64-第六章习题课(概率统计)

第六章数理统计的基本概念习题课上页下页返回上页下页返回在第六章中，主要是通过所研究对象的其中一部分的性质和数量指标来推断研究对象的整体性质和数量指标，即用样本特征来推断总体特征.分三块讲解，一是“主要内容归纳”，二是“例题分类解析”，三是“学习与研究方法”总结.在“例题分类解析”部分，讲解了：1.确定统计量服从什么样的抽样分布2.利用抽样分布进行有关概率计算.内容简介：上页下页返回上页下页返回本章重点：1.简单随机样本的概念;2.统计量定义;3.常用的抽样分布及抽样分布定理.本章难点：1.简单随机样本的利用问题;2.统计量的判断;3.抽样分布的有关证明.一、主要内容归纳1.数理统计的基本概念上页下页返回上页下页返回表6-1数理统计的基本概念总体具有一定共同属性的研究对象的全体.个体组成总体的每一个元素.简单随机样本若X1,X2,…,Xn相互独立且与总体X同分布,则称X1,X2,…,Xn为来自总体X的简单随机样本,简称为样本.统计量样本X1,X2,…,Xn的任一不含未知参数的函数.抽样分布统计量的分布,称为抽样分布.分位点设随机变量X的分布函数为F(x),对于给定的数a(0a1),若Fa满足P{XFa}=a,则称Fa为随机变量X的分布的上a分位点.上页下页返回上页下页返回讲评(1)统计量包含两个关键词:一是样本的函数,二是不包含未知参数.(2)上a分位点是一个数,它是指服从某一分布的随机变量大于这个数的概率正好等于a,这个数就称为这个分布的上a分位点.这个定义在参数估计和假设检验中有重要作用.2.常用的统计量表6-2常用的统计量上页下页返回上页下页返回样本均值.样本方差.样本标准差.样本k阶原点矩样本k阶中心矩.11niiXXn2211()1niiSXXn211()1niiSXXn11,1nkkiiAXkn≥11(),2nkkiiBXXkn≥上页下页返回上页下页返回2X~N(0,1),Y~(n)222212=nXXX22()~.n/XtYn12,,,nXXX上述常用的统计量,我们在以后学习中经常使用,读者应该熟练掌握计算公式.3.常用的抽样分布分布设是来自总体N(0,1)的样本,则称统计量服从自由度为n的分布,记为t分布设且相互独立,则称服从自由度为n的t分布,记为t~t(n).2讲评2上页下页返回上页下页返回F分布设且相互独立,则称服从自由度为m,n的F分布,记为F~F(m,n).22~(),~()XmYn//FXmYn讲评上述三个抽样分布的定义,在一些证明题中会经常遇到;常用的抽样分布与分位点结合起来,在后面的参数估计与假设检验中经常使用;三个抽样分布都是利用标准正态分布和独立性给出的结构型的定义,如果给出了正态分布,需要将随机变量标准化为服从标准正态分布,即可利用三个抽样分布的定义解决问题.上页下页返回上页下页返回4.常用的重要结论是总体的样本,设12,,,nXXX2(,)N2,XS是样本均值与样本方差,有分别(1)2~(,);XNn(2)222(1)~(1);nSn与(3)X2S独立;(4)~(1)./XtnSn上页下页返回上页下页返回设112,,,nXXX212,,,nYYY分别是来自正态121(,)N222(,)N的样本,且这两个样本相互独立,总体与与设12111211,nniiiiXXYYnn分别是这两个样本的样本均值,12221112221211(),()11nniiiiSXXSYYnn分别是这两个样本的样本方差,则有(1)2212122212/~(1,1);/SSFnn上页下页返回上页下页返回(2)当22212时121212()()~(2).11wXYtnnSnn其中2222112212(1)(1),2二、例题分类解析1.确定统计量服从什么样的抽样分布例1是总体X~B(1,p)的样本,则12,,,nXXX上页下页返回上页下页返回1niiX的分布为,当n很大时,样本均值X近似服从分布.1~(,).niiXBnp解因是来自总体X~B(1,p)的样本,故相互独立且Xi~B(1,p)(i=1,2,…,n),由两点分布可加性和二项分布的定义,知12,,,nXXX…12,,,nXXX…的布,所以由二项分布的定义可以求得和1niiX分析相互独立,且服从两点分12,,,nXXX…分布.上页下页返回上页下页返回讲评样本均值是样本的函数且不含未知参数,从而样本均值也是统计量,其服从的极限分布由中心极限定理求出.由于E(X)=p,D(X)=p(1-p).由中心极限定理知~(0,1)(1)XpNppn,所以样本均值近似(1)~(,).ppXNpn服从正态分布，即扩展可修改条件为X~N(μ,σ2),考查同样问题.上页下页返回上页下页返回例2设总体X~N(0,σ2)(σ0),X1,X2,…,X6是取自总体X的样本,设Y=(X1+X2+X3)2+(X4+X5+X6)2,则当c=,cY服从自由度为的分布.2分析由2分布的定义,只要把括号里面的统计量化为服从标准正态分布的随机变量即可.解因为Y=(X1+X2+X3)2+(X4+X5+X6)2,因为2~(0,),iXN所以21233~(0,),XXXN24563~(0,).XXXN上页下页返回上页下页返回扩展一般情况下,只要是服从正态分布的随机变量的平方和,则它多服从故1233~(0,1),XXXN4563~(0,1)XXXN所以2221234562()()~(2).333XXXXXXY即213c,自由度为2.讲评本题考查了2分布的定义,服从2随机变量是服从标准正态分布的随机变量的平方和.分布的上页下页返回上页下页返回2分布.