第三节格林公式及应用

第三节格林公式及应用3.1学习目标掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数.3.2内容提要1.格林公式设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数,,,PxyQxy在D内具有一阶连续偏导数，则有LDQPPdxQdydxdyxy，其中L是D的取正向的边界曲线．【注】（1）格林公式揭示了二重积分与曲线积分的联系．（2）D可以是复连通区域．（3）L为正向的封闭曲线，yxQyxP,,,在D内具有一阶连续偏导数，两者缺一不可．在利用格林公式计算曲线积分时，若L不封闭，则考虑适当补边使之封闭；若在D内函数有奇点，应考虑将奇点挖掉．（4）当xQyP,时，可求出封闭曲线所围区域的面积12LAxdyydx2.平面上曲线积分与路径无关的条件设区域G是一个单连通域，函数yxQyxP,,,在区域G内具有一阶连续的偏导数，则曲线积分LQdyPdx在G内与路径无关（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零）的充要条件是yPxQ在G内恒成立．【注】若曲线积分与路径无关，在进行曲线积分的计算时，可以在G内选择简单路径，选择折线是常用的方法．3.二元函数的全微分求积设区域G是一个单连通域，函数yxQyxP,,,在区域G内具有一阶连续的偏导数，则(,)(,)PxydxQxydy在G内为某一函数(,)uxy的全微分的充要条件是yPxQ在G内恒成立．0000(,)0(,)(,)(,)(,)(,)(,)xyxyxyxyuxyPxydxQxydyPxydxQxydy或000(,)(,)(,)yxyxuxyQxydyPxydx．其中000(,)Mxy是区域G内适当选定的一点．【注】设区域G是一个单连通域，函数yxQyxP,,,在区域G内具有一阶连续的偏导数，则以下四个命题等价：命题1曲线积分LQdyPdx在G内与路径无关；命题2在G内任意一条闭曲线L，有LQdyPdx=0；命题3表达式dyyxQdxyxP,,在G内是某个二元函数的全微分，即存在yxu,使得dyyxQdxyxPdu,,；命题4yPxQ在G内每一点处成立．4.计算LQdyPdx的一般步骤（1）首先验证是否yPxQ，（2）若yPxQ，考察L是否封闭，若封闭用格林公式；若不封闭取参数,,xttyt求，（3）若yPxQ，也考察L是否封闭，若封闭结果为0；若不封闭，用折线或用补线来求．3.3典型例题与方法基本题型I：利用格林公式求第二类曲线积分例1填空题(1)设(,)fxy在22:14xDy内具有连续的二阶偏导数，C为顺时针方向的椭圆2214xy，则[3'(,)]'(,)________xyCyfxydxfxydy．(2)设质点在力22Fxyixyj作用下沿圆周222xya的顺时针方向运动一周，则力F所作的功________W．解（1）由格林公式，注意到曲线C为顺时针方向，得[3'(,)]'(,)[(,)''(,)3]36xyCyxxyDDyfxydxfxydyfxyfxydd故应填6．（2）设曲线222:Cxya围成的区域为D，则2222234001()2aCDWxydxxydyxydxdydda故应填412a．例2选择题（1）设曲线C为椭圆2241xy，并取正向，则曲线积分224Cydxxdyxy等于（）.（A）0；（B）2；（C）；（D）．（2）已知2xaydxydyxy是某函数的全微分，则a等于（）.（A）1；（B）0；（C）2；（D）2．解（1）因为2241xy，代入得2224CCDydxxdyydxxdydxdyxy．故选（D）．（2）22(,),(,),xayyPxyQxyxyxy于是33(2)2,,PaxayQyyxxyxy由PQyx可得2a，故选（D）．例3计算Ldyyxdxyx，其中L为椭圆线12222byax的正向.【分析】L为封闭光滑曲线取正向，符合格林公式的条件，可用格林公式进行计算.解Ldyyxdxyx=abdxdydxdyDD2211，其中D为椭圆域12222byax.例4计算Lyxdyyxdxyx22，其中L为圆222ayx的正向.【分析】此题可直接用公式20,sin,costtaytax计算.也可用积分曲线方程化简被积函数，再用格林公式计算．下面给出后一种解法.解222LLxydxxydyxydxxydyxya22111222aadaD.【方法点击】该题不能直接利用格林公式计算，因为被积函数在222:ayxD内不满足具有一阶连续偏导数的条件，但由曲线L的方程化简被积函数后，就满足了格林公式的条件，可再用格林公式计算.例5计算32()(3)xxCyemydxyemdy,C为从E到F再到G,FG是半圆弧.图3-1【分析】显然C为从E到G的分段光滑曲线，可以直接化为定积分进行计算，但计算较复杂．如果补边GE，则可成为封闭曲线，利用格林公式计算后再减去GE上的积分，可得所求积分值．但要注意曲线的方向．