统计专家讲座

专题讲座小学数学“统计与数据分析观念”的教学研究与案例评析马云鹏（东北师范大学教育学部教授）陶剑（东北师范大学数学与统计学院教授）“统计与概率”是义务教育阶段数学内容四个部分之一。虽然在第一、二学段这部分内容占的比例不大，但通过培养学生收集、整理、描述和分析数据的能力，使学生初步了解不确定现象，逐步形成统计观念，把数学知识和方法与现实密切联系，形成数学意识帮助学生认识人、自然和社会是非常重要的。同时，对于这部分内容实质的把握和方法的设计，又是小学数学教学的一个难点，是教师专业素养提高的重要内容。第一部分：统计与数据分析观念学科知识一、统计学习的必要性(一)应用性、认识论、方法论方面的意义1．就应用而言，对社会发展有促进作用。大至一个国家，小至一个企业或者个人，统计在生活中的应用是广泛而有意义的。国家需要依赖统计的数据作出长远的规划，对现实的发展作出客观的分析；企业或个人在投资理财、个人消费、天气预报等诸多方面都需要应用统计的知识。在社会的其他方方面面也都离不开统计，就拿航空航天技术来说，许多参数都依据统计方法中的计算机模拟试验来分析研究，这也是随机数学被人们越来越重视的一个有力例证。而从统计本身的发展来看，形成的许多边缘学科：统计质量管理、生物统计、医学统计、心理计量、教育统计、经济金融统计等，也从一个侧面说明了统计方法在许多科学领域的应用。2．就认识论而言，让人们对偶然性与必然性之间的辨证关系有了进一步的认识随机数学是研究大量偶然性事件规律的科学，是从事物的偶然性中揭示事物发展的必然趋势的学科。因此随机数学从量化上进一步认识了偶然性服从于现象内部蕴藏的必然性，如：硬币掷出正反面、出生婴儿的性别、掷骰子出现点数1……。3．就方法论而言，是从局部到总体的归纳方法（统计推断可以保证归纳的正确性）(二)国际小学数学教学改革的趋势20世纪80年代以来，很多国家都进行了小学数学教育的改革，其中一个共同的趋势是将“数据处理”作为一个重要的组成部分纳入到小学数学课程中。数据处理的教学基本目标应该是使学生学会收集、整理和描述数据；探究概率和随机现象；形成和解决涉及到数据的收集和分析的问题；用形象的图和表的形式来表达数据；形成对数据的批判态度。(三)强化学习内容的意义1．形成合理解释数据的能力我们正处在一个信息社会中，我们的生活正在被以数据（高维、大量大维、海量）所构成的信息包围着和控制着，因此对一般公民来说，学会对数据的认识、收集、描述、分析和利用是一种非常重要的能力，而这些能力应该从小学开始进行培养。2．提高科学认识客观世界的能力著名的美国《Science》杂志认为“统计”是影响人们未来生活最大的二十项科学成就之一。现代社会是信息化的社会，人们常常需要收集数据，根据所获得的数据提取有价值的信息，并做出合理的决策。统计是研究如何收集、整理、分析数据的学科，它可以为人们制定决策提供依据。统计——要用数据说话！在一家超市里，有一个有趣的现象：尿布和啤酒赫然摆在一起出售，但是这个奇怪的举措却使尿布和啤酒的销量双双增加了。这不是一个笑话，而是发生在美国沃尔玛连锁超市的真实案例，并一直为商家所津津乐道。原来，美国的妇女们经常会嘱咐她们的丈夫下班以后为孩子买尿布，而丈夫在买完尿布之后又要顺手买回自己爱喝的啤酒，因此啤酒和尿布在一起购买的机会还是很多的。是什么让沃尔玛发现了尿布和啤酒之间的关系呢？正是商家通过对超市一年多原始交易数字进行详细的分析，才发现了这对神奇的组合。3．发展现实情境中解决实际问题的能力在现实世界中，现象和问题是以各种各样的形式存在的，而且又有非常强的偶然性和变化性，它需要现代社会成员通过自己的观察、分析，从大量的偶然性现象背后揭示出某些规律来，才能对自己的行为作出有效的选择，才能独立地去解决实际问题。二、体会统计学与数学的区别数学历来被认为是确定性的科学，这意味着从同样的条件出发就应当得到同样的结论，如果得到的结论不一样，就会认为其中至少有一个结论是错误的。毋庸置疑，这种确定性思维模式对小学生能力的培养是不可或缺的。但我们也应该清醒地意识到，在传统教学中教师对确定性的过分追求，将会束缚学生创新性思维的发展。