第五章 弯曲应力.

BendingStresses§5–1引言§5–2平面弯曲时梁横截面上的正应力§5–3梁横截面上的剪应力§5-4非对称截面梁平面弯曲的条件开口薄壁截面梁的弯曲中心§5–5梁的正应力和剪应力强度条件§5-6梁的合理设计第五章弯曲应力§5－１引言1、弯曲构件横截面上的（内力）应力内力剪力Q剪应力t弯矩M正应力sQ图M图简化为外伸梁如图：横力弯曲纯弯曲ACBDMQ{CD{M平面弯曲时横截面s纯弯曲梁(横截面上只有M而无Q的情况)平面弯曲时横截面t剪切弯曲(横截面上既有Q又有M的情况)2、研究方法纵向对称面P1P2例如：1、变形前在矩形梁表面画相互垂直的纵向线和横向线，mm和nn为横截面，间距为dx.2、在M的作用下，梁开始发生纯弯曲变形，注意观察纵向线和横向线的变形情况.3、变形后，纵向线弯曲成为弧线，横向线仍保持为直线，且垂直与弯曲了的弧线某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲。如AB段。PPaaABQMxx纯弯曲(PureBending):§5－2平面弯曲时梁横截面上的正应力1.梁的纯弯曲实验横向线(ab、cd）变形后仍为直线，但有转动；纵向线变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍正交。（一）变形几何规律：一、纯弯曲时梁横截面上的正应力中性层纵向对称面中性轴bdacabcdMM1、平面假设：横截面变形后仍保持平面，只是绕截面内某一轴线偏转一个角度。基本假设假想梁由若干的纵向纤维构成，在变形时凹入一侧纤维缩短，凸出一侧纤维伸长2、假设纵向纤维之间无挤压应力横截面上只有正应力两个概念中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。中性轴：中性层与横截面的交线。距中性层为y处纵向纤维的变形变形几何关系yyddd)(2.物理关系sEyEPhysicsrelationsEy3.静力学关系staticsrelation轴过形心中性)(0ZSz0dd)d(syzAAAyEIAyzEAEyzzAMMEIAyEAEyyAMzAAAzsdd)d(22MEIAyEAEyyAMzAAAzsdd)d(22zEIM1EIz杆的抗弯刚度。sEyZIMys凹入一侧的受压应力凸出的一侧受拉应力ZIMyszzWMIMymaxmaxsmaxyIWZZwz抗弯截面模量（四）最大正应力：横力弯曲时的正应力Stressinshearingbending如图悬臂梁，自由端受集中力作用。从内力图来看是典型的横力弯曲。在横力弯曲的情况下，横截面上存在剪应力，故横截面不能保持为平面，产生翘曲，这时除因弯矩产生的正应力，还将产生附加正应力。但是对于细长梁（横截面h远小于跨度L的梁）来说，附加正应力非常微小，可以忽略不计.弯曲正应力强度条件:例：图示梁的截面为T形，材料的许用拉应力和许用压应力分别为［σt］和［σc］，则y1和y2的最佳比值为多少？（Ｃ为截面形心）PCy1y2z解：()()[][]1212得：yytcsssstztMyImax[]1ssczcMyImax[]2()1()2例：图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用应力［σ］=160MPa，校核该梁的强度。10kN/m2m4m100200解：由弯矩图可见Mmax20kNm10kN/m2m4m10020045kN15kNQ()kN202515M()kNm201125.stzMWmax20100102632..30MPa[]s该梁满足强度条件，安全例：图示铸铁梁，许用拉应力[σt]=30MPa，许用压应力[σc]=60MPa,Ｉz=7.63×10-6m4，试校核此梁的强度。9kN4kNCz52881m1m1mABCDstzI2588.9kN4kNCz52881m1m1mM(kNm)25.kN105.kN25.4ABCDsczI2552.stzI452sczI488C截面：B截面：288.MPa170.MPa273.MPa461.MPa例2受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：（1）1——1截面上1、2两点的正应力；（2）此截面上的最大正应力；（3）全梁的最大正应力；（4）已知E=200GPa，求1—1截面的曲率半径。M1Mmax12120180zy解：画M图求截面弯矩kNm60)22(121xqxqLxM30M1Mmax12120zykNm5.678/3608/22maxqLM451233m10832.5101218012012bhIz34m1048.62/zzIWMPa7.6110832.560605121zIyMss求应力18030MPa6.921048.66041max1zWMsm4.1941060832.520011MEIzMPa2.1041048.65.674maxmaxzWMs求曲率半径M1Mmax12120180301、横截面上的剪应力方向平行于剪力Q2、剪应力沿截面宽度均匀分布(矩中性轴等距离处，剪应力相等。)假设§5–3梁横截面上的剪应力矩形截面梁研究方法：分离体平衡在梁上取微段如图Q----横截面上的剪力----整个截面对中性轴的惯性矩----截面上距中性轴为Y的横线以外的部分对中性轴的静矩b-----距中性轴为y处的截面宽度IZSZ*tt5.123maxAQt方向：与横截面上剪力方向相同；t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。最大剪应力为平均剪应力的1.5倍。Af—腹板的面积。;maxAQtfmaxtmintminmaxtt铅垂剪应力主要腹板承受（95~97%）工字型截面梁的剪应力圆截面梁的剪应力tmax43QA求得最大剪应力：Qzy弯曲剪应力强度条件ttmaxmaxmax*[]QSIbZZ例：圆形截面梁受力如图所示。