宏观经济学-数学基础-1-变分法

1第一部分高级宏观经济学的数学基础高级宏观经济学中许多模型用到了动态最优化理论。这一部分主要介绍动态最优化理论的基本原理和方法，作为学习高级宏观经济学的必要准备知识。动态最优化理论主要包括变分法、最优控制论、动态规划。第一讲变分法本讲主要介绍古典的动态最优化理论——变分法。一、动态最优化的几个基本概念注：静态最优化的解是一个最优点；动态最优化的解是最优路径。（一）动态最优化问题的基本要素23（三）泛函的变分二、泛函的极值与变分法4#变分问题就是求泛函的极大值或极小值，求泛函极值的方法就是变分法。变分问题的一般形式：三、泛函极值的必要条件（一阶条件——欧拉方程）证明略#欧拉方程（5-19）就是欧拉方程，可以看出欧拉方程是二阶微分方程，求泛函的极值就转化为解这个二阶微分方程，它的解就是极值曲线x*=x*(t)。利用欧拉方程解出极值曲线，也就解出了动态最优化问题。5注：欧拉方程的推导：6四、泛函极值的充分条件（二阶条件）五、例题【例1】：求极值曲线220(12)Vytyydt..(0)0sty，(2)8y解：欧拉方程yydFFdt12yFt，2yFy，2ydFydt，由欧拉方程有2120yt213ytc312ytctc7再由两个约束条件确定3120ccyt需要说明的是，欧拉方程仅仅是一阶条件。和静态优化问题一样，一阶条件只是说明了极值的特征。由于对本课程的学习而言，找到一阶条件就是够了，所以我们不会涉及到二阶条件的讨论。有兴趣的同学可以参见蒋中一《动态优化基础》。此外，对于其他扩展形式下的泛函极值问题，也可参见蒋中一《动态优化基础》以及Kamien&Schwartz《DynamicOptimization》。【例2】Ramsey模型中消费者最优问题8