结业论文构造法在中学数学中的应用

第1页共9页2010年重庆市高中数学骨干教师市级培训结业论文论文题目构造法在中学数学中的应用学员工作单位重庆市江津聚奎中学校学员姓名杨刚指导教师张广祥2010年9月第2页共9页构造法在中学数学中的应用杨刚重庆市江津聚奎中学校摘要：本文从构造方程、函数、图形、递推数列这些常见构造出发，构造出解题的数学模型,从而使问题得到解决。在构造法解题的过程中，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，在解题中被广泛应用。它是一种极其富有技巧性和创造性的解题方法，运用构造法解数学题可从中激发学生的发散思维，使学生思维和解题能力得到培养，对培养学生的多元化思维和创新精神大有裨益。关键词：构造、数学解题、转化。1.前言构造法，即构造出使用公式或定理的条件，或对所解题目赋予几何意义，或构造出题目所满足的条件的具体事例来验证结论的正确性或推翻结论等手段来解题的方法，是运用数学的基本思想,经过认真的观察,深入的思考,构造出解题的数学模型,从而使问题得到解决。它内涵十分丰富,没有完全固定的模式可以套用,它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础,针对具体的问题的特点而采取相应的解决办法。在解题时，要善于将数与形结合，将式与方程、函数、图形等建立联系，构造出一种新的问题形式，架起一座连接条件和结论的桥梁，如方程、函数、图形、模型等，在数学表达的几种形式之间找出相互关系。从而使问题得以解决，运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于加强学生数学基础知识的灵活运用，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的思维能力和创新能力。不少数学问题运用构造法来分析探求，可获得新颖、独特、简捷的解法。2.构造法在数学中的应用2.1构造函数法在求解某些数学问题中，根据问题的条件，构想、组合一种新的函数关系，使问题在新的观点下实行转化并利用函数的有关性质解决原问题是一种行之有效的解题手段。在解决不等式的证明题时常常通过构造辅助函数，把原来问题转化为研究辅助函数的性质，并利用函数的单调性、有界性、奇偶性等性质来解决。例1：求证不等式：(0)122xxxx第3页共9页证明：构造函数：()(0)122xxxfxx2()122212xxxxxxxfx1(12)122xxxx()122xxxxfx.所以()fx的图像关于y轴对称。当0x时，120x，故()0fx；当0x时，依图象的对称性知()0fx.故当0x时，恒有()0fx.即(0)122xxxx.例2：已知0x，求证：11512xxxx证明：构造函数1()(0)fxxxx，则12xx，设2,由)1)((11)()1(1)()(ff显然：因为2，所以-＜0，＞1，所以()()0ff，所以()fx在2,上是单调递增的，所以115(2)12xfxxx以上两题的实质上是用的函数的单调性、奇偶性来证明的，其中如何来构造恰当的函数是进一步证明的关键。2.2构造递推数列数列的通项公式是数列的核心内容之一，它如同函数中的解析式一样，有了解析式便可研究其性质等；有了数列的通项公式便可求出任一项以及前n项和等.因此，求数列的通项公式往往是解题的突破口、关键点。因此近年来的高考题中经常出现给出数列的解析式（包括递推关系式和非递推关系式），求通项公式的问题，常常用构造法(构造等差、等比数列)。例3：数列na中，123nnaa，求通项na.第4页共9页解：令12()nnatat且23tt，得3t，则数列3na是以6为首项，2为公比的等比数列，所以1362nna，则1623nna.本题是形如1(,nnapaqpq为非零常数）的，若1p，则na为等差数列，否则，构造1()nnatpat等比数列。例4：已知数列na满足114a，*11(2,)(1)2nnnnaannNa，求通项na.解：112(1)nnnaa1111(1)(2)(1)nnnnaa11(1)3a数列1(1)nna是首项是3，公比为-2的等比数列.从而11(1)3(2)nnna即113(2)(1)nnna本题形如1(,,nnnpaapqrqar为非零常数)，将其变形为111nnrqapap若pr，则1na是等差数列，公差为qp，可用公式求通项；若pr，则采用构造1()nnatmat等比数列.例5：已知数列na满足：*111,21,nnaaannN，若数列napnq是等比数列，求实数,pq的值；求通项na.解：设第5页共9页*1(1),()nnapnqmnNapnq得1(1)nnapnqmampnmq因为121nnaan,所以21nnanpnpqmampnmq即(2)(1)10nmapmpnpqmq由已知可得0na，所以202101102mmpmpppqmqq则存在常数1,2pq使得数列napnq为等比数列.所以1242nnan，则122nnan.本题形如1(,,nnapaqnrpqr为非零常数）的形式，解决此问题，一般将其构造为1(1)()nnatnmpatnm等比数列.2.3构造方程或方程组根据题设条件，利用方程的根的定义、根的判别式、韦达定理等相关知识构造出方程或方程组，然后利用方程或方程组的有关知识，使问题得以解决。