竞赛练习(4电场和磁场)

竞赛练习4（电场和磁场）1．图中oxy是位于水平光滑桌面上的直角坐标系，在0x的一侧，存在匀强磁场，磁场方向垂直于oxy平面向里，磁感应强度的大小为B。在0x的一侧，一边长分别为1l和2l的刚性矩形超导线框位于桌面上，框内无电流，框的一对边与x轴平行。线框的质量为m，自感为L。现让超导线框沿x轴方向以初速度0v进入磁场区域，试定量地讨论线框以后可能发生的运动情况及与初速度0v大小的关系。（假定线框在运动过程中始终保持超导状态）2．如图，一固定的竖直长导线载有恒定电流I，其旁边有一正方形导线框，导线框可围绕过对边中心的竖直轴O1O2转动，转轴到长直导线的距离为b。已知导线框的边长为2a（ab），总电阻为R，自感可忽略。现使导线框绕轴以匀角速度逆时针（沿轴线从上往下看）方向转动，以导线框平面与长直导线和竖直轴所在平面重合时开始计时。求在t时刻（1）导线框中的感应电动势E；（2）所需加的外力矩M。3．用直径为1mm的超导材料制成的导线做成一个半径为5cm的圆环。圆环处于超导状态，环内电流为100A。经过一年，经检测发现，圆环内电流的变化量小于610A－。试估算该超导材料电阻率数量级的上限。提示：半径为r的圆环中通以电流I后,圆环中心的磁感应强度为02IBr,式中B、I、r各量均用国际单位，720410NA－－。4．六个相同的电阻（阻值均为R）连成一个电阻环，六个接点依次为1、2、3、4、5和6，如图复16-5-1所示。现有五个完全相同的这样的电阻环，分别称为1D、2D、┅5D。现将2D的1、3、5三点分别与1D的2、4、6三点用导线连接，如图复16-5-2所示。然后将3D的1、3、5三点分别与2D的2、4、6三点用导线连接，┅依此类推。最后将5D的1、3、5三点分别连接到4D的2、4、6三点上。1．证明全部接好后，在1D上的1、3两点间的等效电阻为724627R。2．求全部接好后，在5D上的1、3两点间的等效电阻。5．如图复16-6所示，z轴竖直向上，xy平面是一绝缘的、固定的、刚性平面。在0(,0,0)Ax处放一带电量为(0)qq的小物块，该物块与一细线相连，细线的另一端B穿过位于坐标原点O的光滑小孔，可通过它牵引小物块。现对该系统加一匀强电场，场强方向垂直与x轴，与z轴夹角为（如图复16-6所示）。设小物块和绝缘平面间的摩擦系数为tan,且静摩擦系数和滑动摩擦系数相同。不计重力作用。现通过细线来牵引小物块，使之移动。在牵引过程中，我们约定：细线的B端只准沿z轴向下缓慢移动，不得沿z轴向上移动；小物块的移动非常缓慢，在任何时刻，都可近似认为小物块处在力平衡状态。若已知小物块的移动轨迹是一条二次曲线，试求出此轨迹方程。6．如图所示，一电容器由固定在共同导电底座上的N+1片对顶双扇形薄金属板和固定在可旋转的导电对称轴上的N片对顶双扇形薄金属板组成，所有顶点共轴，轴线与所有板面垂直，两组板面各自在垂直于轴线的平面上的投影重合，板面扇形半径均为R，圆心角均为0（02）；固定金属板和可旋转的金属板相间排列，两相邻金属板之间距离均为s．此电容器的电容C值与可旋转金属板的转角有关．已知静电力常量为k．