竞赛讲义动量

第四讲动量角动量和能量§4.1动量与冲量动量定理4．1．1．动量在牛顿定律建立以前，人们为了量度物体作机械运动的“运动量”，引入了动量的概念。当时在研究碰撞和打击问题时认识到：物体的质量和速度越大，其“运动量”就越大。物体的质量和速度的乘积mv遵从一定的规律，例如，在两物体碰撞过程中，它们的改变必然是数值相等、方向相反。在这些事实基础上，人们就引用mv来量度物体的“运动量”，称之为动量。4．1．2．冲量要使原来静止的物体获得某一速度，可以用较大的力作用较短的时间或用较小的力作用较长的时间，只要力F和力作用的时间t的乘积相同，所产生的改变这个物体的速度效果就一样，在物理学中把Ft叫做冲量。4．1．3．质点动量定理由牛顿定律，容易得出它们的联系：对单个物体：01mvmvvmtmatFptF即冲量等于动量的增量，这就是质点动量定理。在应用动量定理时要注意它是矢量式，速度的变化前后的方向可以在一条直线上，也可以不在一条直线上，当不在一直线上时，可将矢量投影到某方向上，分量式为：xtxxmvmvtF0ytyymvmvtF0ztzzmvmvtF0对于多个物体组成的物体系，按照力的作用者划分成内力和外力。对各个质点用动量定理：第1个1I外+1I内=10111vmvmt第2个2I外+2I内=20222vmvmt第n个nI外+nI内=0nnntnvmvm由牛顿第三定律：1I内+2I内+……+nI内=0因此得到：1I外+2I外+……+nI外=（tvm11+tvm22+……+ntnvm）-（101vm+202vm+……0nnvm）即：质点系所有外力的冲量和等于物体系总动量的增量。§4，2角动量角动量守恒定律动量对空间某点或某轴线的矩，叫动量矩，也叫角动量。它的求法跟力矩完全一样，只要把力F换成动量P即可，故B点上的动量P对原点O的动量矩J为PrJ（OBr）以下介绍两个定理：OB（1）.角动量定理：质点对某点或某轴线的动量矩对时间的微商，等于作用在该质点上的力对比同点或同轴的力矩，即MdtdJ（M为力矩）。（2）．角动量守恒定律如果质点不受外力作用，或虽受外力作用，但诸外力对某点的合力矩为零，则对该点来讲，质点的动量矩J为一恒矢量，这个关系叫做角动量守恒定律即r×F=0，则J=r×mv=r×P=恒矢量§4.3动量守恒定律动量守恒定律是人们在长期实践的基础上建立的，首先在碰撞问题的研究中发现了它，随着实践范围的扩大，逐步认识到它具有普遍意义，对于相互作用的系统，在合外力为零的情况下，由牛顿第二定律和牛顿第三定律可得出物体的总动量保持不变。即：tvm11+tvm22+……+nnvm=2211vmvm……nnvm上式就是动量守恒定律的数学表达式。应用动量守恒定律应注意以下几点：（1）动量是矢量，相互作用的物体组成的系统的总动量是指组成物体系的所有物体的动量的矢量和，而不是代数和，在具体计算时，经常采用正交分解法，写出动量守恒定律的分量方程，这样可把矢量运算转化为代数运算，（2）在合外力为零时，尽管系统的总动量恒定不变，但组成系统的各个物体的动量却可能不断变化，系统的内力只能改变系统内物体的动量，却不能改变系统的总动量。在合外力不为零时，系统的总动量就要发生改变，但在垂直于合外力方向上系统的动量应保持不变，即合外力的分量在某一方向上为零，则系统在该方向上动量分量守恒。（3）动量守恒定律成立的条件是合外力为零，但在处理实际问题时，系统受到的合外力不为零，若内力远大于外力时，我们仍可以把它当作合外力为零进行处理，动量守恒定律成立。如遇到碰撞、爆炸等时间极短的问题时，可忽略外力的冲量，系统动量近似认为守恒。（4）动量守恒定律是由牛顿定律导出的，牛顿定律对于分子、原子等微观粒子一般不适用，而动量守恒定律却仍适用。因此，动量守恒定律是一条基本规律，它比牛顿定律具有更大的普遍性。