第二章单自由度系统振动56

第二章单自由度系统振动单自由度系统不但包含振动理论的重要基础，而且工程上有许多问题都可以简化为单自由度系统并得到满意的结果。此外，应用坐标变换或振型叠加法，多自由度系统和连续系统的振动可以转化为单自由度系统进行分析。因此，单自由度系统分析理论还是进一步研究复杂振动的基础。2.1振动微分方程单自由度系统由质量、弹簧及阻尼组成，一般受外部激励作用。图2.1(a)即为一简单的单自由度弹簧-阻尼器-质量系统，单自由度系统振动微分方程是一个二阶常系数微分方程。下面就通过几个例题来说明振动微分方程的建立方法。[例一]简单弹簧质量系统如图2.1(a)所示：一单自由度弹簧-阻尼器-质量系统。该系统受激励Ft作用，质量、弹簧刚度和阻尼分别为m、k和c，弹簧无初始变形。解：取质量块为研究对象，以()xt表示水平振动位移，当质量块水平振动位)(tx)(tFkcmkxxc)(tx)(tFmg2.1a图（）力学模型2.1b图（）受力图1N2N移为xt时，速度为xt，其受力图如图2.1(b)所示。根据牛顿第二定律，在水平方向有：()--()Ftcxkxmxt(2.1)整理得：()mxcxkxFt(2.2)[例二]基础运动引起的振动图2.2(a)为基础运动引起系统振动的简化模型，如地震引起的机床、设备、工程结构物振动等。图中yt为基础的振动位移，此类问题可用两种坐标系建立方程，质量块的绝对振动位移xt或质量块相对基础的振动位移zt。当采用绝对坐标时，设xt为质量块的绝对振动位移，弹簧两端相对位移为()xy，阻尼器两端相对速度为xy，受力图如图2.2(b)所示。图2.2(a)力学模型图2.2(b)绝对坐标图2.2(c)相对坐标根据牛顿第二定律,在竖直方向有：0)()(yxkyxcxm(2.3)整理得：)(tx)(ty)(tzkc)(yxk)(yxckzzkm)(txmmmxcxkxkycy(2.4)当采用相对坐标时，设)(tz为质量块相对基础的振动位移，则质量块的绝对加速度为)(yz，受力图如图2.2(c)所示。根据牛顿第二定律，在竖直方向有：0)z(kzzcym(2.5)整理得：ymkzzczm(2.6)方程(2.4)和(2.6)形式上有差别，但计算结果是一样的。在此例中，我们没有考虑重力及弹簧在重力作用下的初始变形，这是因为我们是在平衡状态下研究振动增量，对于线性系统，初始变形量可以不考虑。在前面两例中建立方程时我们也没有标明坐标原点及其静平衡位置，这是因为振动分析只研究振动产生的动位移、速度、加速度和动力等部分，分析的是系统的附加动位移和附加动力等，坐标原点或静平衡位置对动力分析没有影响。正因为如此，作结构全部受力分析时还要叠加上静力分析结果。比较(2.2)、(2.4)和(2.6)可以看出，单自由度系统振动微分方程一般形式为：mxcxkxFt(2.7)对于线性系统，系统参数m、c和k为常数，方程是二阶常微分方程。只是对不同的问题，其系数m、c、k和外力的表达形式不同，初始位移和初始速度不同。二阶常系数微分方程的解有两个待定常数，由系统初始位移和初始速度确定。当系统没有激励时，0Ft，叫作自由振动，对应的振动微分方程是齐次微分方程；系统在激励Ft作用下的振动（0Ft），叫作强迫振动，对应的振动微分方程是非齐次微分方程。阻尼0c的系统叫无阻尼系统。现实中并不存在无阻尼系统，但无阻尼系统的讨论有重要的理论意义，这一点将在后续介绍中有所体现。微分方程建立后，单自由度振动问题已转化为寻找满足初始条件的微分方程解的问题。借助于计算机，我们已经可以很容易的得到它的响应。但为了全面了解振动特性，仅仅求出响应是远远不够的，必须学习其它分析方法和手段。