经济数学--微积分期末测试及答案(A)

1经济数学--微积分期末测试第一学期期末考试试题(A)一.选择题（每小题只有一个正确答案，请把正确答案前的字母填入括号，每题2分，共30分）1.函数21()1xfxx的定义域是（Ａ）；()(1,1)(1,)()(1,)()(1,)()(1,1)ABCD2.下列函数中，与3yx关于直线yx对称的函数是（Ａ）；3333()()()()AyxBxyCyxDxy3.函数214yx的渐近线有（Ａ）；3（A）条（B）2条（C）1条（D）0条4.若函数()fx在(,)有定义，下列函数中必是奇函数的是（Ｂ）；32()()()()()()()()()AyfxByxfxCyfxfxDyfx5.0x时，下列函数中，与x不是等价无穷小量的函数是（Ｂ）()sin()sin()tan()ln(1)AxBxxCxDx6.若()2fxx，则点2x是函数()fx的（Ｂ）；()A左连续点()B右连续点()C驻点()D极值点7.当0x时，下列函数极限不存在的是（C）；1sin11()()sin()()tan1xxABxCDxxxe8.极限0limln1xxx＝（C）；试题号一二三四总分考分阅卷人2()1()0()1()ABCD不存在9.设函数()fx在区间（１，２）内有二阶导数，且()()0xfxfx，若在（１，２）内()0fx,则函数()fx在区间（１，２）内（C）()A单调不增()B单调不减()C单调增加()D单调减少10.下列函数中在［－３，３］上满足罗尔定理条件的是（D）；2221()()()(3)()2AxBCxDxx11.若函数()fx在点0x处可导，则极限000(3)()lim2xxfxxfxxx＝（D）；00001()4()()3()()()()2()2AfxBfxCfxDfx12.下列极限中，极限值为e的是（Ｄ）；11001()lim(1)()lim(1)()lim(1)()lim(1)xxxxxxxxAxBxCDxx13.若lnxyx，则dy＝（Ｄ）；222ln11lnln11ln()()()()xxxxABCdxDdxxxxx14.函数2()fxx，在区间[０，１]内，满足拉格朗日中值定理的条件，其中＝（Ｄ）；1121()()()()4332ABCD15.若函数()fx在(,)内连续，则2()xfxdx（Ｄ）．2222()[2()()]()2()()()()()()AxfxxfxdxBxfxxfxCxfxdxDxfx二.计算题（每小题7分，共56分）1.2arccos1yxxx，求y解：122222(arccos)[(1)]arccosarccos121xxyxxxxxxx2.求2(cossin32)xxxxedx６分７分3解：原式＝3sincos2xxxxexc（其中c是任意常数）3.求曲线51001yxxy在0x对应的点处的切线方程．解：0x时，代入方程得1y；方程两边对x求导得4100599151000yxyxyy，将01xy与代入，得011xyy，故所求的切线方程为1yx，即1yx4.求极限011lim()1xxxe解：原式＝000111lim()limlim(1)12xxxxxxxxxxxxexeexeexeeexe5.设函数221()1axxfxxbx在1x处可导，求常数a和b解：由已知()fx在1x连续，且21111lim()lim()1lim()lim(2)2xxxxfxxbbfxaxa可得3ba①又因()fx在1x处可导，且221111232(1)limlimlim1211(2)2()lim1xxxxxbaxaafxxxaxafxax又得2a代入①得1b故21ab6.求函数2ln(14)yx的上凸区间、下凸区间与拐点．解：222288(14)1,,0,14(14)2xxyyyxxx令得７分５分２分５分７分３分６分７分３分６分７分00004列表讨论如下：x1(,)21211(,)22121(,)2y_0+-0_y拐点1(,ln2)2拐点1(,ln2)27.求121xdxx1131222231221121111(21)22212121112[(21)(21)(21)(21)][(21)(21)]4431(21)(21)2xxdxdxxdxxxxxdxxdxxxcxxc解：＝２１＝６8.已知2xxe是(2)fx的一个原函数，求()2xxfedx22222222222222(2)()2(12)()(1)()(1)22()(1)(1)2(1)22222[(1)()]2[(1)]2222(2)(4)2xxxxxuxxxxxxxxxxxfxxeexeexxxfueufexxxxfedxeedxedxdexxxeedeecxecxec解：三．应用题（本题10分）某厂生产一种化工产品，每年生产x吨的总成本为2()4100000Cxx百元，该产品的需求函数为2100050.001xxp（其中x是需求量，单位：吨；p是价格，单位：百元）；(1)该产品产量为多少时工厂的利润最大？最大利润是多少？(2)该产品获得最大利润时的边际成本和边际收入各是多少？解：(1)2100050.001pxx２分７分4分6分7分６分532()()0.0011000100000Lxxpcxxxx令2()0.003210000Lxxx得驻点1000x(1000)40L且驻点唯一又32(1000)(0.0011000100000)9000001000Lxxxx（百元）故产量为1000吨时工厂利润最大，且最大利润为9000万元；(2)因产品获得最大利润时,边际成本和边际收入相等，又(1000)8000C（百元／吨）故获得最大利润时,该产品的边际成本和边际收入均为８０００（百元／吨）．四.证明题（本题4分）设函数()fx在区间[0,]c上连续，其导数()fx在(0,)c内存在且单调减少，又(0)0f，证明不等式：()()()fabfafb（其中,ab是常数且满足：0ababc）证明：0a时，(0)0f()()()()fabfbfafb0a时，在区间[0,]a和[,]bab上，()fx满足拉格朗日定理条件，1122()(0)()()((0,)()()()()()((,)faffafaaafbafbfbafbfbabbaba有有又()fx在[0,]c上单调减少，而1221()()ff即()()()fbafbfaaa故有()()()fabfafb（其中,ab是常数且满足：0ababc）２分４分3分８分10分6分