（1）开始时两组金属板在垂直于轴线的平面上的投影重合，忽略边缘效应，求可旋转金属板的转角为（00）时电容器的电容()C；（2）当电容器电容接近最大时，与电动势为E的电源接通充电（充电过程中保持可旋转金属板的转角不变），稳定后断开电源，求此时电容器极板所带电荷量和驱动可旋转金属板的力矩；（3）假设02，考虑边缘效应后，第（1）问中的()C可视为在其最大值和最小值之间光滑变化的函数maxminmaxmin11()()()cos222CCCCC式中，maxC可由第（1）问的结果估算，而minC是因边缘效应计入的，它与maxC的比值是已知的．若转轴以角速度m匀速转动，且mt，在极板间加一交流电压0cosVVt．试计算电容器在交流电压作用下能量在一个变化周期内的平均值，并给出该平均值取最大值时所对应的m．m0……sN+1片固定金属板N片可旋转金属板m7．Z-箍缩作为惯性约束核聚变的一种可能方式，近年来受到特别重视，其原理如图所示．图中，长20mm、直径为5m的钨丝组成的两个共轴的圆柱面阵列，瞬间通以超强电流，钨丝阵列在安培力的作用下以极大的加速度向内运动,即所谓自箍缩效应；钨丝的巨大动量转移到处于阵列中心的直径为毫米量级的氘氚靶球上，可以使靶球压缩后达到高温高密度状态，实现核聚变．设内圈有N根钨丝（可视为长直导线）均匀地分布在半径为r的圆周上，通有总电流7210A内I；外圈有M根钨丝，均匀地分布在半径为R的圆周上，每根钨丝所通过的电流同内圈钨丝．已知通有电流i的长直导线在距其r处产生的磁感应强度大小为mikr，式中比例常量772210Tm/A210N/Amk．（1）若不考虑外圈钨丝，计算内圈某一根通电钨丝中间长为L的一小段钨丝所受到的安培力；（2）若不考虑外圈钨丝，内圈钨丝阵列熔化后形成了圆柱面，且箍缩为半径0.25cmr的圆柱面时，求柱面上单位面积所受到的安培力，这相当于多少个大气压？（3）证明沿柱轴方向通有均匀电流的长圆柱面，圆柱面内磁场为零，即通有均匀电流外圈钨丝的存在不改变前述两小题的结果；（4）当1N时,则通有均匀电流的内圈钨丝在外圈钨丝处的磁感应强度大小为mIkR内，若要求外圈钨丝柱面每单位面积所受到的安培力大于内圈钨丝柱面每单位面积所受到的安培力，求外圈钨丝圆柱面的半径R应满足的条件；（5）由安培环路定理可得沿柱轴方向通有均匀电流的长圆柱面外的磁场等于该圆柱面上所有电流移至圆柱轴后产生的磁场，请用其他方法证明此结论.（计算中可不考虑图中支架的影响）8．磁悬浮列车是一种高速运载工具。它具有两个重要系统。一是悬浮系统，利用磁力（可由超导电磁铁提供）使车体在导轨上悬浮起来与轨道脱离接触。另一是驱动系统，在沿轨道上安装的三相绕组（线圈）中，通上三相交流电，产生随时间、空间作周期性变化的磁场，磁场与固连在车体下端的感应金属板相互作用，使车体获得牵引力。为了有助于了解磁悬浮列车的牵引力的来由，我们求解下面的问题。设有一与轨道平面垂直的磁场，磁感应强度B随时间t和空间位置x变化规律为)cos(),(0kxtBtxB式中0B、、k均为已知常量，坐标轴x与轨道平行。在任一时刻t，轨道平面上磁场沿x方向的分布是不均匀的，如图所示。图中Oxy平面代表轨道平面，“×”表示磁场的方向垂直Oxy平面指向纸里，“·”表示磁场的方向垂直Oxy平面指向纸外。规定指向纸外时B取正值。“×”和“·”的疏密程度表示沿着x轴B的大小分布。一与轨道平面平行的具有一定质量的金属矩形框MNPQ处在该磁场中，已知与轨道垂直的金属框边MN的长度为l，与轨道平行的金属框边MQ的长度为d，金属框的电阻为R，不计金属框的电感。1．试求在时刻t，当金属框的MN边位于x处时磁场作用于金属框的安培力，设此时刻金属框沿x轴正方向移动的速度为v。2.试讨论安培力的大小与金属框几何尺寸的关系。