微分方程已将力学问题转化为数学问题，由高等数学知识知道，非齐次微分方程的解是齐次微分方程的解叠加上特解。由于特解的求解受Ft形式的影响，高等数学中分为几种类型求特解。本章将按物理意义分类介绍。无阻尼自由振动、有阻尼自由振动（齐次微分方程）和强迫振动（非齐次微分方程）、简谐激励和单位脉冲激励、一般激励强迫振动特解顺序讨论单自由度系统振动，考虑到振动试验分析需要，还介绍了傅氏积分变换和传递函数。2.2无阻尼自由振动无阻尼自由振动系统是没有阻尼且不受外部激励的系统。令式(2.7)中Ft和c为零，得到无阻尼自由振动微分方程：0kxxm(2.8)按微分方程理论，设其解为：stAex(2.9)式中A和s均为待定常数。将式(2.9)代入式(2.8)式有0)(2stAekms为了得到非零解,只能：02kms有0m2ks令：mkn(2.10)nis式中i为虚数符号。根据微分方程理论，式(2.8)的通解为titinneAeAx21(2.11)式中1A和2A为待定常数，可由初始条件确定。根据欧拉公式titenntinsincos(2.12)将(2.12)式代入(2.11)式整理得：tAAitAAxnnsin)(cos)(2121(2.13)由于1A和2A都是待定常数，两个待定常数的和、差仍然是待定常数，可用另一个待定常数代替，设112()BAA212(-)BiAA(2.14)式(2.13)改写为：12cossinnnxBtBt(2.15)1B和2B是新的待定常数。设1B和2B关系如图2.3所示，则:图2.3变换示意图2221BBB(2.16)cos1BBsin2BB21tan/BB(2.17)将式（2-17）代入式(2.15)，解可表达为：)sinsincos(costtBxnn)cos(tBxn(2.18a)将图2.3中的1B、2B互换，可得)(sintBxn(2.18b)式中B和是待定常数。式(2.11)、(2.15)和(2.18)是同一个函数的三种表达式，表达式都各有两个待定常数，这些待定常数之间的关系见(2.14)、(2.16)和(2.17)，并由初始条件确定。三种表达式各有特点：式(2.11)求导方便；式(2.15)的两个常数分别由初始位移和初始速度确定；式(2.18)物理意义明确。下面我们用式（2-18b）来讨论单自由度无阻尼自由振动特性，由于正余弦函数最大值为1，所以振动的最大幅度为B，叫做振幅。由于正弦和余弦函数的周期是2，所以振动的周期Ｔ为：n2/T(2.19)2BB1Bx(t)t0n图2.4振动曲线示意图由于n只与系统的参数有关，其量纲为弧度/秒(rad/s)，在量纲上与简谐振动的圆频率相同，并仅仅由系统质量和弹簧刚度确定(见式2.10)，反映了系统的固有特性，所以叫作(无阻尼)固有频率。工程上常用每秒振动的次数来恒量振动的快慢，叫做(工程)频率f(赫兹:1/s)。固有频率与工程频率的关系为：fn2(2.20)其中：1Tf(2.21)根据(2.18a)画出振动曲线示意图如图2.4，可看出：单自由度无阻尼系统振动最大幅值--振幅B不变，振动的周期不变，振动的起始点由初始相位确定。反映了振动时刻的时间起点，叫做相位。因此，单自由度无阻尼自由振动是等幅的周期振动，也叫简谐振动。固有频率、振幅、相位反映了振动系统的基本特性，仅由系统参数确定。2.3有阻尼自由振动阻尼在现实中具有普遍性，绝对无阻尼的情况是不存在的。阻尼要消耗能量，使振动衰减。若在振动过程中系统受到的阻尼不能忽略，就要建立有阻尼系统进行分析。有阻尼自由振动微分方程为：0kxxcxm(2.22)两边同除以m得到0xmkxmcx(2.23)令nmc2(2.24)的引入是为了解的表达式简洁，同时也有明确的物理意义，称为粘性阻尼因子。