第九章方差分析及回归分析.

1、2019/12/191第九章方差分析及回归分析§1单因素试验的方差分析（一）单因素试验在科学试验和生产实践中，影响一事物的因素很多。方差分析是根据试验的结果进行分析，鉴别各个有关因素对试验结果影响的有效方法。在试验中，我们将要考察的指标称为试验指标。影响试验指标的条件称为因素。因素可分为两类，一类是人们可以控制的（可控因素）；一类是人们不可控制的。以下我们所说的因素都是指可控因素。因素所处的状态，称为该因素的水平。如果在一项试验中只有一个因素在改变时称为单因素试验。如果多于一个因素在改变称为多因素试验。2019/12/192例1设有三台机器，用于生产规格相同的铝合金薄板。取样，测量薄板的厚度精确至千分之一厘米。得结果如下表所示。机器1机器2机器30.2360.2570.2580.2380.2530.2640.2480.2550.2590.2450.2540.2670.2430.2610.262这里，试验的指标是薄板的厚度。机器为因素，不同的三台机器就是这个因素的三个不同的水平。我们假定除机器这一因素外，材料的规格、操作人员的水平等其他条件都相同。这就是单因素试验。试验的目的是为了考察。

2、各台机器所生产的薄板的厚度有无显著的差异。铝合金板的厚度2019/12/193例2下面列出了随机选取的、用于计算器的四种类型的电路的响应时间（以毫秒计）。类型1类型2类型3类型4191520401617182221152220331819182726电路的响应时间这里，试验的指标是电路的响应时间。电路类型为因素，这一因素有四个水平。这是一个单因素的试验。试验的目的是为了考察各种类型电路的响应时间有无显著性差异。2019/12/194例3三名工人分别在四种不同的机器上生产同一种零件，每人在每台机器上工作3天，其日产量如下表所示：工人(B)B1B2B3机器(A)A115,15,1719,19,1616,18,21A217,17,1718,15,1519,22,22A315,17,1618,17,1618,18,18A418,20,2215,16,1717,17,172019/12/195这里试验指标是零件的日产量，工人和机器是因素，它们分别有3个、4个水平。这是一个双因素试验。试验目的在于考察不同工人在不同机器上生产零件的日产量有无显著差异。本节先讨论单因素试验的方差分析。2019/12/。

3、1962rr、对于表示个水平的个正态总体的方差，认为都是相等的。3ijX、从不同总体中取出的各个样本，即各个相互独立。i12,,iiiinXXX2(,)1,2,iNirin2,i1,2,ir1、对变量因素的某一个水平，第个水平进行试验，得到的观察结果看作是从正态总体中取出的一个容量为的样本，且均未知。（二）方差检验的基本前提：2019/12/197设因素A有r个水平A1，A2，…，Ar，在每个水平Ai(i=1，2，…，r)下，进行ni(ni≥2)次独立试验，整理试验结果如下表所示。ri21rirnrjrrinijiinjnjXXXXXXXXXXXXXXXX21212222211112112112irTTTT12irXXXX试验结果试验批号样本和样本均值12…j…ni因素水平其中Xij表示在水平Ai下进行第j次试验的结果(j=1，2，…，ni，i=1，2，…，r)。2019/12/19822~(,),~(0,),ijiijiXNXN由于即有,ijiijiijijXXX故可看成是随机误差。记则可写。

4、成2,~(0,)1,2,,,1,2,,.ijiijijijiXNirjn，各独立，2i其中，与均为未知参数。则上式单因素试验方差分析的数称为学模型。（1.1）2019/12/199（三）统计假设1,,;1,2,,)).ijijiXXjnirN2如果要检验的因素对试验结果没有显著影响，则试验的全部结果应来自同一正态总体。因此，提出一项统计假设：所有的（都取自同一正态总体(,即012112:;:,,rrHH中不全相等。（1.2）2019/12/1910111,rriiiniinnn记其中，称为总平均。,1,2,,.iiir再引入11220,ririiiAnnnA此时，有表示水平下的总体平均值与总平均的差异，习惯上将水平称为的效应。111,inrijijXXn作下面的记号：11.iniijjiXXn2019/12/19111.1利用上面的记号，模型（）可以写成,ijiijX2~(0,),ijijN各独立，1,2,,,1,2,,iirjn10.riiin。