解myeyPx3,meyQx23,meyyPx23,23xQyex,oyxF(2,1)E(1,0)G(3,0)myPxQ.添加直线GE,利用格林公式得，Cxxdymeydymyey)3()(23+GEQdypdx(1)4Dmdxdym．所以,Cxxdymeydymyey)3()(23=m)41(-GEQdypdx=)41(m.【方法点击】补边是利用格林公式解决非封闭曲线积分的重要方法，但须满足格林公式的条件．例6计算Lxdyydx，其中L沿曲线22xxy自点0,2到0,0的有向弧段.图3-2【分析】本题可利用L的方程直接求解，得到解法一．还可以通过补边，使其满足格林公式的条件，再利用格林公式计算.解法一如图3-2所示，L的方程22,yxxdxxxxdy221，故dxxxxxxxxdyydxL0222212.解法二补线020:1yxL（方向与x轴的方向一致），1L与曲线L围成闭区域D，由格林公式11LLLLxdyydxxdyydxxdyydx而DDLLdxdydxdyyPxQxdyydx21.01Lxdyydx.从而Lxdyydx.oyx【方法点击】在计算第二类曲线积分时，若被积函数或积分曲线比较复杂，可考虑使用格林公式．但须注意：①要求曲线封闭，否则应适当进行补边．②闭曲线为正向．③,PQyx在闭曲线围成的区域内连续．例7计算星形线围成图形的面积.【分析】作为格林公式的应用，可利用12LAxdyydx求封闭曲线L所围区域的面积．解224222420113(3cossin3cossin)228LAxdyydxattattdta.基本题型II：根据曲线积分与路径无关求第二类曲线积分例8计算积分()(2)yyLIexdxxeydy,L为过)0,0(,)1,0(和)2,1(点的圆弧.图3-3【分析】该题的积分曲线方程和被积函数较复杂，若用参数方程解题很麻烦.考虑到xePy,yxeQy2,yexQ,yeyP,积分与路径无关，采用折线法解之.解xePy,yxeQy2,yexQ,yeyP,所以I与路径无关.取折线ABOA，则IOAQdyPdx+ABQdyPdx=2010)2()1(dyyedxxy=272e.例9设uf有一阶连续的导数，证明对任何光滑闭曲线L，有,sin,cos33taytax)20(t0xdyydxxyfLByAxo【分析】只要证明与路经无关，就可得出.证明由xdyydxxyfL可知，xyxfQxyyfP,，又uf有一阶连续的导数，所以xQxyfxyxyfyP，故积分xdyydxxyfL与路经无关，从而对任何光滑闭曲线L，有0xdyydxxyfL.基本题型III：二元函数全微分求积例10验证:ydyxdxyxcos)sin2(是某一函数的全微分,并求出一个原函数.图3-4解yxPsin2,yxQcos,yxQcos,yyPcos,所以原式在全平面上为某一函数的全微分.取)0,0(),(00yx,),()0,0(),(yxQdyPdxyxu=xyydyxxdx00cos2=yxxsin2.例11验证表达式dyxyyxdxyyx46353424233为全微分，并求原函数.解,463,,534,24233xyyxyxQyyxyxPxQyyxyP61223．故一定有yxu,，使QdyPdxdu．下面用两种方法来求yxu,．解法一用折线法：yxu,=xyyxdyyxQdxxPQdyPdx00,0,0,0,0xdyydxxyfL),(yx)0.(xoyx42432005364534xydxxyxydyxxyxyy故yxu,=Cyxyyxx435234.解法二不定积分法：由于332,435,uPxyxyyx故两边对x积分可得:yxu,=332435xyydxCy=yCxxyyx53234，又因为,463'63,2424xyyxyCxyyxyxQyu所以CyyCyC4,4'，故yxu,=Cyxyyxx435234.3.4教材习题解答1.计算下列曲线积分，并验证格林公式的正确性：（1）Ldyyxdxxxy222，其中L是由抛物线xyxy22,所围成的区域的解法一据题设可知，曲线积分满足格林公式的条件，记D是L围成的闭区域，于是Ldyyxdxxxy2222101121230xxDDQPdxdyxdxdydxxdyxy.解法二设01:,:;10:,:2221yyxLxxyL，则Ldyyxdxxxy22212222LLxyxdxxydy3013034672222)()2()()2(01224310423222221dyyyyyydxxxxxxdyyxdxxxydyyxdxxxyLLD（2）2.利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积：(1)星形线taytax33sin,cos（2）椭圆22916144xy（3）圆222xyax.解（1）203333)cos(sin)sin(cos2121dttatatataydxxdyAL32022383cossin321atdtta（2）椭圆的参数方程为4cos,3sin,02xy12LAxdyydx201[4cos3cos3sin(4sin)]122d