动量守恒定律的推广由于一个质点系在不受外力的作用时，它的总动量是守恒的，所以一个质点系的内力不能改变它质心的运动状态，这个讨论包含了三层含意：（1）如果一个质点系的质心原来是不动的，那么在无外力作用的条件下，它的质心始终不动，即位置不变。（2）如果一个质点系的质心原来是运动的，那么在无外力作用的条件下，这个质点系的质心将以原来的速度做匀速直线运动。（3）如果一个质点系的质心在某一个外力作用下作某种运动，那么内力不能改变质心的这种运动。比如某一物体原来做抛体运动，如果突然炸成两块，那么这两块物体的质心仍然继续做原来的抛体运动。如果一个质量为Am的半圆形槽A原来静止在水平面上，原槽半径为R。将一个质量为Bm的滑块B由静止释放（图4-3-1），若不计一切摩擦，问A的最大位移为多少？由于A做的是较复杂的变加速运动，因此很难用牛顿定律来解。由水平方向动量守恒和机械能守恒，可知B一定能到达槽A右边的最高端，而且这一瞬间A、B相对静止。因为A、B组成的体系原来在水平方向的动量为零，所以它的质心位置应该不变，初始状态A、B的质心距离圆槽最低点的水平距离为：RmmmsBAB。所以B滑到槽A的右边最高端时，A的位移为（图4-3-2）RmmmsBAB22如果原来A、B一起以速度v向右运动，用胶水将B粘在槽A左上端，某一时刻胶水突然失效，B开始滑落，仍然忽略一切摩擦。设从B脱落到B再次与A相对静止的时间是t，那么这段时间内A运动了多少距离？B脱落后，A将开始做变加速运动，但A、B两物体的质心仍然以速度v向右运动。所以在t时间内A运动的距离为：RmmmvtLBAB2§4.4功和功率4．4．1功的概念力和力的方向上位移的乘积称为功。即cosFsW式中是力矢量F与位移矢量s之间的夹角。功是标量，AABBss图4-3-2ABR图4-3-1sF02F1F1s2s图4-4-1有正、负。外力对物体的总功或合外力对物体所做功等于各个力对物体所做功的代数和。对于变力对物体所做功，则可用求和来表示力所做功，即isiFWicos也可以用F=F（s）图象的“面积”来表示功的大小，如图4-4-1所示。由于物体运动与参照系的选择有关，因此在不同的参照系中，功的大小可以有不同的数值，但是一对作用力与反作用力做功之和与参照系的选择无关。因为作用力反作用力做功之和取决于力和相对位移，相对位移是与参照系无关的。值得注意的是，功的定义式中力F应为恒力。如F为变力中学阶段常用如下几种处理方法：（1）微元法；（2）图象法；（3）等效法。4．4．2.几种力的功下面先介绍一下“保守力”与“耗散力”。具有“做功与路径无关”这一特点的力称为保守力，如重力、弹力和万有引力都属于保守力。不具有这种特点的力称为非保守力，也叫耗散力，如摩擦力。（1）重力的功重力在地球附近一个小范围内我们认为是恒力，所以从高度1h处将重力为mg的物移到高2h处。重力做功为：)(12hhmgWc，显然与运动路径无关。（2）弹簧弹力的功物体在弹簧弹力F=-kx的作用下，从位置1x运动至位置2x，如图4-4-2（a）所示，其弹力变化F=F（x）如图4-4-2（b）所示则该过程中弹力的功W可用图中斜线“面积”表示，功大小为222112212121)(2)1(kxkxxxxkxW（3）万有引力的功质量m的质点在另一质量M的质点的作用下由相对距离1r运动至相对距离2r的过程中，引力所做功为1221)11(rGMmrGMmrrGMmW4．4．3.功率作用于物体的力在单位时间内所做功称为功率，表达式为tWP求瞬时功率，取时间0t则为coscos00vFtsFIimtWIimPtt1x2xxo)(ax2x1xoF)(b图4-4-2式中v为某时刻的瞬时速度，为此刻v与F方向的夹角§4．5动能动能定理4．5．1．