北师版九年级下册第一章直角三角形的边角关系知识点及习题

九年级下册第一章直角三角形的边角关系【知识要点】一、锐角三角函数：正切：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切．．，记作tanA，即bAatan;正弦．．：．在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即casinA;余弦：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cAbcos;余切：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA，即cAbcot;注：（1）sinA,cosA,tanA,是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).（2）sinA,cosA,tanA,是一个完整的符号,表示∠A,习惯省去“∠”号；（3）sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA,均﹥0,无单位.（4）sinA,cosA,tanA,的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.（5）角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.1、三角函数和角的关系tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。sinA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，sinA的值越大。cosA的值越小，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，cosA的值越大。2、三角函数之间的关系（1）互为余角的函数之间的关系若∠A为锐角，则①)90cos(sinAA；)90sin(cosAA②)90cot(tanAA；)90tan(cotAA（2）同角的三角函数的关系1)平方关系：sinA2＋cosA2＝12)倒数关系：tanA·cotA＝13)商的关系：tanA＝AoAscsin，cotA＝AAsincos0º30º45º60º90ºsinα02122231cosα12322210tanα03313—cotα—31330※利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小）而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。图3图4二、解直角三角形：※在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。◎在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有(1)三边之间的关系：a2+b2=c2；(2)两锐角的关系：∠A＋∠B=90°；◎解直角三角形的几种基本类型列表如下：(3)边与角之间的关系：;cot,tan,cos,sinabAbaAcbAcaA;cot,tan,cos,sinbaBabBcaBcbB(4)面积公式:cchab2121S(hc为C边上的高);(5)直角三角形的内切圆半径2cbar(6)直角三角形的外接圆半径cR21三、解直角三角形的应用：1、当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．．当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．．2、如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角．．(或叫做坡比．．)。用字母i表示，即Alhitan◎从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．．．。如图3，OA、OB、OC的方位角分别为45°、135°、225°。◎指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角．．．。如图4，OA、OB、OC、OD的方向角分别是；北偏东30°，南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°，北偏西60°。图2hi=h:llABC图1【基础训练】锐角三角函数定义一、填空题1．如图所示，B、B′是∠MAN的AN边上的任意两点，BC⊥AM于C点，B′C′⊥AM于C′点，则△B'AC′∽______，从而ACBABCCB)()(，又可得①BACB______，即在Rt△ABC中(∠C＝90°)，当∠A确定时，它的______与______的比是一个______值；②BACA______，即在Rt△ABC中(∠C＝90°)，当∠A确定时，它的______与______的比也是一个______；③CACB______，即在Rt△ABC中(∠C＝90°)，当∠A确定时，它的______与______的比还是一个______．第1题图2．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°．第2题图①斜边)(sinA＝______，斜边)(sinB＝______；②斜边)(cosA＝______，斜边)(cosB＝______；③的邻边AA)(tan＝______，)(tan的对边BB＝______．3．因为对于锐角的每一个确定的值，sin、cos、tan分别都有____________与它______，所以sin、cos、tan都是____________．又称为的____________．4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝9，b＝12，则c＝______，sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝1，b＝3，则c＝______，sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．6．在Rt△ABC中，∠B＝90°，若a＝16，c＝30，则b＝______，sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，sinC＝______，cosC＝______，tanC＝______．