离散型随机变量的方差教案

2．3．2离散型随机变量的方差一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量奎屯王新敞新疆随机变量常用希腊字母ξ、η等表示奎屯王新敞新疆2.离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量奎屯王新敞新疆3．连续型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量奎屯王新敞新疆4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出奎屯王新敞新疆5.分布列:ξx1x2…xi…PP1P2…Pi…6.分布列的两个性质：⑴Pi≥0，i＝1，2，…；⑵P1+P2+…=1．7.二项分布:ξ～B(n，p)，并记knkknqpC＝b(k；n，p)．ξ01…k…nPnnqpC00111nnqpC…knkknqpC…0qpCnnn8.几何分布：g(k，p)=1kqp，其中k＝0,1,2,…，pq1．ξ123…k…Pppq2qp…1kqp…9.数学期望:一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为ξx1x2…xn…Pp1p2…pn…则称E11px22px…nnpx…为ξ的数学期望，简称期望．10.数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平奎屯王新敞新疆11平均数、均值:在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令1p2p…np，则有1p2p…npn1，E1(x2x…nxn1)，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值奎屯王新敞新疆12.期望的一个性质:baEbaE)(13.若ξB（n,p），则Eξ=np奎屯王新敞新疆二、讲解新课：1.方差:对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x，2x，…，nx，…，且取这些值的概率分别是1p，2p，…，np，…，那么,D＝121)(pEx＋222)(pEx＋…＋nnpEx2)(＋…称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的E是随机变量ξ的期望．2.标准差:D的算术平方根D叫做随机变量ξ的标准差，记作．3.方差的性质：（1）DabaD2)(；（2）22)(EED；（3）若ξ～B(n，p)，则Dnp(1-p)奎屯王新敞新疆4.其它：⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛奎屯王新敞新疆三、讲解范例：例1．随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差.解：抛掷散子所得点数X的分布列为ξ123456P161616161616从而1111111234563.5666666EX;2222221111(13.5)(23.5)(33.5)(43.5)666611(53.5)(63.5)2.9266DX1.71XDX.例2．有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：甲单位不同职位月工资X1/元1200140016001800获得相应职位的概率P10.40.30.20.1乙单位不同职位月工资X2/元1000140018002000获得相应职位的概率P20.40.30.20.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得EX1=1200×0.4+1400×0.3+1600×0.2+1800×0.1=1400,DX1=(1200-1400)2×0.4+(1400-1400)2×0.3+(1600-1400)2×0.2+(1800-1400)2×0.1=40000;EX2＝1000×0.4+1400×0.3+1800×0.2+2200×0.1=1400,DX2=(1000-1400)2×0.4+(1400-1400)×0.3+(1800-1400)2×0.2+(2200-1400)2×0.l=160000.因为EX1=EX2,DX1DX2，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位．例3．设随机变量ξ的分布列为ξ12…nPn1n1…n1求Dξ奎屯王新敞新疆解：（略）12nE,2n-1D12奎屯王新敞新疆例4．已知离散型随机变量1的概率分布为11234567P71717171717171离散型随机变量2的概率分布为23．73．83．944．14．24．3P71717171717171求这两个随机变量期望、均方差与标准差奎屯王新敞新疆解：47177127111E；471)47(71)42(71)41(2221D；211D奎屯王新敞新疆4713.4718.3717.32E；2D=0.04,2.022D.点评：本题中的1和2都以相等的概率取各个不同的值，但1的取值较为分散，2的取值较为集中．421EE，41D，04.02D，方差比较清楚地指出了2比1取值更集中．1＝2，2=0.02，可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差奎屯王新敞新疆例5．甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.4,0.2,0.24奎屯王新敞新疆用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平奎屯王新敞新疆解：180.290.6100.29E221(89)0.2(99)0.6D+（10-9）4.02.02；同理有8.0,922DE奎屯王新敞新疆由上可知，21EE，12DD奎屯王新敞新疆所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在9环左右，但甲所得环数较集中，以9环居多，而乙得环数较分散，得8、10环地次数多些．