统计与概率主要处理现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，着眼于培养学生一种新的思维模式。统计学与数学在许多方面是不一样的，是“合而不同”的。这里我们尝试性地分析一下二者的区别。（一）立论基础不同从数量和数量关系这个角度考虑，数学是建立在概念和符号基础上的。为了研究数量，先从数量中抽象出自然数以及自然数的运算法则，根据运算的需要逐渐进行数的扩充：自然数与加法，整数与减法，有理数与除法，实数与极限；为了研究数量关系，定义了方程、函数、导数、微分、积分、微分方程。从对数学的抽象过程的讨论我们知道，一个好的概念的形成和一个好的符号表达对于数学的发展是至关重要的。而统计学是建立在数据基础上，虽然概念和符号对于统计学的发展也是重要的，但是统计学在本质上是通过数据进行推断的。（二）推理方法不同与概念和符号相对应，数学的推理依赖的是公理和假设，虽然这些公理和假设可能是来源于人们的经验和直观。数学的推理过程在本质上是演绎法，是一个从一般到特殊的方法；而统计学的推断依赖的是数据和数据产生的背景，强调根据背景寻找合适的推断方法，统计学的推断过程在本质上是归纳法，这是一个从部分推断全体的方法，是一个从特殊到一般的方法。（三）判断原则不同数学在本质上是确定性的，它对结果的判断标准是对与错，从这个意义上说，数学是一门科学，而统计学是通过数据来推断数据产生的背景，即便是同样的数据，也允许人们根据自己的理解提出不同的推断方法，给出不同的推断结果，我们很难说哪种方法是对的哪种方法是错的。因此，统计学对结果的判断标准是好与坏，从这个意义上说，统计学不仅是一门科学，也是一门艺术，因为艺术是允许“仁者见仁，智者见智”的。统计学是关于收集和分析数据的科学和艺术。——《不列颠百科全书》三、统计思想形成的过程特征所谓统计，其本质就是从局部观察到的资料的数据特征来推断整个系统的状态，即：通过研究随机变量的数学关系以及这些变量的分布规律来推断有关总体的情况，或去判断某一论断能以多大的概率来保证其准确性，它是一种由局部推断总体的思想方法，是一种探知某个系统规律性的科学。所谓统计思想，有两个基本含义：一是指通过对数据初步整理，科学揭示随机现象背后的某些规律性思想，二是指从局部出发探究总体的思想。小红这个星期踢毽子的最高纪录如下表。预测一下她在下个星期的比赛中是否有希望打破203次的纪录？星期一二三四五六日最高次数194198204201202203205（一）统计思想形成的过程特征1．观念是伴随着操作活动逐步形成的；2．数据的分析与利用能力的形成是渐进的；3．对数据理解是逐步发展的；4．对统计样本的理解缺乏经验的支撑。（由于学生首先接触的是可以穷尽的数据，所有总是以自己熟悉的数据为依据作出判断。）（二）学习策略1．关注在现实生活中的经历；年龄0123456体重3911131617202．增强在数学活动中的体验；真切体会到统计图表的制作不仅仅是一个简单的技术问题，而是理解它们的作用和现实意义。3．强化将知识运用于现实情境。如下表是三位足球运动员六局点球比赛的情况（每局10次，射中计1分）：一二三四五六张平41076106李强78767/赵兵356/78历史上著名数学家抛硬币的情况：试验者抛硬币总数正面朝上反面朝上德·摩根409220482044蒲丰404020481992费勒1000049795021皮尔逊240001201211988罗曼诺夫斯基806403969940941逐步逼近，水到渠成。（三）避免把频率与概率混淆用掷硬币试验去验证概率：从概率的统计定义而言，做抛硬币试验是可以的，可以使学生参与实践活动、经历知识的形成过程、提高学习兴趣。1.关键：（1）试验次数少的时候，频率与概率的误差可能会比较大；（2）但是试验次数多，或者说试验次数足够大的两次试验，也不能保证试验次数多的比试验次数少的误差小。这是随机事件本身的特点决定的。2.可行的一些办法：（1）呈现数学家们做的试验结果，使学生理解概率的统计定义；（2）可通过计算机模拟试验。3.