例6：已知实数,,xyz满足25,9xyzxyy，求23xyz的值。解：由已知可得：21619xyxyz以1,xy为两实数根，构造方程22690mmz，因为方程有实根，所以222(6)4(9)40zz所以20,=0z且，所以方程2690mm有两个相等的实数根，所以123mm，于是有13xy，所以2,3,0xyz，所以238xyz.例7：求证：),2(3tansectansec3122Zkk第6页共9页证明：设tansectansec22y则：2(1)tan(1)tan(1)0yyy当1y时，显然成立.当1y时22(1)4(1)(31)(3)0yyyy所以：133y2.4构造图形法数与形是和谐统一的，是数学教学中不可分割的两方面，用数与形转化思想解题，能充分利用几何直观性，且解法简洁，在解题过程中能培养学生的创造性思维。要灵活运用数形结合的方法，必须对解析几何中的公式及其各种变形有相当深刻的认识，也要对所求解的问题的数、式、形等特征有比较准确的把握，敢于联想，善于联想是构造法的关键。例8：一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）.A．3B.4C.33D.6显示正方体隐藏正方体合拢移开旋转ACB1D1A1D1C1B1ADCB图1解：构造一个棱长为1的正方体1111ABCDABCD(如图1)，连111111,,,,,ABADACCDCBBD，则四面体11BACD为符合题意的四面体，它的外接球的直径即为正方体的对角线长.设该外接球的半径为R,则123RAC,所以第7页共9页此正四面体外接球的表面积为243SR,故选A.例9：求函数2225613yxxxx的最小值.解：可将函数变形为：2222(1)(02)(3)(02)yxx可以理解为M(,0)A12B3-2x与（，）和（，）的距离之和，又因为M是x轴上的动点，也就是在x轴上找一点M使得M与A的距离和M与B的距离之和为最小值。点BAx和分别在轴的上、下两侧，连接AB与x轴的交点为1M，AB间的距离就是函数的最小值（如图2），为22(13)(22)25图2例10：已知全集5,4,3,2,1U，集合,ST为U真子集，若2TS，4TSCu，5,1TCSCuu,则有（）A.S3，T3B.SCu3，T3C.S3，TCu3D.SCu3，TCu3分析：由韦恩图3知，三个集合的关系如下图：一目了然，选答案C.514T23SU图3xy(X,0)(3,-2)(1,2)12345–1–2–3–4–5–612345–1–2–3–4–5–6M1oABM第8页共9页3.总结通过上述的例子说明了，构造法解题有着在你意想不到的功效，问题很快便可解决。它可以构造函数、方程、图形甚至其它构造，就会促使学生要熟悉几何、代数、三角等基本知识技能并多方设法加以综合利用，这对学生的多元思维培养学习兴趣的提高以及钻研独创精神的发挥十分有利。构造法解题的思维过程具有一定的灵活性和创造性，运用构造法解题需要掌握数学知识之间的互相关系，而且需要较强的思维能力和创新意识，并且能够激发学生积极探索，创新的欲望和意识。在高速发展的21世纪，数学作为“思维的体操”，对于培养创新型人才有着非常重要的意义。在数学教学中对学生解题能力的培养，不仅能使学生思路开阔、妙趣横生，而且能够拓展他们认知的范围，巩固他们认知的深度。并且，继续深入进行构造法在中学数学中的应用的理论研究和教学实践。因此，在解题教学时，若能启发学生从多角度，多渠道进行广泛的联想则能得到许多构思巧妙，新颖独特，简捷有效的解题方法而且还能加强学生对知识的理解，培养思维的灵活性，提高学生分析问题的创新能力。参考文献：[1]薛金星.怎样解题[M].北京教育出版社，2004.205-214.[2]王桂青.初中数学竞赛中的构造法分析[J].考试周刊，2007，（1）：101-102.[3]黄加卫.给数学构造性解题方法提个醒[J].中学数学研究，2006，（4）：26-28.[4]戴红波.构造在数学解题中的应用[J].宁波教育学院学报，2010，12（3）：134-135.[5]周权.运用构造法巧证组合题[J].高中数学教与学，2008：44-45.[6]蒲怡萧.一道例题的构造解法[J].数学大世界.高中版，2003，（9）：26.[7]陈巧红.用构造法巧求根式函数的最值[J].数学通报，2006，（20）：17-18.[8]王小兰.浅析构造法在不等式证明中的应用[J].教育战线，2007，（6）：126.[9]王向群.两类求和问题的又一构造解法[J].数学通讯，2001，（7）：22.[10]王业文.无理方程的构造解法例谈[J].中学数学（苏州），1998，（8：36-37.[11]刘颖.浅析构造法在初等数学中的应用[J].职业教育，2007，（6）：225-226.[12]刘震源.浅谈构造法在中学数学中的应用[J].中国校外教育（理论），2007，（1）：89-91.致谢：本文的研究工作是在我的导师张广祥老师的精心指导和悉心关怀下完成的,同时也是在我们西南大学数学与统计学院老师们教育关心下的收获。在我的学业第9页共9页和论文的研究工作中无不倾注着导师辛勤的汗水和心血，导师的严谨治学态度、渊博的知识、无私的奉献精神使我深受启迪，从尊敬的导师身上，我不仅学到了扎实、宽广的专业知识,也学到了做人的道理.在此我要向我的导师致以最衷心的感谢和深深的敬意。在此,向所有关心和帮助过我的导师、老师和同学表示由衷的谢意！