线性代数综合练习题及答案10

线性代数综合练习题（十）一、选择题1.如果行列式02002000110011kkk，则（）。（A）k可能为1（B）k不可能为1（C）k必为1（D）k不可能为22.设A、B为n阶矩阵，则（）成立。（A）BAAB（B）BAAB（C）BABA（D）111)(BABA3.设m,,,21均为n维向量，则下面结论正确的是（）。（A）如果02211mmkkk，则m,,,21线性相关（B）若m,,,21线性相关，则对任意一组不全为零的数mkkk,,,21，有02211mmkkk（C）若对任意一组不全为零的数mkkk,,,21，有02211mmkkk，则m,,,21线性无关（D）如果000021m，则m,,,21线性无关4.齐次线性方程组01nnmXA有非零解的充要条件是（）。（A）nAr)(（B）nAr)(（C）nAr)(（D）nAr)(5.设可逆矩阵A有一个特征值为2，则12)31(A有一个特征值为（）。（A）21（B）41（C）34（D）43二、填空题1.行列式1110110110110111。2.设101010001A，则100A。3.设543022001A，则1)(A。4.已知向量组111，112，113线性相关，则。5.向量组1011，0102，2213的一个最大无关组为。6.如果线性方程组441343232121axxaxxaxxaxx有解，则常数4321,,,aaaa满足条件。7.二次型232221xxxf的秩为。三、计算题1.设101020101A，且BAEAB2，求B。2.设1111，0212，3013，7324，问：（1）321,,是否线性相关；（2）4可否由321,,线性表示，如能则求其表示式。3.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，321,,为它的三个解向量，且54321，432132求该方程组的通解。4.设122212221A，求一个正交矩阵P使得APP1，其中为对角矩阵。四、证明题1.设n阶矩阵A满足AA2，证明：nEArAr)()(。2.设n阶实对称矩阵A满足02A，证明0A。线性代数综合练习题（十）参考答案一、选择题1.A2.B3.C4.D5.D二、填空题1.32.101000100013.1051041030102102001014.21或5.321,,6.04321aaaa7.3三、计算题1.解：由BAEAB2，得))(()(2EAEAEABEA又01EA，所以201030102EAB2.解：730130212111),,,(4321Ar210010101001（1）因为3),,(321r，所以321,,线性相关；（2）因为3),,,(),,(4321321rr，所以4可由321,,线性表示，且321423.解：方程组对应的齐次线性方程组的基础解系含134个解向量，则所求方程组的通解为kx1其中k为任意常数。6543)(2)()(3213121，因此，方程组的通解为65435432kx。4.解：A的特征多项式)5()1(2EAA的特征值为121，53，121所对应的线性无关的特征向量为101,01121，正交单位化得21161,0112121pp；53所对应的线性无关的特征向量为1113，单位化得111313p，令正交矩阵),,(321pppP，则5111APP。四、证明题1.证：由AA2，得0)(EAA，所以nEArAr)()(，又nErEAArEArAr)())(()()(，所以nEArAr)()(2.证：A为实对称矩阵，则A必能对角化，即存在正交矩阵P，使得APP1，其中为对角矩阵。0,1221PPAPPA则02，即0232221，所以0321，得0，所以01PPA。