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第三节格林公式及应用3.1学习目标掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件,会求二元函数全微分的原函数.3.2内容提要1.格林公式设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,函数,,,PxyQxy在D内具有一阶连续偏导数,则有LDQPPdxQdydxdyxy,其中L是D的取正向的边界曲线.【注】(1)格林公式揭示了二重积分与曲线积分的联系.(2)D可以是复连通区域.(3)L为正向的封闭曲线,yxQyxP,,,在D内具有一阶连续偏导数,两者缺一不可.在利用格林公式计算曲线积分时,若L不封闭,则考虑适当补边使之封闭;若在D内函数有奇点,应考虑将奇点挖掉.(4)当xQyP,时,可求出封闭曲线所围区域的面积12LAxdyydx2.平面上曲线积分与路径无关的条件设区域G是一个单连通域,函数yxQyxP,,,在区域G内具有一阶连续的偏导数,则曲线积分LQdyPdx在G内与路径无关(或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零)的充要条件是yPxQ在G内恒成立.【注】若曲线积分与路径无关,在进行曲线积分的计算时,可以在G内选择简单路径,选择折线是常用的方法.3.二元函数的全微分求积设区域G是一个单连通域,函数yxQyxP,,,在区域G内具有一阶连续的偏导数,则(,)(,)PxydxQxydy在G内为某一函数(,)uxy的全微分的充要条件是yPxQ在G内恒成立.0000(,)0(,)(,)(,)(,)(,)(,)xyxyxyxyuxyPxydxQxydyPxydxQxydy或000(,)(,)(,)yxyxuxyQxydyPxydx.其中000(,)Mxy是区域G内适当选定的一点.【注】设区域G是一个单连通域,函数yxQyxP,,,在区域G内具有一阶连续的偏导数,则以下四个命题等价:命题1曲线积分LQdyPdx在G内与路径无关;命题2在G内任意一条闭曲线L,有LQdyPdx=0;命题3表达式dyyxQdxyxP,,在G内是某个二元函数的全微分,即存在yxu,使得dyyxQdxyxPdu,,;命题4yPxQ在G内每一点处成立.4.计算LQdyPdx的一般步骤(1)首先验证是否yPxQ,(2)若yPxQ,考察L是否封闭,若封闭用格林公式;若不封闭取参数,,xttyt求,(3)若yPxQ,也考察L是否封闭,若封闭结果为0;若不封闭,用折线或用补线来求.3.3典型例题与方法基本题型I:利用格林公式求第二类曲线积分例1填空题(1)设(,)fxy在22:14xDy内具有连续的二阶偏导数,C为顺时针方向的椭圆2214xy,则[3'(,)]'(,)________xyCyfxydxfxydy.(2)设质点在力22Fxyixyj作用下沿圆周222xya的顺时针方向运动一周,则力F所作的功________W.解(1)由格林公式,注意到曲线C为顺时针方向,得[3'(,)]'(,)[(,)''(,)3]36xyCyxxyDDyfxydxfxydyfxyfxydd故应填6.(2)设曲线222:Cxya围成的区域为D,则2222234001()2aCDWxydxxydyxydxdydda故应填412a.例2选择题(1)设曲线C为椭圆2241xy,并取正向,则曲线积分224Cydxxdyxy等于().(A)0;(B)2;(C);(D).(2)已知2xaydxydyxy是某函数的全微分,则a等于().(A)1;(B)0;(C)2;(D)2.解(1)因为2241xy,代入得2224CCDydxxdyydxxdydxdyxy.故选(D).(2)22(,),(,),xayyPxyQxyxyxy于是33(2)2,,PaxayQyyxxyxy由PQyx可得2a,故选(D).例3计算Ldyyxdxyx,其中L为椭圆线12222byax的正向.【分析】L为封闭光滑曲线取正向,符合格林公式的条件,可用格林公式进行计算.解Ldyyxdxyx=abdxdydxdyDD2211,其中D为椭圆域12222byax.例4计算Lyxdyyxdxyx22,其中L为圆222ayx的正向.【分析】此题可直接用公式20,sin,costtaytax计算.也可用积分曲线方程化简被积函数,再用格林公式计算.下面给出后一种解法.解222LLxydxxydyxydxxydyxya22111222aadaD.【方法点击】该题不能直接利用格林公式计算,因为被积函数在222:ayxD内不满足具有一阶连续偏导数的条件,但由曲线L的方程化简被积函数后,就满足了格林公式的条件,可再用格林公式计算.例5计算32()(3)xxCyemydxyemdy,C为从E到F再到G,FG是半圆弧.图3-1【分析】显然C为从E到G的分段光滑曲线,可以直接化为定积分进行计算,但计算较复杂.如果补边GE,则可成为封闭曲线,利用格林公式计算后再减去GE上的积分,可得所求积分值.但要注意曲线的方向.