考研数字信号处理复习要点

数字信号处理复习要点数字信号处理主要包括如下几个部分1、离散时间信号与系统的基本理论、信号的频谱分析2、离散傅立叶变换、快速傅立叶变换3、数字滤波器的设计一、离散时间信号与系统的基本理论、信号的频谱分析1、离散时间信号：1）离散时间信号。时间是离散变量的信号，即独立变量时间被量化了。信号的幅值可以是连续数值，也可以是离散数值。2）数字信号。时间和幅值都离散化的信号。（本课程主要讲解的实际上是离散时间信号的处理）3）离散时间信号可用序列来描述4）序列的卷积和（线性卷积）mnhnxmnhmxny)(*)()()()(5）几种常用序列a)单位抽样序列（也称单位冲激序列）)(n,0,00,1)(nnnb)单位阶跃序列)(nu,0,00,1)(nnnuc)矩形序列，其它nNnnRN,010,1)(d)实指数序列,)()(nuanxn6）序列的周期性所有n存在一个最小的正整数N,满足：)()(Nnxnx,则称序列)(nx是周期序列，周期为N。(注意：按此定义，模拟信号是周期信号，采用后的离散信号未必是周期的)7）时域抽样定理：一个限带模拟信号()axt，若其频谱的最高频率为0F，对它进行等间隔抽样而得()xn，抽样周期为T，或抽样频率为1/sFT；只有在抽样频率02sFF时，才可由()axt准确恢复()xn。2、离散时间信号的频域表示（信号的傅立叶变换）nnjenxjX)()(，((2))()XjXjdejXnxnj)(21)(3、序列的Z变换nnznxnxzX)()]([)(Z1）Z变换与傅立叶变换的关系，jezzXjX)()(2）Z变换的收敛域收敛区域要依据序列的性质而定。同时，也只有Z变换的收敛区域确定之后，才能由Z变换唯一地确定序列。一般来来说，序列的Z变换的收敛域在Z平面上的一环状区域：xxRzR||3）有限长序列：其它021NnNnxnx)()(，||z0右序列：1()()0xnNnxn其它，|Z|Rx-左序列：2()()0xnnNxn其它，（|z|Rx+，N20时：0≤|Z|Rx+；N2≤0时：0|Z|Rx+）双边序列：(),xnn，xxRzR||常用序列的Z变换：111[()]1,||01[()],||111[()],||||11[(1)],||||1nnZnzZunzzZaunzaazZbunzbbz逆变换11()()2ncxnXzzdzjx，C：收敛域内绕原点逆时针的一条闭合曲线1）留数定理：1()[()C]nxnXzz在内极点留数之和2）留数辅助定理：1()[()C]nxnXzz在外极点留数之和3）利用部分分式展开：1()1kkAXzaz，然后利用定义域及常用序列的Z变换求解。4、离散时间系统：[()]()Txnyn系统函数：()()()YjHjXj，()()()YzHzXz冲激响应：()[()]hnTn5、线性系统：满足叠加原理的系统。[()()][()][()]TaxnbynaTxnbTyn6、移不变系统：若[()]()TxnYn，则[()]()TxnkYnk7、线性移不变系统可由冲激响应来描述（系统的输出相应是输入与单位冲激响应的线性卷积）()()*()ynxnhn，()()()YjXjHj，()()()YzXzHz8、系统的频率特性可由其零点及极点确定NkNkMiMiNkkMiiNkkkMiiizzzzzzAzzzzAzazbzX1111110011)()()()()(（式中，zk是极点，zi是零点；在极点处，序列x(n)的Z变换是不收敛的，因此收敛区域内不应包括极点。）9、稳定系统：有界的输入产生的输出也有界的系统，即：若|()|xn，则|()|yn线性移不变系统是稳定系统的充要条件：|()|nhn或：其系统函数H(z)的收敛域包含单位园|z|=110、因果系统：0n时刻的输出0()yn只由0n时刻之前的输入0(),xnnn决定线性移不变系统是因果系统的充要条件：()0,0hnn或：其系统函数H(z)的收敛域在某园外部：即：|z|Rx11、稳定因果系统：同时满足上述两个条件的系统。