第二章矩阵代数S4转置矩阵与一些重要的方阵

第二章矩阵代数第四节转置矩阵和一些重要的方阵§2.4.1转置矩阵定义设A是一个m×n矩阵，若将A的行顺次改成列，所得n×m矩阵称为A的转置矩阵.记作AT.(),ijmnAa则112111222212mmTnnmnnmaaaaaaAaaaAT的(i,j)元＝A的(j,i)元.例如:,854221A;825241TA.618TB,618B转置矩阵的运算性质(1)(AT)T=A;(2)(A+B)T=AT+BT;(3)(A)T=AT;(4)(AB)T=BTAT;(5)若A为可逆矩阵，则(AT)-1=(A-1)T关于(4)(AB)T=BTAT的证明()(),TTijsmCABc1nkjikkab所以有(AB)T=BTAT.则AB为m×s矩阵,设A=(aij)m×n,B=(bij)n×s，(AB)T为s×m矩阵,显然BTAT也为s×m矩阵.下面证明(AB)T与BTAT对应的元相等即可.设C=AB=(cij)m×s,则ijjicc1,njkkikab(),TijnmAa(),TijsnBb1nijikkjkdba,ijjibb,ijjiaa().TTijsmDBAd故1njkkikab.ijd解法1:因为102324171231102AB,1013173140.1031314170TAB例1:已知,102324171,231102BA求(AB)T.所以解法2:213012131027241.1031314170(AB)T=BTAT例2设A为n阶实矩阵，若AAT＝O，试证明：A＝O.证明：设A=(aij)n，则111211121121222122221212nnnnTnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaAAaaaaaa利用矩阵乘法可得AAT的(i,i)元为21,nikka(1,2,,)in120,(1,2,,)iiinaaain而AAT＝O，且A的元都为实数，故从而A＝O.例3设n阶矩阵A满足AAT＝E，|A|＝−1，证明矩阵E＋A是退化的.证明：(目标|E＋A|=0)(不容易估计,但若出现|E＋A|=−|E＋A|就有希望了.)|E+A|==|A(AT+E)||AAT+AE|=|A||(AT+E)|=−|(AT+E)|=−|(AT+E)T|=−|A+E|所以2|E+A|=0故|E+A|=0，即矩阵E+A是退化的.§2.4.2几个重要的方阵定义1若实矩阵A满足AT=A，则A称为对称矩阵.由定义可知，对称矩阵为方阵.1.对称矩阵.A为对称阵例如6010861612对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.说明()ijAa(,1,2,,)ijjiaaijnn阶方阵为对称矩阵定义2若实矩阵A满足AT＝－A，则A称为反对称矩阵.由定义可知，反对称矩阵为方阵.2.反对称矩阵()TTBB另例，若B是一个m×n矩阵，则由于故BBT为m阶对称矩阵.()TTTBBTBB,0,jiijaijaijn阶方阵A=(aij)为反对称矩阵既为对称矩阵又为反对称矩阵的矩阵为零矩阵.例1证明奇数阶反对称矩阵的行列式必为0.||||||TAAA证:由AT＝－A得(1)||nA当n为奇数时|A|＝－|A|，故|A|＝0.例2若A为实对称矩阵，且A2=O，证明A=O.证：由于A为对称矩阵，故有AT=A，转化为前面的题目.所以A2=AAT.例3设列矩阵满足TnxxxX,,,21,1XXT.,,2,EHHHXXEHnETT且阵是对称矩证明阶单位矩阵为证明:2TTTHEXXTTTXXE2,2HXXET.