第一章插值

1班级学号：姓名：第一章插值方法一．目的和意义理解常用的插值方法，求函数的近似表达式，以解决其它实际问题；明确插值多项式和分段插值多项式各自的优缺点；熟悉插值方法的程序编制；绘出插值函数的曲线。掌握曲线拟合的最小二乘法；探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系。二．实验内容和要求1.1Lagrange插值（1）要求：用线性插值，二次插值，三次插值计算ln0.54的近似值。（2）程序代码：文件功能：计算Lagrange插值多项式在x=x0处的值。Matlab文件：文件名：FSimpson.m程序:function[y0,n]=lagrange_eval(x,y,x0)m=length(x);n=zeros(m,1);y0=0;fori=1:m;n(i)=1;forj=1:mifj~=in(i)=n(i)*(x0-x(j))/(x(i)-x(j));endendy0=y0+y(i)*n(i);end2实验结果：结果:x=[0.5,0.6];y=[-0.693147,-0.510826];x0=0.54;[y0,n]=lagrange_eval(x,y,x0)y0=-0.6202n=0.60000.4000x=[0.4,0.5,0.6];y=[-0.916291,-0.693147,-0.510826];x0=0.54;[y0,n]=lagrange_eval(x,y,x0)y0=-0.6153n=-0.12000.84000.2800x=[0.4,0.5,0.6,0.7];y=[-0.916291,-0.693147,-0.510826,-0.356575];x0=0.54;y0=-0.6560n=-0.064030.67200.4480-0.0560结果分析：上述为三次插值的结果，由此可知三次插值的结果最为准确。1.2逐步插值（1）程序代码：文件功能：计算逐步插值多项式在x=x0处的值Matlab文件：程序:functiony0=neville_eval(x,y,x0)m=length(x);p=zeros(m,1);p1=zeros(m,1);p=y;fori=1:mp1=p;k=1;forj=i+1:mk=k+1;p(j)=p1(j-1)+(p1(j)-p1(j-1))*(x0-x(k-1))/(x(j)-x(k-1));endifads(p(m)-p(m-1))10^-6;y0=p(m);return;endendy0=p(m);实验结果：结果:4x=[0.4,0.5];y=[-0.916291,-0.693147];x0=0.54;y0=neville_eval(x,y,x0)y0=-0.6039x=[0.4,0.5,0.6];y=[-0.916291,-0.693147,-0.510826];x0=0.54;y0=neville_eval(x,y,x0)y0=-0.6153x=[0.4,0.5,0.6,0.7];y=[-0.916291,-0.693147,-0.510826,-0.356575];x0=0.54;y0=neville_eval(x,y,x0)y0=-0.6160结果分析：Neville逐步插值比Lagrange插值更优越。1.3分段三次Hermite插值（1）要求：已知lnx在x1=0.3，x2=0.4，x3=0.5,x4=0.6处的函数值及导数值，使用分段三次Hermite插值公式计算lnx在x=0.45处的函数值。（2）程序代码：文件功能：利用分段三次Hermite插值计算插值点出的函数近似值。Matlab文件：程序:functiony0=hermite_interp(x,y,dy,x0)5n=length(x);fori=1:n;ifx0=x(i)&x0=x(i+1)k=1;break;endenda1=x0-x(k+1);a2=x0-x(k);a3=x(k)-x(k+1);y0=(a1/a3)^2*(1-2*a2/a3)*y(k)+(-a2/a3)^2*(1+2*a1/a3)*y(k+1)+(a1/a3)^2*a2*dy(k)+(-a2/a3)^2*a1*dy(k+1);计算结果：结果:x=[0.30,0.40,0.50,0.60];y=log(x);dy=1\x;x0=0.45;y0=hermite_interp(x,y,dy,x0)y0=-1.1477结果分析：由此可见，用分段三次Hermite插值求解的精度还是比较高的。