磁场边界条件

在实际工程中，往往要遇到由不同的媒质组成的电磁系统。在不同媒质分界面上，由于媒质的特性发生了突变，相应的场量一般也将发生突变。在这一节中，我们将研究电磁场在两种媒质分界面上的变化规律。决定分界面两侧电磁场变化关系的方程称为边界条件。研究边界条件的出发点，仍然是麦克斯韦方程组。但在不同媒质的交界面处，由于媒质不均匀，媒质的性质发生了突变，因此，微分形式的方程不再适用，只能从麦克斯韦方程组的积分形式出发，推导边界条件。3.5.1电场法向分量的边界条件如图3.9所示的两种媒质的分界面，第一种媒质的介电常数、磁导率和电导率分别为，和，第二种媒质的介电常数、磁导率和电导率分别为，和。在这两种媒质分界面上取一个小的柱形闭合面，如图3.9所示，其高为无限小量，上下底面与分界面平行，并分别在分界面两侧，且底面积非常小，可以认为在上的电位移矢量和面电荷密度是均匀的。，分别为上下底面的外法线单位矢量，在柱形闭合面上应用电场的高斯定律故(3.48a)若规定为从媒质Ⅱ指向媒质Ⅰ为正方向，则，，式(3.48a)可写为(3.48b)或(3.48c)式(3.48)称为电场法向分量的边界条件。因为，所以式(3.48)可以用的法向分量表示(3.49a)或(3.49b)若两种媒质均为理想介质时，除非特意放置，一般在分界面上不存在自由面电荷，即，所以电场法向分量的边界条件变为(3.50a)或(3.50b)若媒质Ⅰ为理想介质，媒质Ⅱ为理想导体时，导体内部电场为零，即，，在导体表面存在自由面电荷密度，则式(3.48)变为(3.51a)或(3.51b)3.5.2电场切向分量的边界条件在两种媒质分界面上取一小的矩形闭合回路abcd，如图3.10所示，该回路短边为无限小量，其两个长边为，且平行于分界面，并分别在分界面两侧。在此回路上应用法拉第电磁感应定律因为和故(3.52a)若为从媒质Ⅱ指向媒质Ⅰ为正方向，式(3.52a)可写为(3.52b)式(3.52)称为电场切向分量的边界条件。该式表明，在分界面上电场强度的切向分量总是连续的。用表示式(3.52a)得(3.53)若媒质Ⅱ为理想导体时，由于理想导体内部不存在电场，故与导体相邻的媒质Ⅰ中电场强度的切向分量必然为零。即(3.54)因此，理想导体表面上的电场总是垂直于导体表面，对于时变场，理想导体内部不存在电场，因此理想导体的切向电场总为零，即电场也总是垂直于理想导体表面。3.5.3标量电位的边界条件在两种媒质分界面上取两点，分别为A和B，如图3.11所示。A，B分别位于分界面两侧，且无限靠近，两点的连线，且与分界面法线平行，从标量电位的物理意义出发，得由于和为有限值，而所以由上式可知，即或(3.55)式中S为两种媒质分界面。该式表明在两种媒质分界面处，标量电位是连续的。标量电位在分界面上的边界条件在静电场求解问题中是非常有用的。考虑到电位与电场强度的关系：，由电场的法向分量边界条件式(3.49b)得(3.56)式(3.56)称为静电场中标量电位的边界条件。若两种媒质均为理想介质时，在分界面上无自由电荷，标量电位的边界条件为(3.57)若在理想导体表面上，标量电位的边界条件为（常数）(3.58a)(3.58b)式中为导体表面外法线方向。3.5.4磁场法向分量的边界条件在两种媒质分界面处作一小柱形闭合面，如图3.12所示，其高度，上下底面位于分界面两侧且与分界面平行，底面积很小，为从媒质Ⅱ指向媒质Ⅰ法线方向矢量，在该闭合面上应用磁场的高斯定律则(3.59a)或(3.59b)式(3.59)为磁场法向分量的边界条件。该式表明：磁感应强度的法向分量在分界面处是连续的。