应注意的一些问题：（1）牢记统计教学的正确价值取向①看成一种策略：自主产生统计的需要。②亲历一种过程：在经历和体验中学习。③学会一种眼光：从统计的角度看生活。（统计的眼光不是教出来的，需要在实践中发现、培养。）（2）警惕统计教学中人文关怀的缺失课堂不仅是学科知识传递的殿堂，更是人性培育的圣殿。（3）正确把握学习的基本目标要求①以学定教。要从学生的实际需要和水平出发设计、组织开展正确的教学。②因材施教。要根据不同学生的实际设置不同层次的教学要求并组织开展相应的活动。（4）多开展综合实践活动①观念在活动中逐步形成。②能力在活动中逐步增长。四、对有能力的学习者适当进行知识拓展蒙特卡罗(MonteCarlo)方法，或称计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法。这一方法源于美国在第一次世界大战期间研制原子弹的“曼哈顿计划”。该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼(J.vonNeumann)用驰名世界的赌城，摩纳哥的MonteCarlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。蒙特卡罗方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。早在17世纪，人们就知道用事件发生的“频率”来估算事件的“概率”。考虑平面上的一个边长为1的正方形及其内部的一个形状不规则的“图形”，如何求出这个“图形”的面积呢？蒙特卡罗方法是这样一种“随机化”的方法：向该正方形“随机地”投掷N个点，其中有M个点落于不规则“图形”内，则该“图形”的面积近似为M/N。第二部分：小学数学“统计与数据分析观念”的教学研究一、小学中统计内容发展的简要回顾自1956年将统计知识的学习作为在我国建国以来小学数学学习的内容之一以来，不同年代的《大纲》或《标准》对统计与概率知识的要求呈现出不同特点。1956年，《大纲》开始在小学设置统计初步知识——使学生获得“简单统计图表和简单簿记的初步知识”。1956年的《大纲》对统计的教学要求是：统计图表在劳动生产和日常生活里有广泛的应用，在小学里学习这些教材可以使儿童获得一些实际应用的知识和技能，并且可以为将来参加劳动生产做一些准备。1978年，《大纲》则加强了统计知识的内容——“掌握统计的一些初步知识，能够绘制简单的统计图表”。2001年，《标准》作了较大的调整，统计也有所加强，为了满足学生走向社会、适应社会发展的需要。具体体现在：第一学段：统计７条内容；第二学段：统计8条内容。（一）2001年《标准》第一学段统计：1．能按照给定的标准或选择某个标准（如数量、形状、颜色）对物体进行比较、排列和分类；在比较、排列、分类的活动中，体验活动结果在同一标准下的一致性、不同标准下的多样性。2．对数据的收集、整理、描述和分析过程有所体验。3．通过实例，认识统计表和象形统计图、条形统计图（1格代表1个单位），并完成相应的图表。4．能根据简单的问题，使用适当的方法（如计数、测量、实验等）收集数据，并将数据记录在统计表中。5．通过丰富的实例，了解平均数的意义，会求简单数据的平均数（结果为整数）。6．知道可以从报刊、杂志、电视等媒体中获取数据信息。7．根据统计图表中的数据提出并回答简单的问题，能和同伴交换自己的想法。可见，第一学段有七条关于统计的内容。增加了对统计表、象形统计图和条形统计图的认识，首次提出从统计的角度了解平均数的意义。（二）2001年《标准》第二学段统计：1．经历简单的收集、整理、描述和分析数据的过程（必要时可使用计算器）。2．根据实际问题设计简单的调查表。3．通过实例，进一步认识条形统计图（1格表示多个单位），认识折线统计图、扇形统计图；根据需要，选择条形统计图、折线统计图直观、有效地表示数据。4．通过丰富的实例，理解平均数、中位数、众数的意义，会求数据的平均数、中位数、众数，并解释结果的实际意义；根据具体的问题，能选择适当的统计量表示数据的不同特征。