考研数学多项式长除的方法与应用

多项式长除法及其应用多项式长除是数学计算和证明中经常用到的一种计算方法，由于在中学和大学的课本中都没有提到过（也许是写书的人认为太简单，所以略过了），所以很多人没有听说过这种方法。实际上在很多题型中使用这种方法都能使计算简单、题意明朗。在这篇文章中我把这种方法和在复习中遇到的各种可以应用这种方法的题型分享给大家，算是“羊年大吉”对okhere的一点点回报吧。一、多项式长除法简单的说，多项式长除就是式子与式子做除法，举一个最简单的例子：321(1)(1)xxxx，这个式子我们早在初中就已经熟识了。当时我们称之为因式分解。如果把这个式子用另一种形式来表示：32111xxxx，这时就可以称之为多项式的除法。那么等号右边的式子是怎样除得的呢。请看下面的过程：(1)233220000000001011xxxxxx233222000000000000000000000(2)1111xxxxxxxxxx2332220000000000000000000000001(3)11111000000000000xxxxxxxxxxx大家会发现这跟数与数的除法是很相似的。需要注意的是被除式和除式都要按一定次序排列（降幂或升幂）。这里暂不对上面的过程做太多说明。在后面的例题中，每设计到多项式的除法，都会给出过程，以便大家能够真正的理解这种方法。二、方法的应用多项式长除在很多题型中都能应用。例如积分、求导、求解微分方程、线形代数中的求逆等。下面针对不同的题型各举一些例题。1、有理函数积分中的应用：举一个例子：321xdxxx(此题是一位网友发的帖)解：设6xt,则原式=26(1)61ttdtt做到这里，有两种方法可以处理：（1）将61t因式分解：61t=3323(1)(1)(1)(1)(1)tttttt这时就得到了t+1这个式子，可以同分子约去，剩余的部分乘开直接积分。（2）多项式长除法：这种方法可以直接计算多项式的除法，不需要任何的技巧，只要你会加、减、乘、除就够了，过程如下：（a）先把分子、分母按降幂排好序；（b）以最高次幂为准，依次试商。例如分母的最高次幂是8，分子的最高次幂是1，此时就应当试商7t；（c）依次试商，直到余数的最高次幂小于分子的最高次幂。此题恰好能除尽。7654328287727662655254424332320000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000010ttttttttttttttttttttttttttttttt0所以26(1)1ttt=765432tttttt。然后直接积分求得结果。计算式子虽然看起来有些长，但实际上计算起来是很简单的。做题时可以依据个人的习惯，如果始终认为这种方法不如头一种方法简单，那么就用头一种方法。我只是为大家提供一种新的解题思路。再举一个不能除尽的例子：3dxxx（此题摘自03年陈文灯辅导书P82例3.18（1））解：设6xt，则原式=361tdtt2332220000000000000000000000000000001111ttttttttttt这道题是除不尽的，根据上面的过程32(1)(1)1tttt所以原式=21(1)1ttdtt,后略。2、在求高阶导数中的应用在上面的例题中大家可能会认为这种方法可会可不会。那么看完下面这道题也许你就不会这么认为了。例：()arctanfxx，求()(0)nf。（此题摘自03年陈文灯辅导书P61例2.29）解：''0'21()(arctan)1yfxxx246222244466680000000000000000000000000000001111xxxxxxxxxxxxxx……………所以'2462()1....(1)...nnfxxxxx这个式子如果不会多项式除法，单凭想是比较困难的。那么3521111()...(1)...3521nnfxxxxxn后面的计算就比较简单了，略。在这里需要注意的一点是：除式是按升幂排序的。那么到底什么时候升幂，什么时候降幂呢？这要具体情况具体分析。这道题如果要按降幂排列，求得的商中就都是分式，而题目中给的是求33212117()9927xxyxcecexxxc时的n阶导数，很显然这样做是没意义的。3、在求解微分方程中的应用：曾经有很多老师认为解微分方程在高等数学中算是比较简单的一部分，因为只要你把公式背下来，再多做些题，基本上这部分就没有问题了。但是也许大家都注意到了，二阶以上线性微分方程的公式是很烦琐的。在论坛上也经常遇到网友诉苦，认为这部分的题解起来很繁，询问有没有更简单、快捷的方法。实际上在陈文灯的书中就介绍了一种很好的方法——微分算子法。这种方法很神奇，神奇到了有人怀疑它存在的真实性，说“陈文灯是在虚张声势”。其实面对这种方法我们曾经最大的障碍就是不会多项式的长除法，因此看不懂书上的关键步骤。在这里不对算子法过多的叙述，只举一些例题说明多项式长除在解微分算子法中的应用。算子法具体怎么用，大家可以参阅陈文灯的辅导书（常微分方程部分——高阶线性微分方程）。算子法中D表示求导，1D表示积分。这样一来所有的微分方程就可以表示成D乘y的形式例如：(3)(2)'22321yyyxx，就可以表示成：322(23)21DDDyxx想求y只需要把D的多项式除到右边计算就可以了。但此时求的y是特解，不是通解，与齐次解合并就是原方程的通解。例：(3)(2)'22321yyyxx（此题摘自03年陈文灯辅导书P1706.16（3））解：特征方程为：321232300,1,3对应齐次方程通解为：3123()xxyxccece非齐次方程特解为：*2321()(21)23yxxxDDD2211(21)23xxDDD用多项式除法求2123DD，过程如下：22222323234341273927321211332133242399729970000000000000000000000000000000001479272720727270000000DDDDDDDDDDDDDDDDDD所以*2321()(21)23yxxxDDD2211(21)23xxDDD221127()(21)3927DDxxD2127()(21)3927DxxD3211720992727xxx所以33212117()9927xxyxcecexxxc这种方法最大的优点就是几乎不用记公式，计算也不是很烦。