐振和多值响应图8-2所示的非线性弹簧输出的幅频特性。2.1345.图8-2跳跃谐振与多值响应()A429(b)分频振荡和倍频振荡非线性系统在正弦信号作用下，其稳态分量除产生同频率振荡外，还可能产生倍频振荡和分频振荡。如图8－3所示波形。输入信号倍频信号分频信号ttt图8-3倍频振荡与分频振荡10三、非线性系统的研究方法逆系统法是运用内环非线性反馈控制，构成伪线性系统，并以此为基础，设计外环控制网络，是非线性系统控制的一个发展方向。相平面法是用图解的方法分析一阶，二阶非线性系统的方法。通过绘制控制系统相轨迹，达到分析非线性系统特性的方法。描述函数法是受线性系统频率法启发，而发展出的一种分析非线性系统的方法。它是一种谐波线性化的分析方法，是频率法在非线性系统分析中的推广。本章介绍对本质非线性系统的研究方法：相平面法描述函数法11摩擦特性不灵敏区（死区特性）饱和特性间隙特性继电特性下面介绍的这些特性中，一些是组成控制系统的元件所固有的，如饱和特性，死区特性和滞环特性等，这些特性一般来说对控制系统的性能是不利的；另一些特性则是为了改善系统的性能而人为加入的，如继电器特性，变增益特性，在控制系统中加入这类特性，一般来说能使系统具有比线性系统更为优良的动态特性。8.2常见非线性特性及其对系统运动的影响12)(txatetkasigneatetke)()()()(（1)饱和特性0)(10)(1)(tetetsigne饱和特性在铁磁元件及各种放大器中都存在，其特点是当输入信号超过某一范围后，输出信号不再随输入信号变化，而是保持某一常值。饱和特性的等效增益饱和特性13由于饱和特性在大信号时的等效增益很低，故带饱和特性的控制系统，一般在大起始偏离下总是具有收敛性质，不会造成愈振愈大的不稳定现象；由于饱和限幅的存在，它可使一切不稳定的系统收敛于自振荡以保证系统的安全。当然，由于等效增益降低，会降低系统的稳态精度；对快速性而言，则相对复杂一些，不能一概而论。饱和特性对系统运动的影响：14（2）死区（不灵敏区）特性atetasignetekatetx)()()()(0)(死区非线性特性对系统产生的主要影响有：1）使系统的稳态误差增大，尤其是测量元件的死区对系统稳态性能的影响更大。2）对动态性能的影响由具体系统的结构和参数确定。如对某些系统，死区的存在会抑止其振荡；而对另一些系统，死区又能导致其产生自激振荡。3）死区能滤去从输入端引入的小幅值干扰信号，提高了系统抗扰动的能力。4）当系统的输入信号为阶跃、斜坡等函数时，死区的存在会引起系统输出在时间上的滞后。式中,k为图中线性段的斜率,a为死区的范围。15其数学表达式为0,00,0,0,0maxaxaxmaxybsignxxabxmaxbxmax&&&&（3）继电器特性16继电特性曲线如图所示，这类特性不仅包含有死区特性，而且具有滞环特性。若分别取a=0,m=1,m=-1时继电特性表现为不同的特殊情况，分别为下面三种特殊情况下的继电特性。（a）a=0时理想继电特性（b）m=1时具死区继电特性（c）m=-1时具磁滞回环继电特性17理想继电器在原点附近存在跳变，等效增益趋于无穷大；在原点以外的地方，随着输入信号的增加，输出始终保持常值，等效增益逐渐减小。若系统中串有理想继电器，在小起始偏离时开环增益大，运动状态呈发散性质；在大起始偏离时开环增益很小，系统具有收敛性质。因而，继电特性常常会使系统产生振荡现象，但如果选择合适的继电特性可提高系统的响应速度，也可构成正弦信号发生器。18（4）间隙（滞环）特性元件开始运动输入信号e0时，无输出信号；当输入信号e0以后，输出随输入线性变化。元件反向运动保持在运动方向发生变化瞬间的输出值；输入反向变化2e0，输出随输入线性变化。间隙输出相位滞后，减小稳定性裕量，动特性变坏自持振荡。)()()()(00tbsigneeteketektxX(t)0X(t)0X(t)=0e0-e0b-bkkx...e19相平面法是一种通过图解法求解一、二阶非线性系统的分析方法，方法的重点是将二阶非线性微分方程变写为以输出量及输出量导数为变量的两个一阶微分方程。然后依据这一对方程，设法求出其在上述两变量构成的相平面中的轨迹，并由此对系统的时间响应进行判别。所得结果比较精确和全面。但是对于高于二阶的系统，需要讨论变量空间中的曲面结构，从而大大增加了工程使用的困难。8.3相平面分析法20一、基本概念在同一时刻t，(，)对应于相平面上的一个点——相点，随t变化形成一条轨迹——相轨迹。上式是以为自变量，以为因变量的方程。