练习册-9-第九章

第九章振动学基础42第九章振动学基础9-1简谐振动【学习指导】一、简谐振动的动力学描述1．简谐振动的受力特征简谐振动的动力学定义：振动系统在与位移大小成正比、而方向相反的回复力作用下的运动称为简谐振动。kxf，k为比例系数。2．简谐振动的微分方程0222xdtxdmk二、简谐振动的运动学描述1．简谐振动的数学表达式——运动方程谐振动的运动学定义：位移随时间按余弦（正弦）规律变化的运动是简谐振动。cos()xAtsin()dxvAtdt2cos()dvaAtdt2．简谐振动的三个特征量角频率、频率、周期——由振动系统的性质决定。角频率：mk（弹簧振子系统）周期：2T频率：T1角频率、频率的关系：2振幅A——表示振动物体离开平衡位置的最大距离。振幅A和初相由初始条件决定：22002vAx100()vtgx三、简谐振动的旋转矢量表示令矢量的模为振幅A，当t=0时，它与x轴的夹角为，此矢量角速度逆时针旋转，如图9.1所示。则在任一时刻t，具有性质：（1）矢量A与x轴的夹角表示振子位相t；（2）矢量A在x轴上的投影表示振子的位移x；（3）矢端的速度在x轴上的投影表示振子的速度v；（4）矢端的加速度在x轴上的投影表示振子的加速度a。四、简谐振动的能量x例9-1图xR0图9.1x0A第九章振动学基础431．简谐振动的动能：222211sin()22KEmvAt2．简谐振动的势能：22211cos()22pEkxkAt3．简谐振动的机械能：2222121mAkAEEEpK弹簧振子的动能和势能按正弦或余弦的平方随时间作周期性变化，其周期为谐振周期的一半；当动能最大时，势能最小；当动能最小时，势能最大；但机械能保持恒定不变。【典型例题】【例9-1】质量为kg10103的小球与轻弹簧组成的系统，按)SI()328cos(1.0x的规律作谐振动，求：(1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值；(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等?(3)s52t与s11t两个时刻的位相差；解：(1)设谐振动的标准方程为)cos(0tAx，则知：3/2,s412,8,m1.00TA又8.0Avm1sm51.21sm2.632Aam2sm(2)N63.0mmaFJ1016.32122mmvEJ1058.1212EEEkp当pkEE时，有pEE2，即)21(212122kAkx第九章振动学基础44∴m20222Ax(3)32)15(8)(12tt【例9-2】图9.2为一个谐振动的tx曲线，试写出其谐振动方程．解：由图9.2，∵0t时，s2,cm10,,23,0,0000TAvx又即1srad2T故m)23cos(1.0txa【分类习题】一、选择题1．以下所列运动形态哪些不是简谐振动？（1）球形碗底小球小幅度的摆动；（2）细绳悬挂的小球作大幅度的摆动；（3）小木球在水面上的上下浮动；（4）橡皮球在地面上作等高的上下跳动；（5）木质圆柱体在水面上的上下浮动（母线垂直于水面）.（A）（1）（2）（3）（4）（5）都不是简谐振动.（B）（1）（2）（3）（4）不是简谐振动.（C）（2）（3）（4）不是简谐振动.（D）（1）（2）（3）不是简谐振动.2．同一弹簧振子按图9.3的三种方法放置，它们的振动周期分别为Ta、Tb、Tc（摩擦力忽略），则三者之间的关系为（A）Ta=Tb=Tc.（B）Ta=TbTc.（C）TaTbTc.（D）TaTbTc.（E）TaTbTc.*3．两根轻弹簧和一质量为m的物体组成一振动系统，弹簧的倔强系数为k1和k2，串联后与物体相接，如图9.4。则此系统的固有频率为ν等于（A）2//)(21mkk.（B）2)/[(2121mkkkk.（C）2)/(21kkm.（D）2/)/()(2121mkkkk.(a)(b)(c)图9.3k1k2图9.4m图9.2第九章振动学基础45*4．一劲度系数为k的轻弹簧截成三等份，取出其中的两根，将它们并联在一起，下面挂一质量为m的物体，如图9.5所示。则振动系统的频率为（A）mk21（B）mk621（C）mk321（D）mk3215．轻弹簧上端固定，下系一质量为1m的物体，稳定后在1m下边又系一质量为2m的物体，于是弹簧又伸长了x。若将2m移去，并令其振动，则振动周期为（A）gmxmT122（B）gmxmT212（C）gmxmT2121（D）gmmxmT21226．把单摆从平衡位置拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时。若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相位为（A）。（B）23。（C）0。（D）21。7．一质点作简谐振动，已知振动周期为T，则其振动动能变化的周期是（A）T/4.（B）T/2.（C）T.（D）2T.8．一弹簧振子作简谐振动，当其偏离平衡位置的位移的大小为振幅的1/4时，其动能为振动总能量的（A）7/16.（B）9/16.（C）11/16.（D）15/16.二、填空题1．如图9.6所示的旋转矢量图，描述一质点作简谐振动，通过计算得出在t=0时刻，它在X轴上的P点，位移为x=+2A/2，速度v0.只考虑位移时，它对应着旋转矢量图中圆周上的点，再考虑速度的方向，它应只对应旋转矢量图中圆周上的点，由此得出质点振动的初位相值为.*2．