第09章正弦稳态电路的分析-2

9.8串联电路的谐振谐振(resonance)是正弦电路在特定条件下所产生的一种特殊物理现象，谐振现象在无线电和电工技术中得到广泛应用，对电路中谐振现象的研究有重要的实际意义。含有R、L、C的一端口电路，在特定条件下出现端口电压、电流同相位的现象时，称电路发生了谐振。1.谐振的定义R,L,C电路UIRZIU发生谐振XRXXRωCωLRZCLj)(j)1(jIRjL+_Cωj1U2.串联谐振的条件谐振角频率(resonantangularfrequency)LCω10谐振频率(resonantfrequency)LCfπ210时，电路发生谐振。当1000CLωX谐振条件仅与电路参数有关串联电路实现谐振的方式：（1）LC不变，改变。（2）电源频率不变，改变L或C(常改变C)。0由电路本身的参数决定，一个RLC串联电路只能有一个对应的0,当外加频率等于谐振频率时，电路发生谐振。3.RLC串联电路谐振时的特点.).1(同相与IU入端阻抗Z为纯电阻，即Z=R。电路中阻抗值|Z|最小。电流I达到最大值I0=U/R(U一定)。X()|Z()|XL()XC()R0Z()OIRjL+_Cωj1U+++___RULUCU相当于短路。LCUUCL,0(2)LC上的电压大小相等，相位相反，串联总电压为零，也称电压谐振，即UUR上，电源电压全部加在电阻LUCURUIUjQRULjILjULUjQRULjCIjUCQUUUCLRCLRRLQ10特性阻抗品质因数当＝0L=1/(0C)R时，UL=UCU例某收音机L=0.3mH，R=10，为收到中央电台560kHz信号，求（1）调谐电容C值；（2）如输入电压为1.5V求谐振电流和此时的电容电压。ARUI15.0105.1)2(0pFLfC269)2(1)1(2+_LCRu解VVXIUCC5.15.1580URLQUUo0Cr(3)谐振时的功率P=UIcos＝UI＝RI02=U2/R，电源向电路输送电阻消耗的功率，电阻功率达最大。0sinCLQQUIQ2002002001,LIICωQLIωQCL电源不向电路输送无功。电感中的无功与电容中的无功大小相等，互相补偿，彼此进行能量交换。+_PQLCR(4)谐振时的能量关系tLICuwCCcos2121022m2tICLtCIuC0mo00mcos)90sin(tLILiwLsin2121022m2tUu0msin设tItRUi0m0msinsin则电场能量磁场能量（1）电感和电容能量按正弦规律变化，最大值相等WLm=WCm。L、C的电场能量和磁场能量作周期振荡性的能量交换，而不与电源进行能量交换。表明（2）总能量是常量，不随时间变化，正好等于最大值。22m2m2121LICULI总电感、电容储能的总值与品质因数的关系：耗的能量谐振时一周期内电路消总储能谐振时电路中电磁场的ππ2202020202000TRILIRILIRLQQ是反映谐振回路中电磁振荡程度的量，品质因数越大，总的能量就越大，维持一定量的振荡所消耗的能量愈小，振荡程度就越剧烈。则振荡电路的“品质”愈好。一般讲在要求发生谐振的回路中总希望尽可能提高Q值。4.RLC串联谐振电路的谐振曲线和选择性（1）阻抗的频率特性RXRXXRωCωLωCL111tgtg1tg)()(|)(|)1(jωφωZCωLωRZ222222)()1(|)(|XRXXRCLRωZCL谐振曲线物理量与频率关系的图形称谐振曲线，研究谐振曲线可以加深对谐振现象的认识。幅频特性相频特性2.电流谐振曲线幅值关系：I()与|Y()|相似。UωYCωLωRUωI|)(|)1()(22()0O–/2/2阻抗相频特性X()|Z()|XL()XC()R0Z()O阻抗幅频特性0O|Y()|I()I()U/R从电流谐振曲线看到，谐振时电流达到最大，当偏离0时，电流从最大值U/R降下来。即，串联谐振电路对不同频率的信号有不同的响应，对谐振信号最突出(表现为电流最大)，而对远离谐振频率的信号加以抑制(电流小)。这种对不同输入信号的选择能力称为“选择性”。选择性(selectivity)电流谐振曲线为了不同谐振回路之间进行比较，把电流谐振曲线的横、纵坐标分别除以0和I(0)，即000)()()()(,IηIωIωIωIηωωω通用谐振曲线2220)1(11)1(/||/)()(RCωRLωCωLωRRRUZUωIωI20020000)(11)1(11ωωQωωQωωRCωωωRLω220)1(11)(ηηQIηIQ越大，谐振曲线越尖。当稍微偏离谐振点时，曲线就急剧下降，电路对非谐振频率下的电流具有较强的抑制能力，所以选择性好。因此，Q是反映谐振电路性质的一个重要指标。Q=10Q=1Q=0.51210)(IηI0.7070'通用谐振曲线.,,707.02/1/210ηηII和对应横坐标分别为交于两点与每一谐振曲线处作一水平线在.,,12022011ωωωωηωωη12ωω称为通频带BW(BandWidth)可以证明：.112012ωωωηηQI/I0=0.707以分贝(dB)表示：20log10I/I0=20lg0.707=–3dB.所以，1，2称为3分贝频率。Q=1021I0.707I00根据声学研究，如信号功率不低于原有最大值一半，人的听觉辨别不出，这是定义通频带的实践依据。