7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝30°，则∠B＝______，sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．二、解答题8．已知：如图，Rt△TNM中，∠TMN＝90°，MR⊥TN于R点，TN＝4，MN＝3．求：sin∠TMR、cos∠TMR、tan∠TMR．9．已知Rt△ABC中，,12,43tan,90BCAC求AC、AB和cosB．综合、运用、诊断10．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．D是AC边上一点，DE⊥AB于E点．DE∶AE＝1∶2．求：sinB、cosB、tanB．11．已知：如图，△ABC中，AC＝12cm，AB＝16cm，31sinA(1)求AB边上的高CD；(2)求△ABC的面积S；(3)求tanB．12．已知：如图，△ABC中，AB＝9，BC＝6，△ABC的面积等于9，求sinB．拓展、探究、思考13．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，按要求填空：(1),sincaA∴cAca,sin______；(2),coscbA∴b＝______，c＝______；(3),tanbaA∴a＝______，b＝______；(4),23sinB∴Bcos______，Btan______；(5),53cosB∴Bsin______，Atan______；(6)∵Btan3，∴Bsin______，Asin______．正切：1、在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,tanA的值（）A.扩大100倍B.缩小100倍C.不变D.不能确定2、已知∠A,∠B为锐角(1)若∠A=∠B,则tanAtanB;(2)若tanA=tanB,则∠A∠B.3、在△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB的值.正弦和余弦：1．已知△ABC中，90C，3cosB=2，AC=52，则AB=．2.在RtABC中，90C，如果2AB，1BC，那么Bsin的值是（）ABCA.21B.23C.33D.33.在RtABC△中，90C°，abc，，分别是ABC，，的对边，若2ba，则tanA4.如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离AC=3米，3cos4BAC，则梯子AB的长度为米．5.如果a是等腰直角三角形的一个锐角，则tan的值是（）Ａ．12Ｂ．22Ｃ．1Ｄ．2三角函数值的计算一、填空题1．填表．锐角30°45°60°sincostan二、解答题2．求下列各式的值．(1)o45cos230sin2(2)tan30°－sin60°·sin30°(3)cos45°＋3tan30°＋cos30°＋2sin60°－2tan45°(4)45sin30cos30tan130sin145cos2223．求适合下列条件的锐角．(1)21cos(2)33tan(3)222sin(4)33)16cos(6综合、运用、诊断4．已知：如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，BE＝16cm，1312sinA求此菱形的周长．5．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．求：sin∠ACB的值．6．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，延长CA至D点，使AD＝AB．求：(1)∠D及∠DBC；(2)tanD及tan∠DBC；(3)请用类似的方法，求tan22.5°．7．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，3BCAC，作∠DAC＝30°，AD交CB于D点，求：(1)∠BAD；(2)sin∠BAD、cos∠BAD和tan∠BAD．8．已知：如图△ABC中，D为BC中点，且∠BAD＝90°，31tanB，求：sin∠CAD、cos∠CAD、tan∠CAD．拓展、探究、思考9．已知：如图，∠AOB＝90°，AO＝OB，C、D是上的两点，∠AOD＞∠AOC，求证：(1)0＜sin∠AOC＜sin∠AOD＜1；(2)1＞cos∠AOC＞cos∠AOD＞0；(3)锐角的正弦函数值随角度的增大而______；(4)锐角的余弦函数值随角度的增大而______．10．已知：如图，CA⊥AO，E、F是AC上的两点，∠AOF＞∠AOE．(1)求证：tan∠AOF＞tan∠AOE；(2)锐角的正切值随角度的增大而______．11．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，求证：(1)sin2A＋cos2A＝1(2)AAAcossintan解直角三角形（一）一、填空题1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，①三边之间的等量关系：__________________________________．②两锐角之间的关系：__________________________________．③边与角之间的关系：BAcossin______；BAsincos_______；第1题图BAtan1tan_____；BAtantan1______．④直角三角形中成比例的线段(如图所示)．第④小题图在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D．CD2＝_________；AC2＝_________；BC2＝_________；AC·BC＝_________．⑤直角三角形的主要线段(如图所示)．第⑤小题图直角三角形斜边上的中线等于斜边的_________，斜边的中点是_________．若r是Rt△ABC(∠C＝90°)的内切圆半径，则r＝_________＝_________．⑥直角三角形的面积公式．在Rt△ABC中，∠C＝90°，S△ABC＝_________．(答案不唯一)2．关于直角三角形的可解条件，在直角三角形的六个元素中，除直角外，只要再知道_________(其中至少_________)，这个三角形的形