第二章插值法12节

问题的提出拉格朗日插值牛顿插值分段低次插值埃尔米特插值第二章插值法在生产实际及科学试验中，经常要研究变量之间的函数关系，但很多情况下很难找到具体的函数表达式，往往只能通过观测或测量得到一张数据表：xx0x1x2……xny=f(x)y0y1y2……yn表中给出某个区间[a,b]上给出一系列点的函数值yi=f(xi)。§1问题的提出问题：无法求出不在表中的点的函数值，也不能进一步研究函数的其他性质，如函数的积分和导数等。为了解决这些问题，需要设法通过这张表格求出一个简单函数p(x)来近似f(x)，使得p(xi)=f(xi)(i=0,…n)。y=f(x)y=p(x)——插值问题已知精确函数y=f(x)在一系列节点x0…xn处测得函数值y0=f(x0),…yn=f(xn)，由此构造一个简单易算的近似函数p(x)f(x)，满足条件p(xi)=f(xi)(i=0,…n)。这里的p(x)称为f(x)的插值函数。最常用的插值函数是…?多项式x0x1x2x3x4xp(x)f(x)定义：设函数y=f(x)在区间[a,b]上有定义，且给出一系列点上的函数值yi=f(xi)(i=0,1,2,…,n)，若用函数p(x)去近似代替它，使得p(xi)=yi(i=0,1,2,…,n)则称函数p(x)为f(x)的插值函数；称x0,x1,…xn称为插值节点或简称节点。插值节点所界的区间[a,b]称为插值区间。p(xi)=yi称为插值条件。本章只讨论多项式的插值问题，即构造n次多项式Pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn使满足Pn(xi)=yi(i=0,1,2,…,n)，及利用Pn(x)进行插值计算的问题。Pn(x)称为插值多项式。定理(插值多项式的存在唯一性)满足的n次插值多项式是存在且唯一的。niyxPii,...,0,)(证明：反证：若不唯一，则除了Pn(x)外还有另一n阶多项式Ln(x)满足Ln(xi)=yi。考察则Qn的阶数,)()()(xLxPxQnnnn而Qn有个不同的根n+1x0…xn这与代数基本定理n次多项式只有n个根矛盾，故.证毕.)()(xPxLnn定理(插值多项式的存在唯一性)满足的n阶插值多项式是存在且唯一的。niyxPii,...,0,)(niyxii,...,0),(插值多项式就是根据给定n+1个点，求一个n次多项式：nnxaxaaxP10)(niyxPii,...,0,)(使nnnnnnnnnyxaxaayxaxaayxaxaa.....................101111000010这里是n+1个待定系数，根据n+1个条件得到的方程组是关于参数的线性方程组。naaa,,10naaa,,10所以解是存在唯一的。但直接求解较复杂，也得不到统一的表达式。所以通常求插值多项式不用这种方法，而使用下节给出的构造基函数方法。niijjixx110)(系数矩阵为范德蒙行列式，当节点互异时§2拉格朗日插值/*LagrangeInterpolation*/niyxPiin,...,0,)(求n次多项式使得nnnxaxaaxP10)(条件：无重合节点，即jixxji已知x0,x1;y0,y1，求xaaxP101)(使得111001)(,)(yxPyxP可见P1(x)是过(x0,y0)和(x1,y1)两点的直线。)()(0010101xxxxyyyxP101xxxx010xxxx=y0+y1l0(x)l1(x)10)(iiiyxl称为线性插值基函数满足条件li(xj)=1(i=j)或0(ij）线性插值n=1直线方程的两点式：101001011)(yxxxxyxxxxxLl0(x)l1(x)10)(iiiyxlL1(x)L1(x)f(x)L1(x)L1(x)当n=2，给定三点,采用基函数方法为二次式，且满足称为二次插值基函数A为待定系数由得于是)(xli)(xli))(()(210xxxxAxl1)(00xl))((12010xxxxA抛物插值满足条件的二次插值多项式可表示为的图形是通过三点的抛物线，顾名抛物线插值.2120210121012002010212))(())(())(())(())(())(()(yxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxxLl0(x)l1(x)l2(x)L2L2(x)L2(x)f(x)n1li(x)每个li有n个根x0…xi…xnnjjijiniiixxCxxxxxxCxl00)())...()...(()(jijiiiixxCxl)(11)(njijjijixxxxxl0)()()(niiinyxlxL0)()(N次拉格朗日插值多项式与有关，而与无关节点f希望找到li(x)，i=0,…,n使得li(xj)=；然后令niiinyxlxP0)()(，则显然有Pn(xi)=yi。01jijin次多项式引入记号容易求得从而可改为表达式插值余项/*Remainder*/设节点)1(nf在[a,b]内存在,考察截断误差)()()(xLxfxRnn],[baCfnbxxxan10，且f满足条件,Rolle’sTheorem:若充分光滑，，则存在使得。)(x0)()(10xx),(10xx0)(推广：若0)()()(210xxx),(),,(211100xxxx使得0)()(10),(10使得0)(0)()(0nxx存在),(ba使得0)()(nRn(x)至少有个根n+1niinxxxKxR0)()()(任意固定xxi(i=0,…,n),考察niixtxKtRnt0)()()()((t)有n+2个不同的根x0…xnx),(,0)()1(baxxn!)1()()()1(nxKRxnn注意这里是对t求导!)1)(()()()1()1(nxKLfxnnxn!)1()()()1(nfxKxnniixnnxxnfxR0)1()(!)1()()(注意定理中ξ∈依赖于x及点，此定理只在理论上说明ξ存在，实际上仍依赖于x，即使x固定，ξ也无法确定.注：通常不能确定x,而是估计,x(a,b)将作为误差估计上限。1)1()(nnMxfniinxxnM01||)!1(当n=1时可得线性插值的误差估计当n=2时有二次插值的误差估计可得误差估计对插值基函数当k=0时有当f(x)为任一个次数n的多项式时，,可知，即插值多项式对于次数n的多项式是精确的。0)()1(xfn0)(xRn利用余项表达式，当时，由于，于是有它表明当时，插值多项式就是它自身。即例：已知233sin,214sin,216sin分别利用sinx的1次、2次Lagrange插值计算sin50并估计误差。解：0x1x2x185500n=1分别利用x0,x1以及x1,x2计算4,610xx利用216/4/6/214/6/4/)(1xxxL这里)3,6(,sin)(,sin)()2(xxxfxxf而)4)(6(!2)()(,23sin21)2(1xxfxRxx00762.0)185(01319.01Rsin50=0.7660444…)185(50sin10L0.77614外推/*extrapolation*/的实际误差0.010103,421xx利用sin500.76008,00660.0185~00538.01R内插/*interpolation*/的实际误差0.00596内插通常优于外推。选择要计算的x所在的区间的端点，插值效果较好。n=223))(())((21))(())((21))(())(()(4363463464363646342xxxxxxxL)185(50sin20L0.7654323cos21;)3)(4)(6(!3cos)(2xxxxxxR00077.018500044.02Rsin50=0.7660444…2次插值的实际误差0.00061高次插值通常优于低次插值但绝对不是次数越高就越好，嘿嘿……ininjijjijnyxxxxxL))()(()(00•拉格朗日插值多项式编程容易，只需双重循环•如果发现当前的插值方法不够精确，就要增加插值节点的个数，则拉格朗日插值基函数li(x)都将重新计算。•牛顿插值法将讨论该问题。