是对称矩阵H2HHHT22TXXETTTXXXXXXE44TTTXXXXXXE44TTXXXXE44.E例4证明任一阶矩阵都可表示成对称阵与反对称阵之和.nA证明TAAC设TTTAAC则AAT,C所以C为对称矩阵.,TAAB设TTTAAB则AAT,B所以B为反对称矩阵.22TTAAAAA,22BC命题得证.3.对角形矩阵定义3形如12nddDd的n阶矩阵称为对角形矩阵.常记为12(,,,)nDdiagddd，且D为对称矩阵.对角形矩阵性质设A、B为n阶对角形矩阵，k为实数，则A+B，kA，AB皆为对角形矩阵，且1212(,,,)(,,,)nnABdiagaaadiagbbb1122(,,,)nndiagabababBA12(,,,)mmmmnAdiagaaa对角形矩阵可逆它主对角线上元全不为零.而且当A可逆时，111112(,,,)nAdiagaaa（m为自然数）另外，11112111121212222122211112122222nnnnmmmnmmmmmmmnaaaaaaaaaaaaaaaaaadddddddddddd22111211112122122221222122121111nnnnmmmnmmnnnnmnaaaaaaaaaaaaaaadddddaaaddddddd4.正交矩阵定义4若n阶实矩阵A满足ATA＝E，则A称为正交矩阵.显然，正交矩阵为可逆矩阵.正交矩阵性质(课本71页)(1)n阶矩阵A为正交矩阵的充要条件是1.TAA(2)n阶矩阵()ijAa是正交矩阵的充要条件是等式11,0,nikjkkijaaij(,1,2,,)ijn11,0,nkikjkijaaij中至少有一个成立.(3)A为正交矩阵，则1TAA也是正交矩阵.(4)A为正交矩阵，则A的行列式必为＋1或－1，即|A|＝±1.(5)若A、B为n阶正交矩阵，则AB（或BA）也是正交矩阵.例5若A为n阶正交矩阵，试证A*也是正交矩阵.*AAAE*1AAA**11()()()TTAAAAAA211()TAAA1()TAA证:由A为正交矩阵知A可逆，且|A|2＝1，又由有故11()TAAE因此A*为正交矩阵.例6设A是n阶对称矩阵，T是n阶正交矩阵，试证T-1AT为对称矩阵.1TTT1()TTAT证:由A为对称矩阵知AT＝A，由T是n阶正交矩阵知，故所以T-1AT为对称矩阵.1()TTTTAT1()TTTAT1TAT5.埃尔米特矩阵和酉矩阵(选学)定义5当A=(aij)为复方矩时，用表示的共轭复数，记，称为A的共轭矩阵.ijaija()ijAaA;2AA3;ABAB运算性质;1BABA（设A,B为复矩阵，为复数,且运算都是可行的）5()TTAA4AA(6)若A为可逆矩阵，则A也为可逆矩阵，且11()AA显然，当aij全为实数时，.AA定义6若矩阵A满足TAA当A的元全为实数时，埃尔米特矩阵就是对称矩阵，但一般的复对称矩阵并不是埃尔米特矩阵.ijjiaa，称A为埃尔米特矩阵.埃尔米特矩阵主对角线上的元必为实数，且性质两个同阶埃尔米特矩阵的和（差）及实数乘埃尔米特矩阵的结果仍为埃尔米特矩阵；可逆的埃尔米特矩阵的逆矩阵也是埃尔米特矩阵；埃尔米特矩阵的行列式必为实数.定义7若n阶矩阵A满足条件1TAA(或1(),TTAAA则A称为酉矩阵.称为A的共轭转置矩阵)显然，条件1TAA等价于条件.TTAAAAE设()ijnAa，利用上式可得酉矩阵满足条件11,0,nikjkkijaaij，(,1,2,,)ijn和11,0,nkikjkijaaij，(,1,2,,)ijn当酉矩阵的元都是实数时，酉矩阵就是正交矩阵.关于酉矩阵结论对应n阶酉矩阵A，B•转置矩阵AT和逆矩阵A−1都是酉矩阵；•AB（或BA）是酉矩阵；（有限个同阶酉矩阵的乘积仍为酉矩阵）•酉矩阵的行列式（一般为复数）的模为1。小结•转置矩阵及其性质•对称矩阵和反对称矩阵及其性质•对角形矩阵及其性质•正交矩阵及其性质•两个重要的复矩阵——埃尔米特矩阵和酉矩阵(选学)