和称为系统运动的相变量（状态变量）。若以为横坐标，为纵坐标，则构成一个二维状态空间（直角坐标平面）——相平面。设一个二阶系统可以用下列常微分方程描述（1）如果以x和作为变量，则可有（2）用第一个方程除第二个方程有（3）ˉxxxxx21相轨迹：相变量从初始时刻t0对应的状态点起，随着时间t的推移，在相平面上运动形成的曲线称为相轨迹。在相轨迹上用箭头符号表示参变量时间t的增加方向。给定任一初始条件，相平面上有一条相轨迹与之对应。相平面图：多个初始条件下的运动对应多条相轨迹，形成相轨迹簇，而由一簇相轨迹所组成的图形称为相平面图。00,xx&22二、相轨迹的绘制（1）解析法绘制相轨迹的关键在于找出和的关系x用求解微分方程的办法找出的关系，从而可在相平面上绘制相轨迹，这种方法称为解析法。解析法分为：a.消去参变量t由直接解出通过求导得到在这两个解中消去作为参变量的t，就得到的关系。)(tx，)(tx.。x&,xx&,xx&(,)xfxx&&&例设描述系统的微分方程为0Mx&&其中M为常量，已知初始条件xxx)0(,0)0(&。求其相轨迹。解：Mx&&，积分有Mtx&(1)再积分一次有221Mtxxo(2)由(1),(2)式消去t有)(22o&xxMxM=1M=-123b.直接积分法dxxdxdtdxdxxddtxdx&&&&&&Q),(xxfdxxdx&&&\上式可分解为dxxhxdxg)()(&&则由xxxxdxxhxdxg&&oo&&)()(可找出oxx的关系在上式中由Mx&&可有MdxxdxxMdxxd&&&&积分有)(2)(2122oo&&xxMxxxMx可见两种方法求出的相轨迹是相同的。（2）图解法等倾线：在相平面内对应相轨迹上具有等斜率点的连线。原理：),(xxfx.&&因dxxdxx&&&&故有xxxfdxxd&&&),(式中dxxd&为相轨迹在某一点的切线的斜率，令dxxd&a，则xxxf&&),(aIb.根据初始条件确定相轨迹的起始点；c.从起始点处的等倾线向相邻的第二条等倾线画直线，它的斜率近似等于这两条相邻等倾线斜率的平均值。再从该直线与第二条等倾线的交点向相邻的第三条等倾线画直线。这段直线的斜率等于第二、第三等倾线斜率的平均值，如此继续下去，即可作出相轨迹。取相轨迹切线的斜率为某一常数，得等倾线方程aa),(xxfx当相轨迹经过该等倾线上任一点时，其切线的斜率都相等，均为.aa.取为若干不同的常数，即可在相平面上绘制出若干条等倾线，在等倾线上各点处作斜率为的短直线，并以箭头表示切线方向，则构成相轨迹的切线方向场。aa25例：设二阶系统方程为0xxx&&&xxdxdxx&&&11xxa&表示相平面上过原点的一条斜线斜率方程为等倾线方程为xxxa&&26取不同值时，可在相平面上画出若干不同的等倾线，在每条等倾线上画出表示该等倾线斜率值的小线段，这些小线段表示相轨迹通过等倾线时的方向，从相轨迹的起点按顺序将各小线段连接起来，就得到了所求的相轨迹。a11xxa&27关于相轨迹的几点说明：1、x轴和轴选用的比例尺应一致；2、在相平面的上半平面，所以相轨迹的走向应沿着增加的方向由左向右；在相平面的下半平面，所以相轨迹的走向应沿着减小的方向由右向左；3、除平衡点外，通过x轴时的相轨迹的斜率=∞，所以相轨迹是与轴垂直相交的；4、相轨迹的对称性：x&0x&0x&,fxxxa&&关于轴对称x&,,fxxfxx&&关于x轴对称关于原点对称,,fxxfxx&&,,fxxfxx&&28xxxfxxdxxd),(相轨迹上每一点切线的斜率为若在某点处和同时为零，即有的不定形式，则称该点为相平面的奇点),(xxfx00dxxd00xx在奇点处，系统运动的速度和加速度同时为零。相平面的奇点也称为平衡点。奇点一定位于相平面的横轴上。三、相轨迹的奇点和极限环1奇点29而在相轨迹的非奇点（普通点）处，不同时满足和，相轨迹的切线斜率是一个确定的值，故经过普通点的相轨迹只有一条。相轨迹在奇点处的切线斜率不定，表明系统在奇点处可以按任意方向趋近或离开奇点，因此在奇点处，多条相轨迹相交；0),(xxf0x302．极限环极限环：极限环是相平面图上一个孤立的封闭轨迹，所有极限环附近的相轨迹都将卷向极限环，或从极限环卷出。极限环内部（或外部）的相轨迹，总是不可能穿过极限环而进入它的外部（或内部）。（1）稳定极限环在极限环附近，起始于极限环外部或内部的相轨迹均收敛与该极限环。这时，系统表现为等幅持续振荡。奇线：是将相平面划分为具有不同运动特点的各个区域的相轨迹，最常见的是极限环。31（2