因为，所以式(3.59b)也可以用的法向分量表示(3.60)若媒质Ⅱ为理想导体时，由于理想导体中的磁感应强度为零，故(3.61)因此，理想导体表面上只有切向磁场，没有法向磁场。3.5.5磁场切向分量的边界条件在两种媒质分界面处作一小矩形闭合环路，如图3.13所示。环路短边，两长边分别位于分界面两侧，且平行于分界面。在此环路上应用安培环路定律，即穿过闭合回路中的总电流为式中为分界面上面电流密度，，分别为两种媒质中的传导电流体密度，和分别为两种媒质中的位移电流密度。因为，除外，回路中的其他电流成分均趋向零，即，于是(3.62a)式中方向与所取环路方向满足右手螺旋法则。用矢量关系，式(3.62a)可表示为(3.62b)式(3.62)为磁场切向分量的边界条件。式中为从媒质Ⅱ指向媒质Ⅰ的法线单位矢量。用表示式(3.62a)得(3.63)若两种媒质为理想介质，分界面上面电流密度，则磁场切向分量边界条件为(3.64a)或(3.64b)由式(3.59b)和式(3.64b)可得若媒质Ⅱ为高磁导率材料，当小于时，将非常小。换句话说，在铁磁质表面上磁力线近乎垂直于界面。当时，，即在理想铁磁质表面上只有法向磁场，没有切向磁场。(3.65)若媒质之一为理想导体，电流存在于理想导体表面上，因理想导体内没有磁场，理想导体表面切向磁场为(3.66a)或(3.66b)若媒质的电导率有限，即媒质中有电流通过，其电流只是以体电流分布的形式存在，在分界面上没有面电流分布，即，则分界面上磁场切向分量是连续的，即。3.5.6矢量磁位的边界条件根据矢量磁位所满足的旋度和散度表示式，及磁场的基本方程，可推导出的法向分量和切向分量在两种媒质分界面处是连续的，所以矢量在分界面处也应是连续的，即(3.67)由式(3.63)可得(3.68)3.5.7标量磁位的边界条件在无源区域，即无电流区域，安培环路定律的积分和微分形式为(3.69)(3.70)根据矢量运算，由式(3.70)可引入一标量函数，令(3.71)该标量函数称为标量磁位，其单位是安培(A)。式(3.71)中的负号是为了与静电场中相对应而引入的。引入标量磁位的概念完全是为了在某些情况下使磁场的计算简化，并无实际的物理意义。类似于电位差的计算，a点和b点的磁位差为(3.72)根据标量磁位定义和磁场的边界条件可得(3.73a)(3.73b)式(3.73)为标量磁位的边界条件。3.5.8电流密度的边界条件在两种导电媒质分界面处作一小柱形闭合面。如图3.14所示，其高度，上下底面位于分界面两侧，且与分界面平行，底面面积很小。为从媒质Ⅱ指向媒质Ⅰ法线方向矢量。根据电流连续性方程(3.74)在图3.14所示的闭合曲面上，(3.75)(3.76)式中为闭合曲面包围的总电荷,当时，有(3.77)将式(3.77)代入式(3.76)得(3.78)将式(3.75)和式(3.78)代入式(3.74)中得(3.79a)或(3.79b)根据导电媒质中的物态方程，又已知在分界面处电场切向分量连续，即，所以电流密度的切向分量满足(3.80a)或(3.80b)式(3.79)和式(3.80)为电流密度满足的边界条件，对静态场和时变场均适用。在这一节中，我们详细讨论了电磁场中各参量的边界条件，为明晰起见，归纳如下。标量形式矢量形式在应用这些边界条件时，必须牢记下列性质：(1)在理想导体（）内部的电磁场为零，理想导体表面存在和。(2)在导电媒质（）内部的电磁场不为零，分界面上存在，但为零。(3)在理想介质（）内部的电磁场不为零，分界面上为零，如果不是特意放置，也为零。