考研数学二阶微分方程讲义(卓越资料)

卓越考研内部资料（绝密）卓而优越则成卓越考研教研组汇编卓越考研卓而优越则成1§4．2二阶微分方程A基本内容一、线性微分方程解的性质与结构我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。二阶齐次线性方程0yxqyxpy（1）二阶非齐次线性方程xfyxqyxpy（2）1、若xy1，xy2为(1)的两个特解，则它们的线性组合xyCxyC2211(12,CC为任意常数)仍为同方程的解，特别地，当xyxy21（为常数），也即xy1与xy2线性无关时，则方程的通解为xyCxyCy22112、若xy1，xy2为(2)的两个特解，则xyxy21为对应的二阶齐次线性方程的一个特解。3、若xy为(2)一个特解，xy为(1)的任意特解，则xyxy为(2)的一个特解。4、若y(2)的一个特解，而xyCxyC2211为(1)的通解（1C，2C为独立的任意常数）则xyCxyCxyy2211是(2)的通解。5、设xy1与xy2分别是xfyxqyxpy1与xfyxqyxpy2的特解，则xyxy21是xfxfyxqyxpy21的特解。二、二阶常系数齐次线性方程1、方程形式0qyypy其中p，q为常数，2、解法特征方程02qp特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式（1）当042qp，特征方程有两个不同的实根1，2则方程的通解为xxeCeCy2121（2）当042qp，特征方程有二重根21则方程的通解为xexCCy121卓越考研卓而优越则成2（3）当042qp，特征方程有共轭复根i，则方程的通解为xCxCeyxsincos21三、二阶常系数非齐次线性方程1、方程形式：xfqyypy其中qp,为常数通解：xyCxyCyy2211其中xyCxyC2211为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨论。所以关键要讨论二阶常系数非齐次线性方程的一个特解y如何求。我们根据xf的形式，先确定特解y的形式，其中包含一些待定的系数，然后代入方程确定这些系数就得到特解y，常见的xf的形式和相对应地y的形式如下：1、xPxfn，其中xPn为n次多项式（1）若0不是特征根，则令nnnnnaxaxaxaxRy1110其中niai,,2,1,0为待定系数。（2）若0是特征方程的单根，则令xxRyn（3）若0是特征方程的重根，则令xRxyn22、xnexPxf其中xPn为n次多项式，为实常数（1）若不是特征根，则令xnexRy（2）若是特征方程单根，则令xnexxRy（3）若是特征方程的重根，则令xnexRxy23、xexPxfxnsin或xexPxfxncos其中xPn为n次多项式，,皆为实常数（1）若i不是特征根，则令xxTxxReynnxsincos其中nnnnnaxaxaxaxR1110niai,,1,0为待定系数卓越考研卓而优越则成3nnnnnbxbxbxbxT1110nibi,,1,0为待定系数（2）若i是特征根，则令xxTxxRxeynnxsincos四、差分方程考试要求一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程的一般形式为1()ttyayft(1)其中()ft为已知函数，a为非零常数．当()0ft时，方程(1)变为10ttyay，(2)我们称（1）为一阶常系数非齐次线性差分方程，称(2)为其对应的一阶常系数齐次线性差分方程．1齐次差分方程的通解通过迭代，并由数学归纳法可得（2）的通解为()(),tCytCa这里C为任意常数。2非齐次差分方程的解的性质(1)若y是非齐次差分方程（1）的一个特解，()Cyt是齐次差分方程（2）的通解，则非齐次差分方程（1）的通解为()tCtyyty．(2)若ty与ty分别是差分方程11()ttyayft和12()ttyayft的解，则ty+ty是差分方程11()ttyayft+2()ft的解．非齐次差分方程(1)的特解ty形式的设定如下表：B典型例题一、常系数齐次线性微分方程例1、求下列微分方程的通解。（1）067yyy（2）096yyy卓越考研卓而优越则成4（3）0136yyy（4）0244yyyy解：（1）特征方程0672，即061特征根11，62微分方程通解xxeCeCy621（2）特征方程0962，即032特征根3二重根微分方程通解xexCCy321（3）特征方程01362特征根23微分方程通解xCxCeyx2sin2cos213（4）特征方程024423即0212特征根11二重根，22微分方程通解xxeCexCCy2321例2、设方程043yyy，求满足00xy，50xy的特解。二、二阶常系数非齐次线性微分方程例1．求微分方程xexyyy132的一个特解。答案312114xxxyCeCexe例2、求微分方程xxeyyy265的通解。答案：232212122xxxycecexxe例3、求xeyyy244的通解。答案：xxxexxececy2222212卓越考研卓而优越则成5例4、求方程12232xxyyy的通解。答案：413252221xxeCeCyxx例5、求xeyyy232的通解。答案：xxxxeeCeCy21231例6、求方程xyyy2cos22的通解。答案：xxeCeCyxx2sin1012cos103221例7、求微分方程xyysin的通解。答案：xxeCCyxsincos2121。三、差分方程例、差分方程121050ttyyt的通解为________________．