线性代数综合练习题

-1-线性代数综合练习题一．填空1．如果将行列式的两行互换，则行列式的值。2．如果一个行列式每一行的元素之和均为零，则该行列式的值是。3．方程03212131321xnxnxn的解是。4．矩阵1524A的伴随矩阵A，1A。5．若CBA,,都是n阶可逆矩阵，则1)(ABC。6．设A是n阶可逆矩阵,那么A=。7．设101kA，则nA。8．设A是nm阶矩阵，当AAE时，E是阶单位矩阵。9．若A是n阶矩阵，k是常数，则kAA。10．将矩阵),(EA经初等行变换化为),(BE时，有B。11．若矩阵A的秩为r，则秩)(TA。12．若矩阵A的所有r阶子式全为零，则秩)(Ar；若矩阵A有一个r阶子式不为零，则秩)(Ar。13．设A为n阶可逆矩阵，则秩)(A14．A=31000210001，1A=15．设7130121101A，B=]021[，则ABT=。16．设BA,为两个已知矩阵，且BE可逆，则方程XBXA的解X=17．如果线性方程组bAX无解，当秩)(Ar时，秩)(___A。-2-18．线性方程组28122121xxxx无解，则=19．若线性方程组)0(bbAX有唯一解，则0AX解20.若向量,0数0k，则k0。21．单个向量线性无关的充要条件是。22．设321,,线性无关，则当0332211kkk时，必有。23．设321,,线性无关，则1，21，321线性。24．n个未知量的线性方程组bAX有无穷解的充要条件是。25．含n个未知量的齐次线性方程组0AX有非零解时，它的基础解系所含向量的个数为。26．非齐次线性方程组bAX的两个解的是其导出组的解。非齐次线性方程组bAX的解与其导出组的解之和是的解。28.设A，B为n阶方阵，且0A，则AB和BA相似，这是因为存在可逆矩阵P=，使得BAABPP1。29.已知矩阵A=x10100002，B=10000002y，A和B相似，则x=,y=。30.设A=201034011，B=201031141且A的特征值为2和1（二重根），那么B的特征值为。31.三阶方阵A的特征值为1，-1，2，则B=2332AA的特征值为。32.设三阶实对称矩阵A的特征值为2,1321，则矩阵E+*A的特征值为。33.A，B均为n阶矩阵，A～B，B为正交矩阵，则2A。34.设三阶矩阵A的特征多项式，则1A的三个特征值分别为。35.设三阶实对称矩阵A的特征值为2，2，3，且2所对应的特征向量为（1，2，3）和（-1，2，-1），则A的对应于3的特征向量是。二．单项选择题1．设A，B为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（）A．TTTBAAB)(B．111)(BAABC．111)(TTBAABD．TTBAAB111)(2．设A、B、C均为n阶矩阵，则下列等式成立的是（）A．BA+A2=A（A+B）B．（A-B）（A+B）=A2—B2C．（ABC）T=CTBTATD．AB=BA3．设A是m×n阶矩阵，B是n×s阶矩阵，则AB是（）阶矩阵A．s×mB．m×sC．m×nD．n×s-3-4．设A是三角形矩阵，若A可逆，则主对角线上元素一定（）A．全小于0B．全大于0C．不全为0D．全不为05．设A，B，C均为n阶矩阵，则下列结论或等式成立的是（）A．（AB）2=A2B2B．若AB=AC且A≠0，则B=CC．TTTTABCCBAD．若A≠0，B≠0，则AB≠06．下列结论正确的是（）A．A、B均为方阵，则（AB）K=AKBK（K≥2的整数）；B．A、B为n阶对角矩阵，则AB=BAC．A为方阵，且A2=0，则A=0；D．若AB=AC，且A≠0，则B=C7．设矩阵nsA、mnB，则运算（）有意义。A．A2B．ABC．BAD．ABT8．线性方程组bXA1443（）A．无解B．若有解，有唯一解C．有无穷多解D．若有解，有无穷多解9．设线性方程组AX=b的增广矩阵通过初等行变换为00000120004131062131，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（）A．1B．2C．3D．410．设线性方程组bXAmn，则方程组有无穷多解的必要条件是（）A．mAr)(B．nAr)(C．nAr)(D．mAr)(11．设线性方程组33212321212axxxaxxaxx，则方程组有解的充分必要条件为（）A．0321aaaB．0321aaaC．0321aaaD．0321aaa12．设线性方程组AX=b的增广矩阵通过初等行变换为00000120004131062131，则此线性方程组的导出组0AX的基础解系所含向量的个数为（）A.1B.2C.3D.4三．计算题1．计算下列行列式的值。-4-（1）963654321（2）4012312010120101（3）51011421701313122．已知矩阵101012111A，120012001B求（1）B3（2）A(3)TAB3.计算3421012401022230014．解以下矩阵方程（1）3221A，3513B且BAX,求X（2）CBAX3，求X其中3152A，2210B，0312C（3）已知BAX，求X，其中343122321A，201B5．设矩阵022011A，210321B，计算1)(BA。6．求下列矩阵的秩（1）6512556411140121112（2）71250211131101230121.7.设矩阵203121021A302115B-5-求TBA)(和))((TBAr8．已知向量组)1,4,2,3(),0,3,1,5(),2,0,4,1(321，)3,1,7,1(),4,5,9,2(54（1）求该向量组的秩；（2）求证该向量组线性相关；（3）指出它的一个极大无关组。9.将含有参数的线性方程组的增广矩阵用初等行变换化为：2222)1)(1(20011021试讨论该线性方程组解的情况。10．设线性方程组052231232132131xxxxxxxx，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其解的情况。11．将一齐次线性方程组0AX的系数矩阵用初等行变换化为：0000211001021试求该线性方程组的一个基础将系以及全部解。12．设方程组54321543254321543213345262253231xxxxxxxxxxxxxxxxxxx，问：为何值时方程组有解？并求其一般解。13．一线性方程组的增广矩阵用初等行变换化为：2000000003221025101baa问ba,取何值时方程组无解？有解？并求它的一般解。14．设线性方程组baxxxxxxxx321321312022，试讨论ba,为何值时方程组无解？有唯一解？有无穷多解？15．求下列齐次线性方程组的一个基础解系-6-（1）01117840246303542432143214321xxxxxxxxxxxx（2）033450622032305432154325432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxx16．求下列非齐次线性方程组的全部解（1）6255243243243214321xxxxxxxxxxx（2）2132130432143214321xxxxxxxxxxxx四．综合题1．已知Tk11是211121112A的逆阵1A的特征向量，求常数k的值。2．设A是方阵，且0kA（k为正整数）。证明：121)(kAAAEAE。3．设A是方阵，且EA,如果AA2。证明：A不可逆。4．设B是n阶方阵)2(n，且B的元素全是1，E是n阶单位矩阵，求证：BnEBE11)(15．给定实对称矩阵633312321A，求A的特征值与特征向量6.设4阶方阵A满足02AE，EAAT2，0A，求A的伴随矩阵*A的一个特征值。7.设矩阵A与B相似，且aA33242111，bB00020002（1）求a,b的值（2）求可逆矩阵P，使BAPP1。8.设122212221A，（1）求A的特征值（2）求1AE的的特征值。9.设3阶方阵A的特征值为3,2,1321，对应的特征向量分别为931,421,111321，又32122，求nA。