解myeyPx3,meyQx23,meyyPx23,23xQyex,oyxF(2,1)E(1,0)G(3,0)myPxQ.添加直线GE,利用格林公式得,Cxxdymeydymyey)3()(23+GEQdypdx(1)4Dmdxdym.所以,Cxxdymeydymyey)3()(23=m)41(-GEQdypdx=)41(m.【方法点击】补边是利用格林公式解决非封闭曲线积分的重要方法,但须满足格林公式的条件.例6计算Lxdyydx,其中L沿曲线22xxy自点0,2到0,0的有向弧段.图3-2【分析】本题可利用L的方程直接求解,得到解法一.还可以通过补边,使其满足格林公式的条件,再利用格林公式计算.解法一如图3-2所示,L的方程22,yxxdxxxxdy221,故dxxxxxxxxdyydxL0222212.解法二补线020:1yxL(方向与x轴的方向一致),1L与曲线L围成闭区域D,由格林公式11LLLLxdyydxxdyydxxdyydx而DDLLdxdydxdyyPxQxdyydx21.01Lxdyydx.从而Lxdyydx.oyx【方法点击】在计算第二类曲线积分时,若被积函数或积分曲线比较复杂,可考虑使用格林公式.但须注意:①要求曲线封闭,否则应适当进行补边.②闭曲线为正向.③,PQyx在闭曲线围成的区域内连续.例7计算星形线围成图形的面积.【分析】作为格林公式的应用,可利用12LAxdyydx求封闭曲线L所围区域的面积.解224222420113(3cossin3cossin)228LAxdyydxattattdta.基本题型II:根据曲线积分与路径无关求第二类曲线积分例8计算积分()(2)yyLIexdxxeydy,L为过)0,0(,)1,0(和)2,1(点的圆弧.图3-3【分析】该题的积分曲线方程和被积函数较复杂,若用参数方程解题很麻烦.考虑到xePy,yxeQy2,yexQ,yeyP,积分与路径无关,采用折线法解之.解xePy,yxeQy2,yexQ,yeyP,所以I与路径无关.取折线ABOA,则IOAQdyPdx+ABQdyPdx=2010)2()1(dyyedxxy=272e.例9设uf有一阶连续的导数,证明对任何光滑闭曲线L,有,sin,cos33taytax)20(t0xdyydxxyfLByAxo【分析】只要证明与路经无关,就可得出.证明由xdyydxxyfL可知,xyxfQxyyfP,,又uf有一阶连续的导数,所以xQxyfxyxyfyP,故积分xdyydxxyfL与路经无关,从而对任何光滑闭曲线L,有0xdyydxxyfL.基本题型III:二元函数全微分求积例10验证:ydyxdxyxcos)sin2(是某一函数的全微分,并求出一个原函数.图3-4解yxPsin2,yxQcos,yxQcos,yyPcos,所以原式在全平面上为某一函数的全微分.取)0,0(),(00yx,),()0,0(),(yxQdyPdxyxu=xyydyxxdx00cos2=yxxsin2.例11验证表达式dyxyyxdxyyx46353424233为全微分,并求原函数.解,463,,534,24233xyyxyxQyyxyxPxQyyxyP61223.故一定有yxu,,使QdyPdxdu.下面用两种方法来求yxu,.解法一用折线法:yxu,=xyyxdyyxQdxxPQdyPdx00,0,0,0,0xdyydxxyfL),(yx)0.(xoyx42432005364534xydxxyxydyxxyxyy故yxu,=Cyxyyxx435234.解法二不定积分法:由于332,435,uPxyxyyx故两边对x积分可得:yxu,=332435xyydxCy=yCxxyyx53234,又因为,463'63,2424xyyxyCxyyxyxQyu所以CyyCyC4,4',故yxu,=Cyxyyxx435234.3.4教材习题解答1.计算下列曲线积分,并验证格林公式的正确性:(1)Ldyyxdxxxy222,其中L是由抛物线xyxy22,所围成的区域的解法一据题设可知,曲线积分满足格林公式的条件,记D是L围成的闭区域,于是Ldyyxdxxxy2222101121230xxDDQPdxdyxdxdydxxdyxy.解法二设01:,:;10:,:2221yyxLxxyL,则Ldyyxdxxxy22212222LLxyxdxxydy3013034672222)()2()()2(01224310423222221dyyyyyydxxxxxxdyyxdxxxydyyxdxxxyLLD(2)2.利用曲线积分,求下列曲线所围成的图形的面积:(1)星形线taytax33sin,cos(2)椭圆22916144xy(3)圆222xyax.解(1)203333)cos(sin)sin(cos2121dttatatataydxxdyAL32022383cossin321atdtta(2)椭圆的参数方程为4cos,3sin,02xy12LAxdyydx201[4cos3cos3sin(4sin)]122d
本文标题:第三节格林公式及应用
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