参数估计习题课

一、重点与难点1.重点最大似然估计.一个正态总体参数的区间估计.2.难点显著性水平与置信区间.矩估计量估计量的评选截尾样本的最大似然估计截尾寿命试验二、主要内容最大似然估计量最大似然估计的性质似然函数无偏性正态总体均值方差的置信区间与上下限有效性置信区间和上下限求置信区间的步骤相合性矩估计量用样本矩来估计总体矩,用样本矩的连续函数来估计总体矩的连续函数,这种估计法称为矩估计法.矩估计法的具体做法:,,,2,1,klAll令,,,,21的方程组个未知参数这是一个包含kk.,,,21k解出其中.,,,,ˆ,,ˆ,ˆ2121量这个估计量称为矩估计估计量的分别作为用方程组的解kk最大似然估计量)(,,,,21Lxxxn选取使似然函数时得到样本值,ˆ的估计值作为未知参数取得最大值的).;,,,(max)ˆ;,,,(2121nnxxxLxxxL即)(可能的取值范围是其中),,,,(ˆ,,,,ˆ2121nnxxxxxx记为有关与样本值这样得到的),,,(ˆ21nXXX,的最大似然估计值参数.的最大似然估计量参数最大似然估计的性质.)()ˆ(ˆ,)();(ˆ,,)(,)(的最大似然估计是则计的最大似然估中的参数形式已知的概率密度函数是又设数具有单值反函的函数设uuufxfXUuuuu似然函数属离散型设总体X.1),;();,,,()(121niinxpxxxLL.)(称为样本似然函数L属连续型设总体X.2),;();,,,()(121niinxfxxxLL.)(称为样本的似然函数L正态总体均值方差的置信区间与上下限.1的置信区间均值单个正态总体,)1(2为已知1的置信区间的一个置信水平为.2/znX,)2(2为未知1的置信区间的置信水平为.)1(2/ntnSX12的置信区间的置信水平为方差.)1()1(,)1()1(22/1222/2nSnnSn.22的置信区间方差,未知1的置信区间的一个置信水平为标准差.)1(1,)1(122/122/nSnnSn.121的置信区间两个总体均值差,)1(2221均为已知和121的置信区间的一个置信水平为.2221212/nnzYX两个正态总体,)2(2221均为未知和121的近似置信区间的一个置信水平为.2221212/nSnSzYX,)3(222221为未知但121的置信区间的一个置信水平为.11)2(21212/nnSnntYXw.,2)1()1(2212222112其中.22221的置信区间两个总体方差比.,21为未知的情况仅讨论总体均值12221的置信区间的一个置信水平为.)1,1(1,)1,1(1212/12221212/2221nnFSSnnFSS正态总体均值与方差的单侧置信区间,),1(ntnSX1的置信下限的置信水平为).1(ntnSX1的单侧置信区间的一个置信水平为,)(,2均为未知方差是的均值是设正态总体X12的单侧置信区间的一个置信水平为,)1()1(,0212nSn12的单侧置信上限的置信水平为.)1()1(2122nSn的置信区间是的置信水平为则为未知参数其中的分布律为布的总体分它来自的大样本设有一容量1,,1,0,)1();(,)10(,501ppxpppxfXXnxx,24,2422aacbbaacbb,22/zna其中),2(22/zXnb.2Xnc分布的置信区间)10(无偏性的一个样本，为总体若XXXXn,,,21,的分布中的待估参数是包含在总体X)(的取值范围是.ˆ,)ˆ(,)ˆ(),,,(ˆ21的无偏估计量是则称有且对于任意存在的数学期望若估计量EEXXXn有效性.ˆˆ,ˆˆ,,ˆˆ212121有效较则认为更密集的附近较的观察值在真值相同的情况下在样本容量如果和的两个无偏估计量比较参数n由于方差是随机变量取值与其数学期望的偏离程度,所以无偏估计以方差小者为好..ˆˆ),ˆ()ˆ(,),,,(ˆˆ),,,(ˆˆ212121222111有效较则称若有的无偏估计量都是与设DDXXXXXXnn相合性.