将式(2.10)和(2.24)代入式(2.23)有022txtxtxnn(2.25)和无阻尼系统一样，设方程的解为stAetx(2.26)式中A为常数，s为一个尚待确定的量。将解(2.26)代入方程(2.25)，得到非零解的条件为：0222nnss(2.27)它称为该系统的特征方程。这是关于s的二次方程，它有两个根：nss1221(2.28)显然，根1s和2s的性质取决于的值。我们看到，当0时，得到虚根ni，对应无阻尼自由振动。下面我们分别讨论0(有阻尼)的情况。根据(2.26)，方程的解取决于开方项。其结果有三种情况：1.1当1时，开方项开方后为小于的正实数，1s和2s为两不相等的负实数，微分方程的解为：tstseAeAtx2121xt按指数规律衰减，并逐渐回到平衡位置，没有发生振动，这种现象叫做流变。振动中把1的情况称为过阻尼情况，本书不作讨论。2.1当1时，开方项为零，1s和2s为两相同的负实数，方程有重根nss21，按照微分方程理论，微分方程的解为：tnetAAtx21显然，xt为单调减函数，当时，t0tx，系统也不振动。进一步分析可知，1时，阻尼的大小刚好使系统能最快地回到平衡位置使系统不做周期振动，我们把对应的阻尼叫临界阻尼，它是使振动系统刚好不振动而又能最快地回到平衡位置时的阻尼，由（2.24）式知，其值为：kmmCncr22(2.29)3.10当10时，开方项开方为小于1的虚数，1s和2s为共轭复数，令21nd则：22ssndi(2.30)微分方程的解可表达为tititddneAeAetx21(2.31)根据上节的思路和方法,式(2.31)可表达为另外两种形式)sincos()(21tBtBetxddtn(2.32)tBetxdtncos(2.33a)tBetxdtnsin(2.33b)以上三式均包含三角函数的乘积，表现出振动特性。所以当粘性阻尼因子10时，系统是振动的。从式(2.33)可清楚的看出解由两部分构成，按指数规律衰减的振幅ntBe和以d为频率周期函数。因而，有阻尼振动为周期性的减幅振动，其周期为：2212dndT(2.34)d是有阻尼振动的固有频率。我们把10的情况称为小阻尼情况。显然，有阻尼固有频率小于无阻尼固有频率。有阻尼系统周期大于无阻尼周期，阻尼使振动变慢、周期变长。根据式(2.33a),其典型的响应曲线如图2.5所示。振动是周期的，但振幅是衰减的，曲线ntBe是振幅的包络线。1611162126-20-15-10-505101520x(t)t/sBe-nt图2.5有阻尼自由振动响应对于有阻尼系统，一个周期前后振幅比值的对数称为对数衰减率，它是与阻尼有关的。)()(ln11dTtxtx(2.35)为了减少测试误差，试验时往往多取几个周期。如图2.6所示，设1t时刻的振幅为)(1tx，经过n个周期21dttnT后，振幅为1()dxtnT，其振幅比值的对数是对数衰减率的n倍，有x(t1+nTd)x(t1)x(t)t/snTd图2.6有阻尼自由振动响应11()1ln()dxtnxtT(2.36)而1111()11cos()()cos[()]nndndtnTdtnTdddAetxtextnTAetnT所以dTn而221122nnddTT代入可求得：212(2.37)当阻尼很小时，上式可进一步简化为2(2.38)对数衰减率为测试系统阻尼提供了理论基础。2.4单自由度系统的强迫振动及解的结构当系统受持续激励作用时的振动称为强迫振动。系统持续激励可以是连续的，也可以是间断的。我们用时间的函数F(t)表示。其振动方程的一般表达式为式