质点动能定理质量m的质点以速度v运动时，它所具有动能kE为:221mvEk动能是质点动力学状态量，当质点动能发生变化时，是由于外力对质点做了功，其关系是:W外=21KKKEEE上式表明外力对质点所做功，等于质点动能的变化，这就是质点动能定理。4．5．2．质点系动能定理若质点系由n个质点组成，质点系中任一质点都会受到来自于系统以外的作用力（外力）和系统内其它质点对它作用力（内力），在质点运动时，这些力都将做功。设质点系由N个质点组成，选取适当的惯性系，对其中第i个质点用质点动能定理iW外+iW内=21222121iiiivmvm对所有n个质点的动能定理求和就有iW外+iW内=21222121iiiivmvm若用W外、W内、2KE、1KE分别表示iW外、iW内、2221iivm、2121iivm则上式可写成W外+W内=2KE-1KE由此可见，对于质点系，外力做的功与内力做的功之和等于质点系动能的增量，这就是质点系动能定理。和质点动能定理一样，质点系动能定理只适用于惯性系，但质点系动能定理中的W内一项却是和所选的参照系无关的，因为内力做的功取决于相对位移，而相对位移和所选的参照系是无关的。这一点有时在解题时十分有效。§4．6势能4．6．1势能若两质点间存在着相互作用的保守力作用，当两质点相对位置发生改变时，不管途径如何，只要相对位置的初态、终态确定，则保守力做功是确定的。存在于保守力相互作用质点之间的，由其相对位置所决定的能量称为质点的势能。规定保守力所做功等于势能变化的负值，即W保=PE。（1）势能的相对性。通常选定某一状态为系统势能的零值状态，则任何状态至零势能状态保守力所做功大小等于该状态下系统的势能值。原则上零势能状态可以任意选取，因而势能具有相对性。（2）势能是属于保守力相互作用系统的，而不是某个质点独有的。（3）只有保守力才有相应的势能，而非保守力没有与之相应的势能。4．6．2常见的几种势能（1）重力势能在地球表面附近小范围内，mg重力可视为恒力，取地面为零势能面，则h高处重物m的重力势能为mghEp（2）弹簧的弹性势能取弹簧处于原长时为弹性势能零点，当弹簧伸长（压缩）x时，弹力F=-kx，弹力做的功为221kxW由前面保守力所做功与势能变化关系可知)0(PPEEW221kxEP（3）引力势能两个质点M、m相距无穷远处，规定00PE，设m从无穷远处移近M，引力做功W，由于F引=2rMm，大小随r变化，可采用微元法分段求和方式。如图4-5-1，取质点n由A到B，位移为21rrr，引力做功rrMmW2r很小，Ar、Br差异很小，则ABBAABAArGMmrGMmrrrGMmrrrGMmW)()(22由无穷远至距r处，引力功W为)11()111(初末rrGMmririGMrWWi开始时初r，最后相对距离为末r=rrGMmW又有)Pr(EEEWPrGMmEPr质点与均匀球体间引力势能，在球体外，可认为球体质量集中于球心，所以引力势能为ABmrBrMAr图4-6-1rGMmEPr≥RR为球半径质量M，半径为R的薄球壳，由于其内部引力合力为零，故任意两点间移动质点m，引力均不做功，引力势能为恒量，所以质量m质点在薄球壳附近引力势能为PE=RrRGMmRrrGMm§4．7功能原理和机械能守恒定律4．7．1功能原理根据质点系动能定理12kkEEWW内外当质点系内有保守力作用和非保守力作用时，内力所做功又可分为非保保内而由保守力做功特点知，保守力做功等于势能增量的负值，即21PPPEEEW保于是得到1221KKPPEEEEWW非保外)()1122PKPKEEEEWW（非保外用E表示势能与动能之和，称为系统机械能，结果得到12EEWW非保外外力的功和非保守力内力所做功之和等于系统机械能的增量，这就是质点系的功能原理。可以得到（外力做正功使物体系机械能增加，而内部的非保守力作负功会使物体系的机械能减少）。功能原理适用于分析既有外力做功，又有内