第一节波行法-1

1第二章波行法本章将利用行波法和球平均法分别求解一维和二维、三波动方程Cauchy问题§1一维波动方程的Cauchy问题考虑初始位移为)(x，初始速度为)(x的无界弦的自由振动，该振动可以归结为如下初值问题：xxuxxutxuautttxxtt)()()0,(0002（2.1）由第一章第三节弦振动方程可经自变量变换简化，作变换：atxatx由uuuuuxxxuuuuuuuuxxxx2)()()(uuaauauut)(2uuuautt代入方程（2.1）得042ua由02Ta，有0u在上式两端先对积分,得()uf其中()f是任意的函数。再对积分,得到212()()()()ufdFFF其中12,FF都是任意的函数。把,换成x,t的表示式,即得2)()(),(21atxFatxFtxu(2.2)(2.2)给出的仅仅是泛定方程的解为了得到满足(2.1)的解,考虑初值条件)()()()0,(21xxFxFxu(2.3)和)()()()0,(21xdxxdFdxxdFaxut(2.4)将(2.4)两端取从0x到x积分：xxdCxFxFa0)()()(21(2.5)其中)]()([,02010xFxFaCx任意.联立(2.4)和(2.5)，解得：aCdaxxFxx2)(21)(21)(01aCdaxxFxx2)(21)(21)(02将以上两式代入(2.2)即得Cauchy问题(2.1)的解atxatxdaatxatxtxu)(212)()(),(（2.6）这叫做一维波动方程Cauchy问题的D’Alembert公式.。下面我们说明D’Alembert公式.的物理意义。为此我们首先讨论泛定方程的解（2.2）。为了便于讨论，令02F，得11(,)()uxtFxat它是方程（2.1）的解，当t取不同的值时，它表示相应于不同时刻的振动状态：)()0,(1~xFxu表示初始时刻振动状态，~111(,)()uxtFxat表示0t时刻振动状态。如图2.1所示。在}{xou平面上，将)(1xF向右平移0at距离就可以得到)(01atxF，随着0t的增大,)(01atxF将逐渐地往右平行移动，故称齐次波动方程（2.1）形如)(1atxF的解为右行波。3右行波在传播过程中波形不变,经过0t时刻，波形移动了0at的距离，右行波的传播速度正好为波动方程中的常数a。同理，称齐次波动方程（2.1）形如)(02atxF的解为左行波，它表示波形)(2xF以速度a向左传播，且传播过程中，波形也不发生变化。而方程（2.1）的解是由右行波和左行波叠加而成的，因而这种先求泛定方程的解再确定无界波动方程Cauchy问题的解的方法被称为行波法。下面再来讨论D’Alembert公式的物理意义。为了便于讨论，分别研究仅由初始位移和初始速度引起的振动问题。1）初始位移引起的振动设212211220211121002222)(xxxxxxxxxxxxuxxxxxxxxux或xx,0)(()x的图象如图2.21()Fxu10()Fxat10xatu20xatu1xu2xuOx图2.1x)(x0u图2.24由达朗贝尔公式)(21)(21),(atxatxtxu，可以将其看成初始位移()x分为两半分别向左、右两方以速度a移动(图2.3由下而上各图的细线所描绘)，这两个行波的和(图2.3由下而上的粗线所描绘)给出各个时刻波形。物理现象为弦上各点，振动未传播到时，处于平衡位置时，振动传到时，相应点将发生位移的变化，振动传过后，该点仍回复到平衡位置。2）初始速度引起的振动：设0)(21,021,1)(xxxx取1a，此时)]()([21)(21),(txtxdtxutxtx)(x是)(x的一个原函数，xxxxxdx21,12121,2121,0)()(其图形由图2.4给出，xut=0t1t2t3t4图2.350t时，)](21[)(21)0,(xxxu为)(21x与)(21x的叠加，),(txu为左行波)(21tx和右行波)(21tx叠加而成。1,21,41,0t的波形见图2.5，细线表示左、右行波，粗线表示两者的叠加。