第三章Poisson过程补充.

课前练习.}0),({;},2,1),({,)2,0(,cos)(不是宽平稳过程而是宽平稳序列证明的随机变量上的均匀分布是服从这里设ttXttXUUttX0cos21)]([20utdutXE),(stusduutcoscos2120故)(tX是宽平稳随机序列。Nststst,021当，，当解:.,有关协方差仅与均值为常数st)]cos()[cos(21coscosbababa}0),({ttX对于随机过程022sin01)]([tttttXE,,,0不为常数有关均值与时当tt.}0),({不是宽平稳过程故随机过程ttX例1顾客到达某商店服从参数4人/小时的泊松过程，已知商店上午9：00开门，试求到9：30时仅到一位顾客，而到11：30时总计已达5位顾客的概率。解)5)5.2(,1)5.0((XXP)4)5.0()5.2(,1)5.0((XXXP5.041!1)5.04(e244!4)24(e0155.0设表示在时间t时到达的顾客数)(tX独立增量性设通过十子路口的车流可看作泊松过程,如果1分钟内没有车子通过的概率为0.2,求2分钟内有多于一辆车通过的概率.例2,],0()(内通过的车辆数表示设ttN),1,0(!)(})({kektktNPtk2.0}0)1({eNP由5ln2.0ln得2221}1)2({}0)2({1}1)2({1}1)2({eeNPNPNPNP83.0解:.)(),()()(X0),(0),(X21212121过程的是具有参数为证明过程，令的独立的，分别是参数为和设PoissontXtXtXtPoissonttXtt例4的矩母函数为则XX),(P~)1(0!)(teiiteiee0X!)()(iiittXeieeEt的矩母函数为因此21XX)1)((exp)()()(212121tXXXXettt.)(21过程的是具有参数为即PoissontX解:选择题)()(的描述不正确的是过程的具有参数tXpoisson)(}2)({.}1)({..0)0(.hohXPDhhXPCBXA过程有平稳独立增量C练习7(),0{(5)4};{(5)4,(7.5)6,(12)9};{(12)9(5)4};(4){(5)4(12)9};NttPNPNNNPNNPNN课前练习：设{}服从强度为的泊松过程，求(1)(2)(3)45(1)P54(5)4!Ne解：(2)54,(7.5)6,(12)954,(7.5)(5)2,(12)(7.5)3PNNNPNNNNN4522.534.5[(5)4!][(2.5)2!][(4.5)3!]eee(5)[(5)],[(5)],[(5),(12)].ENDNCovNN8(3)(12)9(5)4(5)4,(12)9(5)4(5)4,(12)(5)5(5)4(5)4(12)(5)5(5)4PNNPNNPNPNNNPNPNPNNPN57(12)(5)5(7)5!PNNe(4)(5)4(12)9(5)4,(12)9(12)9PNNPNNPN(5)4(12)(5)5(12)9PNPNNPN455749449912(5)4!(7)5!551.1212(12)9!eeCe(5)[(5)],[(5)],[(5),(12)].ENDNCovNNE[N(5)]=5,55,DN[(5),(12)]5.CovNN定义3.1.1:,0)(,}0),({以下两个特点它具备发生的次数时刻某一特定事件到满足如果称为计数过程随机过程AttNttN.],()()()()(,)2(;0)()1(发生的次数事件时间内表示且时且取值为整数AtssNtNtNsNtstN注如果在不相交的时间区间中发生的事件个数是独立的，则称计数过程有独立增量。若在任一时间区间中发生的事件个数的分布只依赖于时间区间的长度，则称计数过程有平稳增量。若计数过程有如下的性质定义3.1.2,2,1,0,!)(})()({,0,0,)3(;)2(;0)0()1(,)0(}0),({nntensNstNPtspoissonttNpoissonttNnt有即对一切发布的次数服从均值为的的时间区间中事件发生在任一长度为过程有独立增量如果过程的称为参数为计数过程)(}2)()({,0)4()(}1)()({,0,0)3(;)2(;0)0()1(,}0),({hotNhtNPhhohtNhtNPhNttN有时当有时当存在过程有平稳独立增量它满足是一个计数过程设定义3.1.2的等价定义15强度为的泊松过程的数字特征：0001.,ENttENtNttt；00002.,000,arNNDNttDNtNttttNtENttVtDNtt，特别地，，由假设，可得：；3.,,,0Nstminstst协方差函数：，；24.,,,,0NNNNRstststminststst自相关函数：，。