5、(1.1)0121121.2)0,:,,,rrHH而假设（等价于假设：不全为零。(1.2)2019/12/191200ijijHrXHX若成立，则个总体之间无差异。这样，各个间的差异只是由随机因素引起的，若不成立，则所有的总变差中，除了随机波动引起的变差之外，还包含了由于因素的不同水平作用所引起的变差。221111()(..)iinnrrijijiiijijXXXXXX2211111(.)(.)2(.)(.)iinnrrrijiiiijiiijiijXXnXXXXXX（四）检验方法2019/12/1913因为11(.)(.)inrijiiijXXXX所以22111211()(.)(.)iinrrijiiijinrijiijXXnXXXX11(.)(.)0inriijiijXXXX2019/12/1914若记211()inrTijijSXX211(.)inrEijiijSXX21(.)rAiiiSnXXTAES。

6、SS则2019/12/1915TSn为，是总样本方差的离（-差平方和1)倍；EESS表示样本观察值与样本均值的差异，这是由随机误差所引起的，叫做误差平方和；AASS表示样本平均值与数据总平均的差异，这是因素的效应的差异以及随机误差引起的，叫效应做因素的平方和。2019/12/1916ES的统计特性2221)/~(1)jnijjjiXXn（2由分布的可加性知221/~((1))rEjjSn22/~()ESnr2()()EESnr1221111()()rnnEiirriiSXXXX2019/12/1917AS的统计特性2~(,/)XNn221()[]rAjjjESEnXnX11.10,rjjjn由（）式故有221(1)rAjjjESrn）（0AESSH进一步还可以证明与独立，且当为真时22/~(1)ASr222211(1)2rrjjjjjjrnnnn221()()rjjjnEXnEX22221[()]()jrjjjnnnn。

7、2019/12/1918220/(1)THSn如果成立，则22/(),ESnr22/(1)ASr2019/12/1919221//1/11EAAAEESSSSSrFrnrSnr且与独立，统计量单因素试验方差分析表方差来源平方和自由度均方F比因素A误差总和ASESTSr-1n-rn-11AASSrEESSnrAESFS(1,)Frnr(1,)aFFrnr拒绝域：20H分母数学期望为，而当不真时，分子有偏大的趋势2019/12/1920111,.,1,2,,,..,iiTAEniijjnrijijSSSTXirTX在实际中，我们可以按较为简便的公式来计算和记即有2019/12/192122221111222211,,iinnrrTijijijijrriiAiiiiETATSXnXXnTTSnXnXnnSSS2019/12/1922例4设在例1中符合模型（1.1）条件，检验假设（=0.05)：01231123:,:,,HH。

8、不全相等。235,15,rnnnn1解现在=3,223..1iAiiTTSnn23521115TijijTSX23.80.9639120.00124533,15222213.8(1.211.281.31)0.001053335152019/12/19230.000192.ETASSS方差来源平方和自由度均方F比因素误差0.001053330.0001922120.000526670.00001632.92总和0.0012453314例1的方差分析表0.05(2,12)F因,,114,12,12,TAESSSnrnr的自由度依次为得方差分析表如下：3.8932.92,00.05,H故在水平下拒绝认为各台机器生产的薄板厚度有显著差异。2019/12/1924（五）未知参数的估计22(,)(,),ikikikHNNik0拒绝还是接受,需要作出两总体和的均值差的区间估计。/2111()()ikikikEikXXtnrSnn通过推导，可得均值差的置信水。

9、平为的置信区间为220ˆESHnr不管是否为真，是的无偏估计。2019/12/1925.4,(1,2,3)0.95iii2例5求例中的未知参数，的点估计及均值差的置信水平为的置信区间。/()0.000016ESnr2解：1122330.242,0.256,0.262xxx0.253x110.011,xx330.009,xx220.003xx2019/12/19260.0250.025()(12)2.1788tnrt均值差的区间估计如下：由得121323,0.95故及的置信水平为的置信区间分别为（0.242-0.2620.006）=（-0.026，-0.014），（0.256-0.2620.006）=（-0.012，0）0.02511(12)()EiktSnn622.178816100.0065（0.242-0.2560.006）=（-0.020，-0.008），2019/12/1927（一）双因素等重复试验的方差分析§2双因素试验的方差分析1212,,,,.,。

10、,),1,2,,,1,2,,(2)rsijABArAAABsBBBABABirjstt设有两个因素，作用于试验的指标。因素有个水平因素有个水平,,,现在对因素的水平的每对组合（都作次试验（称为等重复试验），得到如下的结果。2019/12/19282019/12/1929引入记号：111,rsijrsij11,siijsj11rjijri,,iijj.ijijijijijAB称为水平和水平的交互效应。jijiAB总平均的称为，称为水平称为效水平应，的效应。2019/12/193021111(0,),1,2,,;1,2,,;1,2,,0,0,0,0ijkijijijkijkijkrsrsijijijijijXNirjskt双因素试验方差分析的数学模型为：各独立，2,,ijij其中，及都是未知参数。此时，2019/12/1931对于这一模型要检验以下三个假设01121112:0:,,,rrHH。