组合数公式的计算和应用

组合数公式的计算与应用第1页共2页组合数公式的计算和应用海南省华侨中学李红庆现在普通高中新课程标准对组合数引起了足够的重视，组合数公式在离散数学中处于承前启后的作用，它既是数列、古典概型、排列数知识的延伸，又是二项式定理、离散型随机变量的概率分布列知识的奠基内容，是离散数学中一个重要的组成部分，要学好组合数公式要掌握相关基本内容与相关链接．一．基本内容与相关链接——组合数公式的两种形式：组合数公式：121!mmnnnnnmCm个因数，这里*,mnN，并且mn．这个公式主要用在具体的计算问题中．根据阶乘的含义，组合数公式还可以写成另外一种形式：!!!mnnCmnm，这个公式主要用在证明有关组合数和数列的命题．——组合数的两个性质：性质1mnmnnCC，这个性质主要用在当2nmn时，把mnC转化为nmnC来计算；性质211mmmnnnCCC，这个性质在计算与证明中的作用都比较大，在解题中要注意应用．——两个重要的结论：1．0122nnnnnnCCCC，这个结论本来是二项式展开式中的重要结论，但我们可以“借用”到组合数的计算与证明问题中；2．1*11,kknnkCnCknkN，这个结论主要用在与组合数相关的数列问题和恒等式证明中．二、例题举偶例1探求下列式子的结果：（1）32122731nnnnCC；（2）3313236111092nnnnnnnnCCCC4n．分析：组合数公式也有定义域问题，首先要确定正整数n的取值范围，它是由组合数公式的限制条件确定的．解：（1）根据组合数公式的限制条件，原式中的正整数n必须适合于不等式组组合数公式的计算与应用第2页共2页*271127302312120nnnnnnN，所以11,12,13n．（i）当11n时，32123334527313834381501943nnnnCCCCC；（ii）当12n时，32123636312731393739379176nnnnCCCCCC；（iii）当13n时，32123938392273140404141820nnnnCCCCCC．（2）根据组合数公式的限制条件，原式中的正整数n必须适合于不等式组*1130114236024nnnnnnNn，所以5n．那么3313236151413911109216151410nnnnnnnnCCCCCCCC11111615141016107212CCCC．例2已知当*1,knknN时，恒有11kknnkCnC成立，应用这个结论：（1）求0121111231nnnnnCCCCn的值；（2）证明：23421223341122nnnnnnCCCnnCnnn．分析：由重要结论11kknnkCnC可以变换出其它形式的结论，如：1111kknnCCnk，在涉及到组合数的数列题中比较常见．解：（1）11111111,2,3,,1kkkknnnnkCnCCCknkn，∴111111111011011111111111112111211nnnkkknnnkkknnnnnnnCCCknnCCCCnnn．（2）∵通项是1112111,2,3,,1kkknnnkkCnkCnnCkn，∴等式的左边11111122211111112nnnkkknnnnkkkkkCnnCnnCnn．