例+_LCRu10一信号源与R、L、C电路串联，要求f0=104Hz，△f=100Hz，R=15，请设计一个线性电路。解10010010400ffωQmHRQL8.391021510040pFL63601C20例一接收器的电路参数为：L=250H,R=20,C=150pF(调好),U1=U2=U3=10V,0=5.5106rad/s,f0=820kHz.+_+_+LCRu1u2u3_f(kHz)北京台中央台北京经济台L8206401026X1290–166010340–660577129010001611I0=0.5I1=0.0152I2=0.0173I=U/|Z|(A)ωC1I0=0.5I1=0.0152I2=0.0173I=U/|Z|(A)%04.301II小得多∴收到北京台820kHz的节目。8206401200I(f)f(kHz)0%46.302II（3）UL()与UC()的频率特性222222)1()1()(ηQηQUCωLωRCωUCωIωUC222222)11(1)1(||)(ηQηQUCLRLUZULLIωULUUC(Cm)QUCmLm0UL()UC()U()1UL()：当=0，UL()=0；00，UL()增大；=0，UL()=QU；0，电流开始减小，但速度不快，XL继续增大，UL仍有增大的趋势，但在某个下UL()达到最大值，然后减小。，XL，UL()=U。类似可讨论UC()。根据数学分析，当=Cm时，UC()获最大值；当=Lm时，UL()获最大值。且UC(Cm)=UL(Lm)。)2/1(Q条件是Q越高，Lm和Cm越靠近0Lm•Cm=0020m211ωQωωc0220m122ωQQωωLQUQQUωUωULLcC2mm411)()(例一接收器的电路参数为：U=10V=5103rad/s,调C使电路中的电流最大，Imax=200mA，测得电容电压为600V，求R、L、C及Q+_LCRuV解50102001030IUR6010600UUQQUUCCmHRQL60105605030FL67.61C201.G、C、L并联电路对偶：RLC串联GCL并联LCω10)1(jωCωLRZ)1(jωLωCGY9.9并联电路的谐振+_SIGCLULCω10谐振角频率RLC串联GCL并联|Z|0OR0OI()U/R0OU()IS/GLUCUUURICILISGIIU|Y|0OGRLC串联GCL并联电压谐振电流谐振UL(0)=UC(0)=QUIL(0)=IC(0)=QISLCGGLωGCωQ1100CLRRCωRLωQ1100推导过程如下：由定义得LRGCω002221π2GUTCUQCmGCf0π22.电感线圈与电容器的并联谐振实际的电感线圈总是存在电阻，因此当电感线圈与电容器并联时，电路如图：BGjLωRCωYj1j))((j)(2222LωRLωCωLωRR谐振时B=0，即0)(20200LωRLωCω20)(1LRLCωCLR（1）谐振条件此电路发生谐振是有条件的，在电路参数一定时，满足可以发生谐振时即,,0)(12CLRLRLC一般线圈电阻RL，则等效导纳为：LCω10)1(j)())((j)(22222LCLRLRLCLRRY等效电路谐振角频率GeCLRLGRee20)(1(b)电流一定时，总电压达最大值：RCLIZIU000(c)支路电流是总电流的Q倍，设RLCILI0IUCULUIICL00QRLRCLRCULUIIIICL000001)//(/00IQIIICL(a)电路发生谐振时，输入阻抗达最大值：RCLRLωRLωRRωZ2020200)()()(（2）谐振特点例如图R=10的线圈其QL=100，与电容接成并联谐振电路，如再并联上一个100k的电阻，求电路的Q.解CLR100kRLQL0100RRQLL10000等效电路CLRe100kkRLRe1001010)(620kReq50100//100501000105030LRQeq例如图RS=50k，US=100V，0=106，Q=100，谐振时线圈获取最大功率，求L、C、R及谐振时I0、U和P。解1000RLQLCLR50k－＋－＋uSi0ukRRLRSe50)(20LC10FCmHLR002.05.05mARUISS110502100230VUUS5020WIUP05.000讨论由纯电感和纯电容所构成的串并联电路：3.串并联电路的谐振(a)L1L3C2(b)L1C2C3上述电路既可以发生串联谐振(Z=0)，又可以发生并联谐振(Z=)。可通过求入端阻抗来确定串、并联谐振频率。对(a)电路，L1、C2并联，在低频时呈感性。随着频率增加，在某一角频率1下发生并联谐振。1时，并联部分呈容性，在某一角频率2下可与L3发生串联谐振。对(b)电路L1、C2并联，在低频时呈感性。在某一角频率1下可与C3发生串联谐振。1时，随着频率增加，并联部分可由感性变为容性，在某一角频率2下发生并联谐振。定量分析：(a)1)(j1jj1j)j1(jj)(2123123132121321213CLωLLωCLLωCLωLωLωCωLωCωLωLωZ当Z()=0，即分子为零，有：0)(31223132LLωCLLω(a)L1L3C2可解得：)(02舍去ω)(23131