复矢量形式麦克斯韦方程

复矢量形式麦克斯韦方程麦克斯韦方程组•方程组两个旋度方程表示变化磁场产生电场，变化电场产生磁场。•方程组中两个散度方程，一个表示磁通的连续性，即磁力线既没有起始点也没有终点。这意味着空间不存在自由磁荷。另一个表明电场有源。•时变场中电场的散度和旋度都不为零，所以电力线起始于正电荷而终止于负电荷。磁场的散度恒为零，而旋度不为零，所以磁力线是与电流交链的闭合曲线，并且磁力线与电力线互相交链。在远离场源的无源区域中，电场和磁场的散度都为零，这时磁力线和电力线将自行闭合，相互交链，在空间形成电磁波。tBEtDJHVD0B时谐场量E、D、B、H、J与的复量表示复矢量形式的麦克斯韦方程引入E、B的复矢量后，麦克斯韦方程),,,(),,,(tzyxttzyxBE可写为tjtjezyxjezyx),,(Re),,(ReBE因为算符只对空间求导数，所以运算与取实部运算Re可调换次序，即tjtjezyxjezyx),,(Re),,(ReBE所以时谐电磁场量用复矢量表示时，麦克斯韦方程tBE表示为),,(),,(zyxjzyxBE同理，),,(),,(),,(zyxzyxjzyxJDH),,(),,(zyxzyxvD0),,(zyxB这就是时谐场的麦克斯韦方程。rHrErHrE*Re21,,tt时谐矢量引入复矢量表示后，两时谐矢量叉积的时间平均值计算也可简化为取实部运算。时谐场量的数学表示时谐场量的实数表示（瞬时表示）0(,)cos[()]ArtAtr()Re[()]Re[()]jtjrjtmAreeAre()()()jrmArAre式中：时谐场量的复数表示0(,)cos[()]ArtAtr场量的复数形式场量复数表达形式和瞬时（实数）形式相互转换场量的复数形式：0jEEe场量的瞬时形式：0cos()EEt场量的复数形式转换为实数形式的方法：0jEEetje()0jtEe取实部0cos()Et麦克斯韦方程组微分形式麦克斯韦方程的复数表示──复矢量Maxwell方程(,)(,)(,)(,)(,)(,)0(,)(,)rtrtrttrtrttrtrtrtDHJBEBD(,)(,)rtJrtt()()j()()j()()()()0HrJrDrErBrDrrBr()()Jrjr导电媒质理想介质瞬时矢量复矢量22222200ttEEHH222200kkEEHH()k22222200ttttEEEHHH222200cckkEEHH()cck亥姆霍兹方程的复数表示──无源波动方程9洛仑兹条件达朗贝尔方程瞬时矢量复矢量tBAAEjBAEAtAjA222222ttAAJ2222kkAAJ()k时变电磁场为统一整体位函数同时包括标量位和矢量位时谐场位函数的复数表示──有源波动方程复介电常数和复磁导率复介电常数在正弦电磁场中，复介电常数是一个复数，可以表示为jc其虚部总是大于零的正数，反映媒质的极化损耗。媒质单位体积的极化损耗平均功率为222**]Re[)])(Re[)]Re[]Re[EEjEEEjjEjωω(EJEP**cav当频率较低时，媒质的极化损耗常常可以忽略。对于线性、均匀、各向同性的媒质，在没有场源的空间，麦克斯韦第一方程的复数形式为EjEjEEjjEHc)()(式中)(jc当介质的电导率为不为零的有限值，此时介质存在欧姆损耗。等效复介电常数表征欧姆损耗说明：采用等效复介电常数之后，可以把导体也视为一种等效的电介质，从而使包括导体在内的所有各向同性媒质采用同样的方法去研究介质损耗角对导电媒质：tan导电媒质损耗角1——弱导电媒质和良绝缘体1——普通导电媒质1——良导体导电媒质分类媒质导电性的强弱与频率有关，同一种媒质在低频时可能为良导体，而在高频时可能变得类似绝缘体。等效复介电常数虚部与实部的比,称为损耗角正切:etanctan描述了传导电流与位移电流的振幅比与媒质的介电性能相似，媒质的导磁性能在高频下可以用复磁导率表示为jc复磁导率复磁导率的虚部也是与磁损耗相对应的。对于导磁媒质，其损耗角正切定义为mtan损耗越小的介质，其损耗角正切值越小。良好媒质的损耗角正切在10-3以下。且研究表明金属导体的电导率在直到红外线的整个射频范围内，均可看成实数且与频率无关。例海水电导率，相对介电常数。求海水在和时的等效复介电常数。4/Sm解：81r1fkHzfGHz1当时1fkHz03481210cjj46.3710/jFm当时1fGHz09481210cjj10107.16106.3710/jFm媒质导电性的强弱与频率有关，同一种媒质在低频时可能为良导体，而在高频时可能变得类似绝缘体。表征电磁能量守恒关系的定理积分形式：坡印廷定理微分形式：11()()22tEHEDHBEJd11()d()ddd22SVVVVtEHSEDHBEJ表示通过界面在单位时间内进入V内电磁场的能量表示单位时间内空间区域电磁场能量的增量区域内场对荷电系统所作的功率•设有一闭合介质空间区域V，其内•存在时变的电荷、电流和电磁场。JρV时变电磁场的能量VVSVEJ21VDEBHjωSHEdd)2121(d21********)2121()21(EJ21DEBHjωHE场量用复数表示时坡印廷定理的表示式积分形式：微分形式：Poynting定理给出了时变电磁场能量传播的一个新图像，电磁场能量通过电磁场传播。如果把复介电常数和复磁导率考虑进来，请参考第4.5.6节（P185）为对场量取复数共轭运算。时谐场的平均能流密度和平均能流密度矢量0011()()()TTavSStdtEtHtdtTT对时谐场，平均坡印廷矢量可由场矢量的复数形式计算：1Re[]2avSEH式中：、为场量的复数表达式；EHHH平均能流密度：HESPoynting定理表示闭合空间区域V内电磁场能量守恒和转化的关系式，其中描述电磁场能量流动的物理量。代表单位时间内流出封闭面S的能量,即流出S面的功率。坡印廷矢量的大小表示单位时间内通过垂直于能量传输方向的单位面积的电磁能量。坡印廷矢量的方向即为电磁能量传播方向。坡印廷矢量称为Poynting矢量复坡印廷矢量*21HES它的实部表示功率流密度的时间平均值，虚部为无功功率流密度。),(trS