一质点作简谐振动，其振动曲线如图9.7所示。根据此图，它的周期T，用余弦函数描述时初相位。PxA－AO2A/2BCv图9.6km图9.5stx42o2图9.7第九章振动学基础463．一弹簧振子系统具有能量J0.1，m1.0的振幅和sm/0.1的最大速率，则弹簧的倔强系数为，振子的振动频率为。4．质量为m的物体和一个轻弹簧组成弹簧振子，其固有振动周期为T，当它作振幅为A的自由简谐振动时，其振动能量E=.三、计算题1．一物体放在水平木板上，这木板以Hz2的频率沿水平直线作简谐运动，物体和水平木板之间的静摩擦系数50.0s，求物体在木板上不滑动的最大振幅maxA。*2．有一轻弹簧下端悬挂1m10g砝码时，伸长4.9cm，现在此弹簧下端悬挂2m16g的物体，若取平衡位置为原点，向上为x轴正方向，将2m从平衡位置向下拉2cm后，给予向上的初速度scmv/50并开始计时，求2m的振动周期及谐振方程。3．在x轴上作谐振的质点，已知周期sT2，振幅4Acm，若0t时质点第一次通过cmx2并向x轴负方向运动，求质点在什么时刻第二次通过该处？4.图9.8为一个谐振动的tx曲线，试写出其谐振动方程．5．边长ml01.0密度3/900mkg的立方体木块，浮在水面上，今将木块恰好完全压入水中，然后从静止状态放手，不计水的阻力。（1）木块作什么运动？并证明（2）求木块质心运动规律（竖直向上为轴正方向）图9.8第九章振动学基础476．一长为l的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平轴上。求细棒绕其轴作微小振动的周期。9-2简谐振动的合成【学习指导】一、同振动方向、同频率的简谐振动的合成设在x方向有两个同频率的简谐振动：111cos()xAt222cos()xAt根据运动迭加原理：12cos()xxxAt式中：221212212cos()AAAAA11221122sinsincoscosAAtgAA结论：两个同方向同频率的简谐振动的合振动仍然是简谐振动，其振幅和初相由分振动的振幅及初相决定。讨论：当212,k时，振动加强A=│A1+A2│。当21(21),k时，振动减弱A=│A1-A2│。,3,2,1,0k二、同振动方向、不同频率的简谐振动的合成拍现象设在x方向有两个不同频率的简谐振动，其振动频率分别为1和2，振幅均为A，初相均为0，振动表达式分别为：)cos(11tAx)cos(22tAx其合振动为：)2cos()2cos(2121221ttAxxx结论：两个同方向不同频率的简谐振动的合振动不是简谐振动。讨论：如果两个分振动的频率1和2很大，且相近时：12则：)(21)(212121此时，合振动的位移随时间的变化主要由]2/)cos[(12决定，但振幅]2/)cos[(212A随时间作缓慢的周期性变化，出现振动忽强忽弱和情况。拍现象：频率都较大但相差很小的两个同方向振动合成时，所产生的合振动忽强忽弱的现象。第九章振动学基础48拍频：单位时间内出现最大振幅的次数叫拍频，)(21【典型例题】【例9-3】有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为m20.0，位相与第一振动的位相差为6，已知第一振动的振幅为m173.0，求第二个振动的振幅以及第一、第二两振动的位相差．题5图解：由题意可做出旋转矢量图如下．由图知222211222cos30(0.173)(0.2)20.1730.23/20.01AAAAA∴m1.02A设角为OAA1，则cos22122212AAAAA即2222221212(0.173)(0.1)(0.02)cos0220.1730.1AAAAA即2，这说明，1A与2A间夹角为2，即二振动的位相差为2.【例9-4】一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为m)652cos(3.0m)62cos(4.021txtx用振动合成法求合振动的振动幅和初相，并写出谐振方程。解：∵)65(6∴m1.021AAA合第九章振动学基础493365cos3.06cos4.065sin3.06sin4.0coscossinsintan22122211AAAA∴6其振动方程为:m)62cos(1.0tx【分类习题】一、选择题1．有两个振动:x1=A1cost，x2=A2sint，且A2A1.则合成振动的振幅为（A）A1+A2.（B）A1－A2.（C）（A12+A22）1/2.（D）（A12－A22）1/2.二、填空题1．一物体同时参与同一直线上的两个简谐振动：x1=0.03cos（4t+/3）（SI）、x2=0.05cos（4t－2/3）（SI）。合成振动的振动方程为.2.若两个同方向、不同频率谐振动的表达式分别为x1=Acos10t（SI）与x2=Acos12t（SI）则它们的合振动的频率为，每秒的拍数为.3．同方向同频率二谐振，其合振动的振幅为20cm，与第一谐振的位相差为6/1，若第一谐振的振幅为310cm，则第二谐振的振幅为cm，第一、二两谐振位相差2。三、计算题1．两同方向同频率谐振方程分别为：))(52/cos(10621SItx、)()5sin(10222SItx求其合振动的振幅为A和初位相为。2．三个同方向、同频率的简谐振动的方程分别为：10.08cos(314/6)xt、20.08cos(314/2)xt、30.08cos(3145/6)xt分析：先将1x与3x合成x，再与2x合成。