练习.)(),()()(X)()(N212121关函数的均值函数和自相求过程，令的独立的，分别是参数为和设tXtNtNtPoissontNtttNtNEtXEtX)()]()([)]([)(2121解:)]()([)]()([)]()([)]()([)()()][()([)]()([),(221221112121tNsNEtNsNEtNsNEtNsNEtNtNsNsNEtXsXEtsRX),min()()(21221tsst),min()]()([12111tssttNsNE其中tstNsNE2121)]()([),min()]()([22222tssttNsNEsttNsNE2112)]()([),(tsRX),min()()(21221tsst[例]设某路公共汽车从早上5时到晚上9时有车发出。乘客流量如下：5时平均乘客为200人/时；5时至8时乘客线性增加，8时达到1400人/时；8时至18时保持平均到达率不变；18时至21时到达率线性下降，到21时为200人/时。假定乘客数在不相重叠的时间间隔内是相互独立的。求12时至14时有2000人来站乘车的概率，并求出这两小时内乘客人数的数学期望。1613,)13(4001400133,140030,400200)(tttttt2800400d1d)()7()9(9797tttmmXX28002000!20002800]2000)7()9([eXXP3.3非齐次泊松过程•设{X(t),t0}为具有强度函数(t)的非齐次泊松过程，则EX(t)=DX(t)=mX(t)证100)(exp)!1()]([)(exp!)]([})({)(nXnXnXnXntmntmtmntmnntXnPtEX3.3非齐次泊松过程)()(exp)(exp)()!1()]([)(exp)(11tmtmtmtmntmtmtmXXXXnnXXX102022)(exp!)]([])1([)(exp!)]([})({])([nXnXnXnXntmntmnnntmntmnntXPntXE3.3非齐次泊松过程)()]([)()]([)]([])([)]([)()]([)!1()]([)(exp)()!2()]([)(exp)]([2222211222tmtmtmtmtEXtXEtXDtmtmntmtmtmntmtmtmXXXXXXnnXXXnnXXX过程的非齐次强度函数为Poissont0)(.)()(0为其均值函数tdsstmtdsstNE0)()]([tdsstND0)()]([故!))((})()({)(nduuentNstNPnsttduustt例4某小商店上午8时开始营业,从8时到11时平均顾客到达率线性增加.从8时开始顾客平均到达率为5人/小时,11时到达率达高峰,为20人/小时,从11时至下午1时到达率不变,从下午1时至5时顾客到达率线性下降,到下午5时顾客到达率为12人/小时.设在不相重叠的时间间隔内到达的顾客数是相互独立的.求在上午8时半至9时半无顾客到达的概率和该段时间内到达顾客的数学期望.解:设上午8时为t=0,单位为小时,则95)5(22053203055)(tttttt2321)()21()23(dttmm2321)55(dtt1010}0)21()23({eNNP10)]21()23([NNE95)5(22053203055)(tttttt，则的强度为泊松过程是一复合泊松过程设定理}0),({,}0,)({)(1ttNtYtXtNii则若有独立增量,][)2(;)()1(2iYEtX][)]([],[)]([211YtEtXVarYtEtXE例5设移民到某地定居的户数是一泊松过程,平均每周有2户定居.设每户的人口数是一列独立同分布的随机变量,一户有4人的概率是1/6,有3人的概率是1/3,有2人的概率是1/3,有1人的概率是1/6.求5周内到该地定居的移民人数的数学期望和方差.解:.)(,)(1复合泊松过程是一则移民总人数户人口数记第以tNiiiYtXiY5,2t由题意p432161613131的分布率为iY25611312313614)(1YE643611312313614)(222221YE252552)]5([XE321564352)]5([XD故