线性移不变系统是因果稳定系统的充要条件：|()|nhn，()0,0hnn或：H(z)的极点在单位园内H(z)的收敛域满足：||,1xxzRR12、差分方程线性移不变系统可用线性常系数差分方程表示（差分方程的初始条件应满足松弛条件）inxbknyaMiiNkk0013、差分方程的解法1）直接法：递推法2）经典法3）由Z变换求解二、离散傅立叶变换、快速傅立叶变换1、周期序列的离散傅立叶级数（DFS）)]([)(nxDFSkXpp210()NjknNpnxne10()NknpNnxnW()[()]ppxnIDFSXk211NjknNPKOXkeN11NknPNKOXkWN其中：NW=Nje/22、有限长序列的离散傅立叶变换(DFT))]([)(nxDFTkX{[()]}()NNDFSxnRk10()NknNnxnW，0≤k≤1N()[()]xnIDFTXk{[()]}()NNIDFSXkRn101()NknNkXkWN，0≤n≤1N应当注意，虽然)(nx和()Xk都是长度为N得有限长序列，但他们分别是由周期序列)(nxp和)(kXp截取其主周期得到的，本质上是做DFS或IDFS，所以不能忘记它们的隐含周期性。尤其是涉及其位移特性时更要注意。3、离散傅立叶变换与Z变换的关系22()()|()|jkNkzeNXkXjXz4、频域抽样定理对有限长序列x(n)的Z变换X(z)在单位圆上等间隔抽样，抽样点数为N，或抽样间隔为2/N，当N≥M时，才可由X(k)不失真恢复()Xj。内插公式：1101()()1NNkkNzXkXzNWz5、周期卷积、循环卷积周期卷积：13120()()()Npppmxnxmxnm循环卷积：31()()xnxn2()xn13120()()()()()NpNppNmxnRnxmxnmRn6、用周期（周期）卷积计算有限长序列的线性卷积对周期要求：121NNN（N1、N2分别为两个序列的长度）7、基2FFT算法1）数据要求：2MN2）计算效率（乘法运算次数：12NM，加法计算次数：NM）（复数运算）（DFT运算：乘法运算次数：2N，加法计算次数：2N）（复数运算）8、快速卷积（采用FFT计算）9、分辨率三、数字滤波器的设计（一）FIR滤波器的设计1、特点：可实现严格的线性相位特性、系统是稳定的、因果的、阶数较高2、实现线性相位的条件（1）h(n)为实数（2）h(n)=h(N-1-n)做一般意义下的FIR滤波器，N是偶数，不适合做高通滤波器或h(n)=-h(N-1-n)对称中心：(N-1)/2适于做希尔伯特变换器，微分器和正交网络。3、主要设计方法1）窗函数法2）频率抽样设计频率抽样内插公式设计。特点：频率特性可直接控制。若滤波器是窄带的，则能够简化系统若无过渡带样本，则起伏较大。改进办法是增加过渡带样本，采用过渡带的自由变量法，通常使用优化方法求解。可得到较好的起伏特性，但是会导致过渡带宽度加大，改进办法是增加抽样点数。抽样点的获得采取两种办法：I型抽样及II型抽样。若要满足线性相位特性，则相位要满足一定要求。（二）IIR滤波器的设计1、特点•阶数少、运算次数及存储单元都较少•适合应用于要求相位特性不严格的场合。•有现成的模拟滤波器可以利用，设计方法比较成熟。•是递归系统，存在稳定性问题。2、主要设计方法先设计模拟滤波器，然后转换成数字滤波器。设计过程：1）先设计模拟低通滤波器()aHs：butterworth滤波器设计法等，有封闭公式利用2）将模拟原型滤波器变换成数字滤波器（1）模拟低通原型先转换成数字低通原型，然后再用变量代换变换成所需的数字滤波器；模拟低通原型先转换成数字低通原型：()()aLLHsHz，主要有冲激不变法、阶跃不变法、双线性变换法等。将数字低通原型滤波器通过变量代换变换成所需的数字滤波器。()()LDHzHZ，11()zGZ（2）由模拟原型变成所需型式的模拟滤波器，然后再把它转换成数字滤波器；将模拟低通原型滤波器通过变量代换变换成所需的模拟滤波器。()(1)aLaDHsHS，(1)sFS模拟滤波器转换成数字数字滤波器：()()aDDHsHz，主要有冲激不变法、阶跃不变法、双线性变换法等（3）由模拟原型直接转换成所需的数字滤波器直接建立变换公式：()()aLDHsHz，1()sGz3、模拟数字转换法（1）冲激不变法1()[()]|atnTHzZLHs单阶极点情况'1()NkakkAHsss11()1NkkkAHzpz，'kkAA，ksTkpe（2）阶跃不变法11()[()/]|atnTzHzZLHssz冲激不变法和阶跃不变法的特点：•有混叠失真•只适于限带滤波器•不适合高通或带阻数字滤波器的设计（3）双线性变换法1111zsCz常数C的计算：1）cot()2ccC2）C=2/T特点：(i)稳定性不变（ii）无混叠（iii）频率非线性变换，会产生畸变，设计时，频率要做预畸变处理4、直接法设计IIR数字滤波器•z平面的简单零极点法