点评：本题中，1和2所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情况不同．21EE=9，这时就通过1D=0.4和2D=0.8来比较1和2的离散程度，即两名射手成绩的稳定情况奎屯王新敞新疆例6．A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：A机床B机床次品数ξ10123次品数ξ10123概率P0.70.20.060.04概率P0.80.060.040.10问哪一台机床加工质量较好奎屯王新敞新疆解：Eξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44,Eξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44.它们的期望相同，再比较它们的方差奎屯王新敞新疆Dξ1=（0-0.44）2×0.7+（1-0.44）2×0.2+（2-0.44）2×0.06+（3-0.44）2×0.04=0.6064,Dξ2=（0-0.44）2×0.8+（1-0.44）2×0.06+（2-0.44）2×0.04+（3-0.44）2×0.10=0.9264.∴Dξ1Dξ2故A机床加工较稳定、质量较好.四、课堂练习：1.已知~,,8,1.6BnpED，则,np的值分别是（）A．1000.08和；B．200.4和；C．100.2和；D．100.8和奎屯王新敞新疆答案：1.D奎屯王新敞新疆2.一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．分析：涉及次品率；抽样是否放回的问题．本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的．如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件．解：设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然ξ所有可能取的值为0，1，2，3当ξ=0时，即第一次取得正品，试验停止，则P（ξ=0）=43129当ξ=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则P（ξ=1）=449119123当ξ=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则P（ξ=2）=2209109112123当ξ=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则P（ξ=3）=220199101112123所以，Eξ=10322013220924491430奎屯王新敞新疆3.有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求Eξ，Dξ奎屯王新敞新疆分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题．由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的．解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即ξB（200，1%），从而可用公式：Eξ=np，Dξ=npq(这里q=1-p)直接进行计算奎屯王新敞新疆解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以ξB（200，1%）奎屯王新敞新疆因为Eξ=np，Dξ=npq，这里n=200，p=1%，q=99%，所以，Eξ=200×1%=2,Dξ=200×1%×99%=1.984.设事件A发生的概率为p，证明事件A在一次试验中发生次数ξ的方差不超过1/4奎屯王新敞新疆分析：这是一道纯数学问题．要求学生熟悉随机变量的期望与方差的计算方法，关键还是掌握随机变量的分布列．求出方差Dξ=P(1-P)后，我们知道Dξ是关于P(P≥0)的二次函数，这里可用配方法，也可用重要不等式证明结论奎屯王新敞新疆证明：因为ξ所有可能取的值为0，1且P（ξ=0）=1-p,P(ξ=1)=p,所以，Eξ=0×(1-p)+1×p=p奎屯王新敞新疆则Dξ=（0-p）2×(1-p)+(1-p)2×p=p(1-p)412)p1(p25.有A、B两种钢筋，从中取等量样品检查它们的抗拉强度，指标如下：ξA110120125130135ξB100115125130145P0.10.20.40.10.2P0.10.20.40.10.2其中ξA、ξB分别表示A、B两种钢筋的抗拉强度．在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较A、B两种钢筋哪一种质量较好奎屯王新敞新疆分析：两个随机变量ξA和ξB&都以相同的概率0．1，0．2，0．4，0．1，0．2取5个不同的数值．ξA取较为集中的数值110，120，125，130，135；ξB取较为分散的数值100，115，125，130，145．直观上看，猜想A种钢筋质量较好．但猜想不一定正确，需要通过计算来证明我们猜想的正确性奎屯王新敞新疆解：先比较ξA与ξB的期望值，因为EξA=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125,EξB=100×0.1+115×0.2+125×0.4十130×0.1+145×0.2=125.所以，它们的期望相同．再比较它们的方差．因为DξA=(110-125)2×0.1+(120-125)2×0.2+(130-125)2×0.1+(135-125)2×0.2=50，DξB=(100-125)2×0.1+(110-125)2×0.2+(130-125)2×0.1+(145-125)2×0.2=165.所以，DξADξB.因此，A种钢筋质量较好奎屯王新敞新疆6.在有奖摸彩中，一期(发行10000张彩票为一期)有200个奖品是5元的，2