已知材料的许用应力［σ］=160MPa，［τ］=100MPa，试求最小直径dmin。q20kN/m4mABd解：Qmax40kN,ssmaxmax[]MWzMqlmax2840kNm由正应力强度条件：即40103216010336d得d137mmttmaxmax[]43QA即434010410010326d得d261.mm由剪应力强度条件：所以dmin137mm需要考虑弯曲剪应力的情况(1)短梁，载荷靠近支座，剪力较大.（2）工字型截面梁，腹板上切应力较大.（3）焊接梁的焊缝，铆接梁的铆接面或胶结梁的胶接面.已知Q=FFlMmaxss2maxmax6bhFlWMZKNF75.31y=0处切应力最大ttbhF23maxKNbhF10322t()胶tttZZbIQSy*34*10253mmyhbScZKNSbIFZZ83.3*3胶tKNF75.31KNbhF10322tKNSbIFZZ83.3*3胶tKNFFFF75.3,,min321§5-4非对称截面梁平面弯曲的条件开口薄壁截面梁的弯曲中心一、非对称截面梁平面弯曲的条件前面讨论的平面弯曲，仅限于梁至少有一个纵向对称面，外力均作用在该对称面内且垂直于轴线。对于非对称截面梁。横截面上有一对形心主惯性轴y、z，形心主惯性轴y、z与轴线x组成两个形心主惯性平面xOy、xOz形心主惯性平面y、z轴为形心主惯性轴对于非对称截面梁，由实验和弹性理论分析可以得到它发生平面弯曲的条件是:(1)当外力偶作用在平行于形心主惯性平面的任一平面内时,梁产生平面弯曲。(2)当横向外力作用在平行于形心主惯性平面的平面内，并且通过特定点时，梁发生平面弯曲。否则将会伴随着扭转变形。但由于实体构件抗扭刚度很大，扭转变形很小，其带来的影响可以忽略不计。对于开口薄壁截面梁，即使横向力作用于形心主惯性平面内(非对称平面)，则梁除发生弯曲变形外，还将发生扭转变形。二、开口薄壁截面的弯曲中心AA只有当横向力的作用线平行于形心主惯性平面并通过某个特定点时，梁才只发生平面弯曲，而无扭转变形。这个特定点称为横截面的弯曲中心，用A表示。以槽钢为例说明截面弯曲中心的确定方法。弯曲中心Pxyz向C点化简主矢Q主矩M=Q1h+Qeˊh弯曲切应力流CeˊQ1QQ2C主矢Q主矩M主矢Q主矩M=Q1h－Qe＝0向A点化简AeQ1Q2Q弯心作用：外力作用在弯心上，杆件只弯不扭弯心(剪心)定义：梁横截面上弯曲切应力合力作用点非对称截面梁发生平面弯曲的条件：外力作用在主轴面内，还必须过弯曲中心如何确定弯曲中心的位置QehQ1弯曲中心位置与外力大小和材料的性质无关，是截面图形的几何性质之一zIthbQhQe4221弯心处，主矩M=Q1h－Qe＝0剪应力合力的作用点就是截面弯曲中心的位置•薄壁截面的弯曲中心位置，符合下列规则:•(1)具有两个对称轴或反对称轴的截面，其弯曲中心与形心重合。•(2)具有一个对称轴的截面，其弯曲中心一定在这个对称轴上。•(3)若截面的中线是由若干相交于一点的直线段所组成，则此交点就是截面的弯曲中心。试画出各薄壁截面弯曲中心的大致位置。若剪力Ｑ的方向垂直向下，试画出剪应力流的方向。§5-5梁的正应力和剪应力强度条件1、危险面与危险点分析：一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。QtsssMt梁的正应力和剪应力强度条件2、正应力和剪应力强度条件：带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大剪应力的情况与上述相同；还有一个可能危险的点，在Q和M均很大的截面的腹、翼相交处。ttzzIbSQmaxmaxmaxsszWMmaxmax3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：sMQtts4、需要校核剪应力的几种特殊情况：铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核剪应力。梁的跨度较短，M较小，而Q较大时，要校核剪应力。各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。、校核强度：校核强度：设计截面尺寸：设计载荷：][];[maxmaxttss][maxsMWz)(][];[maxmaxMfPWMzs解：画内力图求危面内力例矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，[s]=7MPa，[t]=0.9MPa，试求最大正应力和最大剪应力之比,并校核梁的强度。N54002336002maxqLQNm4050833600822maxqLMABL=3mQ2qL2qL–+x求最大应力并校核强度应力之比7.1632maxmaxmaxhLQAWMztsQ2qL2qL–+x][7MPa6.25MPa18.012.040506622maxmaxmaxssbhMWMz][0.9MPa0.375MPa18.012.054005.15.1maxmaxttAQy1y2GA1A2解：画弯矩图并求危面内力例T字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的[st]=30MPa，[sc]=60MPa，其截面形心位于C点，y1=52mm，y2=88mm，Iz=763cm4，试校核此梁的强度。并说明T字梁怎样放置更合理？kN5.10;kN5.2BARR)(kNm5.2下拉、上压CM（上拉、下压）kNm4BM4画危面应力分布图，找危险点校核强度MPa2.2810763885.2IyM8z2CtA2sMPa2.2710763524IyM8z1BtA3sMPa2.4610763884IyM8z2BcA4stmaxt2.28sscmaxc2.46ssT字头在上面合理。y1y2GA1A2y1y2GA3A4一、合理配置梁的荷载和支座][maxmaxsszWM控制强度条件：M↓