ˆ,),,,(ˆ,,,),,,(ˆˆ2121的相合估计量为则称依概率收敛于时当若对于任意的估计量为参数若nnXXXnXXX置信区间和置信上限、置信下限,1)},,,(),,,({),,,(),,,(,,,1),(0,);(2121212121nnnnnXXXXXXPXXXXXXXXXxFX满足和确定的两个统计量若由样本对于给定值数含有一个未知参的分布函数设总体.1,1,1),(为置信水平上限区间的置信下限和置信的双侧置信分别称为置信水平为和区间的置信的置信水平为是则称随机区间单侧置信区间的定义,1}{,),,,(,,,,1)(02121PXXXXXXnn满足对于任意确定的统计量若由样本对于给定值.1,1),(信下限的单侧置的置信水平为称为侧置信区间的单的置信水平为是则称随机区间,1}{),,,,(21PXXXn满足意对于任又如果统计量.1,1),(信上限的单侧置的置信水平为称为侧置信区间的单的置信水平为是则称随机区间求置信区间的一般步骤.)(,);,,,(:,,,)1(2121包括数且不依赖于任何未知参的分布已知并且其中仅包含待估参数的函数寻求一个样本ZXXXZZXXXnn.1});,,,({,,,1)2(21bXXXZaPban使定出两个常数对于给定的置信水平.1),(,),,,(,),,,(,);,,,()3(212121的置信区间的一个置信水平为就是那么都是统计量其中的不等式得到等价若能从nnnXXXXXXbXXXZa截尾寿命试验1.定时截尾寿命试验.,,,,,0,,,0210210称为定时截尾样本所得的样本是一个随机变量此时它们的失效时间分别为个产品失效如试验截止时共有停止间截尾时试验进行到事先规定的同时投入试验时个产品在时间假设将随机抽取的mmtttmttttmttn2.定数截尾寿命试验.,,,,,0,),(,02121为定数截尾样本称所得的样本个产品的失效时间是第这里时间分别为个产品的失效产品失效时停止定的是事先规个试验进行到有同时投入试验时个产品在时间假设将随机抽取的mmmtttmttttmnmmmtn截尾样本的最大似然估计1.定数截尾样本的最大似然估计设有n个产品投入定数截尾试验,截尾数为m,得定数截尾样本,021mttt取似然函数为.e1)(])([121mmtmntttmL的最大似然估计值为得到.)(ˆmtsm2.定时截尾样本的最大似然估计设定时截尾样本,0021ttttm)(0是截尾时间其中t得似然函数为.e1)(])([1021tmntttmmL的最大似然估计值为.)(ˆ0mts三、典型例题解.,ˆ,)10(,,,21的无偏估计量并验证它是达到方差界的最大似然估计量求参数分布的一个样本的是来自参数为设pppXXXn,1,0,)1();(1xpppxfxx);()(1pxfpLnii,)1(11niiniixnxpp)(lnpL),1ln(ln11pxnpxniinii例1ppLd)(lnd,111pxnpxniinii,0d)(lndppL由,)1(11niiniixnpxp得的最大似然估计值为故参数p,1ˆ1niixnp的最大似然估计量为参数p,1ˆ1XXnpnii)()ˆ(XEpEniiXnE11,)(11pXEnnii.ˆ的无偏估计量是所以pp,1,0,)1();(1xpppxfxx又因为),1ln()1(ln);(lnpxpxpxfppxf);(ln,11pxpx2);(lnppxfE1,012)1(11xxxpppxpxpppp221)1()1(1,)1(1pp都满足不等式的任何一个无偏估计量的参数因为),,,(ˆ);(21nXXXpppxf,)1();(ln)ˆ(2nppppxfEnpD的无偏估计量对于参数p,1ˆ1niiXnXpniiXnDpD11)ˆ(niiXDn12)(1)1(12ppnn),1(1ppn.ˆ偏估计量的无的达到方差界是总体分布参数故pXp解?)05.0(,0025.0,7.12,16,0.01,,),(22问此仪器工作是否稳定算得个点今抽测超过按仪器规定其方差不得现对该区进行磁测从正态分布设某异常区磁场强度服sxN,05.0,16n,5.27)15(2025.0置信区间为的12,26.6)15(2975.0)1()1(,)1()1(22/1222/2nSnnSn),00599.0,00136.0(.,0.012故此仪器工作稳定不超过由于方差例2备用例题