注意,一定要标准化随机变量.11nXXnYSn服从什么分布?相互独立,则统计量例3设总体2~(,)XN,是来自12,,,nXXX总体X的一组样本.与X2S21~(,)nXN12,,,nXXX分别是样本均值与样本方差,又设且与上页下页返回上页下页返回分布有分析统计量Y的分子是两个服从正态分布的随机变量的差,而分母可能与2关,因此统计量Y可能服从t分布.上页下页返回上页下页返回解由抽样分布的定理知,2~(,).XNn又因为21~(,)nXN且与相互独立,所以,211~(0,).nnXXNn故标准化随机变量1~(0,1).1nXXNnn又因为222(1)~(1),nSn且22(1)nS与11nXXnn相互独立，所以12,,,nXXX…上页下页返回上页下页返回12211(1)(1)~(1).1nnXXnnnSnXXnYtnSn讲评本题考查的是t分布的定义,但它的形式不明显,我们要构造出它的形式,这是本题的难点.扩展题目要具体问题具体分析,主要是看它是否服从正态分布的随机变量与服从2分布的随机变量的商的形式.参见例4,并比较分母的形式.上页下页返回上页下页返回分析统计量Y的分子与分母是服从正态分布的随机变量的平方,所以它可能服从F分布.解由题设,~(0,1)nXN,所以22()~(1).nX例4题设条件同例3,问统计量2121(1)()()nniinXYX服从什么分布?注意到12212()~(1),niiXn,且与2()nX两者独立,由F分布的定义得,2121(~(1,1).()1)nniiXFnXn上页下页返回上页下页返回即2121(1)()~(1,1).()nniinXYFnX讲评在分子中的Xn一定不能在分母的求和中出现,否则分子与分母就不相互独立了,这样就不一定服从F分布了.扩展题中分子与分母的形式可以变化,只要满足都是服从正态分布的随机变量的平方和且二者相互独立即可.参见例3,并比较分母的形式.上页下页返回上页下页返回以出其概率.分析显然,只要确定了XY的分布就可求,例5设X1,X2,…,X25是取自总体X~N(20,3)的样本,记X为X1,X2,…,X10的样本均值,Y为X11,X12,…,X25样本均值.{0.3}.PXY求2.利用抽样分布进行有关概率计算上页下页返回上页下页返回)].23.0(1[2Φ{0.3}{2()0.32}PXYPXY所求概率为,,,=0.67.解由抽样分布的定理,知3~(20,),10XN3~(20,)15YN.题设二者相互独立,于是33~(0,),1015XYN即1~(0,).2XYN上页下页返回上页下页返回讲评本题型在前面多次遇到,利用正态分布的标准化公式就可以处理.扩展求{}PaXbYc的概率与此题方法类似.2,例6在总体X~N()中抽出容量为21的样本,求分析只要确定了22S的分布就可以计算其概率.22{2}.SP≤上页下页返回上页下页返回解由抽样分布定理知得到于是，2222222020{2}{40}1{40}10.010.99.≤≤SSSPPP222(1)~(1).nSn22220~(20).S上页下页返回上页下页返回讲评本题的关键是求出其分布,再结合分位点的定义(需要查表)就可轻松解出.扩展分位点的使用一般有三种情况:(1)已知自由度n与a,查出分位点.(2)已知自由度n与分位点,查出a.(3)已知分位点与a,查出自由度n.例7设X,Y相互独立,X~N(4,9),2~(16).Y求概率{41.31}.PXY上页下页返回上页下页返回解因为X~N(4,9),故4~(0,1)3XN,它与于是~(16)(4)163ttXY.所求概率为Y相互独立,分析本题中一边是服从正态分布的随机变量,一边是服从2分布的随机变量,把服从变量除2分布的随机到服从正态分布的随机变量的一边,这样这个随机变量可能就服从t分布.随机变量可能服从t分布.上页下页返回上页下页返回41.3143{41.31}{}316XPXYPY43{1.747}0.05.16XPY分母上的分布的自由度相同.2讲评本题的关键是找到随机变量所服从的分布形式.注意t分布的定义,它的自由度与上页下页返回上页下页返回扩展见例7扩展部分.例8设X1,X2,…,X8是取自总体X~N(μ1,20)的样本,Y2,Y2,…,Y10是取自总体Y~N(μ2,35)的样本,且X与Y相互独立,21S为X的样本方差,22S为Y的样本方差,求概率2212{2}.≥PSS分析要求关系式的概率,一定要找出其分布.上页下页返回上页下页返回解由抽样分布定理,知2122122122~(1,1).//FFnnSS因此212235~(7,9).20SFFS所求概率为2221122235{2}{3.5}0.0276.20≥≥SPSSPS上页下页返回上页下页返回题设条件中的数学期望没有用到;可以求形如2212{}PaSbS≥(其中a,b已知常数)的概率.本题中不等式左、右两端都是样本方差,而总体方差已知,所以两边相除所得随机变量服从F分布.讲评扩展四、作业布置总习题六：A组2、3；B组2、4、5上页下页返回上页下页返回参考文献与联系方式[1]郑一,王玉敏,冯宝成.概率论与数理统计.大连理工大学出版社，2015年8月.[2]郑一,戚云松,王玉敏.概率论与数理统计学习指导书.大连理工大学出版社，2015年8月.[3]郑一,戚云松,陈倩华,陈健.概率论与数理统计教案作业与试卷.大连理工大学出版社，2015年8月.[4]王玉敏,郑一,林强.概率论与数理统计教学实验教材.中国科学技术出版社，2007年7月.联系方式：[e-mail]