考研数学线性代数概念性质定理公式整理3

13√初等矩阵的性质：(,)Eij1[()]Eikk[,()]Eijk1(,)(,)TEijEij[()][()]TEikEik[,()][,()]TEijkEjik1(,)(,)EijEij11[()][()]kEikEi1[,()][,()]EijkEijk*(,)(,)EijEij*1[()][()]kEikkEi*[,()][,()]EijkEijk√设1110()mmmmfxaxaxaxa，对n阶矩阵A规定：1110()mmmmfAaAaAaAaE为A的一个多项式.√1231122,TAmmkkAabaAbEAAAAAA是的特征值则:分别有特征值.√1231122,AmmkkAabaAbEAxAxAAA是关于的特征向量则也是关于的特征向量.√2,mAA的特征向量不一定是A的特征向量.√A与TA有相同的特征值，但特征向量不一定相同.A与B相似1PAPB（P为可逆矩阵）记为：AB14A与B正交相似1PAPB（P为正交矩阵）A可以相似对角化A与对角阵相似.记为：A（称是A的相似标准形）√A可相似对角化()iinrEAkik为i的重数A恰有n个线性无关的特征向量.这时,P为A的特征向量拼成的矩阵，1PAP为对角阵,主对角线上的元素为A的特征值.设i为对应于i的线性无关的特征向量,则有：121212112212(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)nnnnnnPPAAAA.○注：当i0为A的重的特征值时，A可相似对角化i的重数()nrAAx基础解系的个数.√若n阶矩阵A有n个互异的特征值A可相似对角化.√若A可相似对角化,则其非零特征值的个数（重根重复计算）()rA.√若AkA=1kPP，1211()()()()()ngggAPgPPPg√相似矩阵的性质：①EAEB,从而,AB有相同的特征值,但特征向量不一定相同.○注x是A关于0的特征向量,1Px是B关于0的特征向量.②ABtrtr③AB从而,AB同时可逆或不可逆④()()rArB⑤TTAB；11AB（若,AB均可逆）；**AB⑥kkAB（k为整数）；()()fAfB，()()fAfB15⑦,ABABCDCD○注前四个都是必要条件.√数量矩阵只与自己相似.√实对称矩阵的性质：①特征值全是实数,特征向量是实向量；②不同特征值对应的特征向量必定正交；○注：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；③一定有n个线性无关的特征向量.若A有重的特征值,该特征值i的重数=()inrEA；④必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形；⑤与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形；⑥两个实对称矩阵相似有相同的特征值.正交矩阵TAAE√A为正交矩阵A的n个行（列）向量构成n的一组标准正交基.√正交矩阵的性质：①1TAA；②TTAAAAE；③正交阵的行列式等于1或-1；④A是正交阵,则TA，1A也是正交阵；⑤两个正交阵之积仍是正交阵；⑥A的行（列）向量都是单位正交向量组.二次型1211(,,,)nnTnijijijfxxxxAxaxxijjiaa，即A为对称矩阵，12(,,,)TnxxxxA与B合同TCACB.记作：AB（,,ABC为实对称矩阵为可逆矩阵）16正惯性指数二次型的规范形中正项项数p负惯性指数二次型的规范形中负项项数rp符号差2pr(r为二次型的秩)√两个矩阵合同它们有相同的正负惯性指数他们的秩与正惯性指数分别相等.√两个矩阵合同的充分条件是：AB√两个矩阵合同的必要条件是：()()rArB√12(,,,)TnfxxxxAx经过正交变换合同变换可逆线性变换xCy化为21niifdy标准形.√二次型的标准形不是唯一的,与所作的正交变换有关,但非零系数的个数是由()rA正惯性指数负惯性指数唯一确定的.√当标准形中的系数id为-1或0或1时,称为二次型的规范形.√实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数.√惯性定理：任一实对称矩阵A与唯一对角阵111100合同.√用正交变换化二次型为标准形:①求出A的特征值、特征向量；②对n个特征向量正交规范化；③构造C（正交矩阵）,作变换xCy,则1112221()()TTTTTnnnydyydyCyACyyCACYyCACYydy新的二次型为21niifdy,17的主对角上的元素id即为A的特征值.施密特正交规范化123,,线性无关,112122111313233121122(,)(,)(,)(,)(,)(,)正交化单位化：111222333技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。让第二个解向量先与第一个解向量正交，再把第二个解向量代入方程，确定其自由变量.例如：123xxx0取1110，2112.正定二次型12,,,nxxx不全为零，12(,,,)nfxxx0.正定矩阵正定二次型对应的矩阵.√()TfxxAx为正定二次型（之一成立）：①x，TxAx0；②A的特征值全大于0；③f的正惯性指数为n；④A的所有顺序主子式全大于0；⑤A与E合同，即存在可逆矩阵C使得TCACE；⑥存在可逆矩阵P，使得TAPP；⑦存在正交矩阵C，使得121TnCACCAC（i大于0）.√合同变换不改变二次型的正定性.√A为正定矩阵iia0；0A.18√A为正定矩阵1,,TAAA也是正定矩阵.√A与B合同，若A为正定矩阵B为正定矩阵√,AB为正定矩阵AB为正定矩阵，但,ABBA不一定为正定矩阵.