随着时间的推移，波形),(txu为上下底边逐渐伸长的等腰梯形。弦上各点在未扰动前处于平衡状态，对某固定点而言，一经扰动，就不再回复到原来的位置，此种现象成为有持久后效。从D’Alembert公式（2.6）还可以看出，解在（x,t）点的数值仅依赖于x轴上区间[,xatxat]内的初始条件，而与其他点上的初始条件无关。因此区间[,xatxat]称为点（x,t）的依赖区间。它是由过（x,t）的两条斜率分别是1a的直线在轴上截得的区间（图2.6a）uxt=0t=1/4t=1/2t=1图2.5Ox)(xu图2.46xOat(x,t)xatx+at依赖区间xatx-at2xxat1xat2xxatxObtx2决定区域x1影响区域对初始轴上区间],[21xx，过1x作斜率为a1的直线atxx1，过2x作斜率为a1的直线atxx2,此两条直线与],[21xx围一个三角形成区域:（图2.6b）}0,|),{(:21tatxxatxtxB,此三角形区域中的任何一点（x,t）的依赖区间都落在],[21xx的内部，因此解在此三角形区域中的数值完全由区间],[21xx上的初始条件决定，而与区间外的初始条件无关，这个三角区域B称为区间],[21xx的决定区域。在区间],[21xx上给定初始条件，就可以在其决定区域中决定初值问题的解。从以上讨论可以看到在xot平面上斜率为a1的两族直线xat常数起着非常重要的作用，这两族直线正好是一维波动方程的特征线。在特征线2xatC上右行波22()uFxat的振幅取决于常数值22()FC，在特征线1xatC上左行波11()uFxat的振幅取决于常数值11()FC，且这两个数值随着特征线的移动而变化，所以波动实际上是沿着特征线传播的，故而行波法有称为特征线法。xtOc1x2x1xxat2xxat图2.67实际上一、齐次化原理（Duhamel原理）一条无界弦，初位移、初速度为0，受外力),(txF作用作强迫振动.(I)xuxutxtxfuautttxxtt00)0,(),(002其中/),(),(txFtxf齐次化原理设);,(txv是齐次cauchy问题(II)xxfvxvtxvavtttxxtt),(0),(02的解，其中是参数，则dtxvtxut0);,(),(为非齐次方程cauchy问题(I)的解。利用齐次化原理给出非齐次方程Cauchy问题(I)的解。令0'tt，则问题(II)变为:（III）xxfvxvtxvavtttxxtt),(0)0',(00''0'2''由D’Alembert公式有:)()(''),(21),(21);,(taxtaxatxatxdfadfatxv所以问题(I)的解为:ttaxtaxtddfadtxvtxu0)()(0),(21);,(),(对一般非齐次一维波动方程Cauchy问题8)()()0,(),(002xuxutxtxfuautttxxtt利用叠加原理),(),(),(txVtxUtxu(i))()()0,(0002xUxUtxUaUtttxxtt(ii)00)0,(),(002tttxxttVVtxtxfVaVttaxtaxatxatxddfadaatxatxtxu0)()(),(21)(21)]()([21),(对于有界弦非齐次方程混合问题(I)0000)0,0(),(0002tttlxxxxttuuuutlxtxfuau也有类似的齐次化原理:若);,(txv是(II)),(000),0(002xfuvvvtlxvavtttlxxxxtt的解,则dtxvtxut0);,(),(为非齐次方程混合问题(I)的解。对非齐次热传导方程混合问题,可把持续热源的作用视为若干瞬时热源作用的叠加,也有相应的齐次化原理.若);,(txv是如下齐次方程混合问题的解,(I)),(00),0(002xfvvvtlxvavtlxxxxt9则dtxvt0);,(为非齐次方程混合问题(II)000)0,0(),(002tlxxxxtuuutlxtxfuau的解。作业：179页1，2。