第12章波动

259第12章波动学习指导一、基本要求1．理解机械波产生与传播的条件，理解描述波动的物理量——周期、频率、波长和波速等的物理意义及其关系，并熟悉这些量的确定。2．掌握由质点的谐振动表达式建立平面简谐波波动表达式的方法和波动表达式的物理意义。3．掌握波函数的物理意义，并会运用波形曲线分析和解决有关波动问题。4．理解波的能量、能流及能流密度等概念，了解波动能量和振动能量的特征和不同点。5．了解惠更斯原理，理解波的叠加原理，熟练掌握波的干涉原理和干涉加强、减弱的条件。6．理解驻波的概念及驻波形成的条件，能确定波腹、波节的位置，建立半波损失的概念。7．了解多普勒效应及其产生的原因，并能求解一些具体问题。8．了解电磁波的产生与传播，了解电磁波的重要性质。二、知识框架260波线、波面、波前；波动图线机械波的产生与传播描述机械波的物理量波动过程的描述波动过程的能量传播机械波的产生条件：波源、弹性介质波的分类：按介质质元振动方向与传播方向关系：横波、纵波按波面形状：平面波、球面波波长λ、波速u、周期T、频率ν、圆频率2；构成关系：uT平面简谐波表达式：cos[()]yAtxu平面波微分方程：222221tyuxy介质元的动能、势能:VuxtAEEpkd)(sin21dd222介质元的总能:VuxtAEEEpkd)(sinddd222能量密度w、平均能流密度（波强）І:)(sindd222uxtAVEw2212IwuA波在介质中传播波的干涉相干条件：频率相同、振动方向相同、相位相同或相位差恒定相位差：21212()rr干涉结果：2,1,02kk干涉加强2,1,0)12(kk干涉减弱若21，波程差12rr满足：2,1,0kk干涉加强2,1,02)12(kk干涉减弱驻波：)cos()2cos(2txAy波腹位置：2,1,02kkx波节位置：2,1,04)12(kkx多普勒效应：osuuvv惠更斯原理电磁波波动机械波解析描述几何描述261三、重点和难点1．重点（1）理解简谐波波动表达式中各物理量的意义及波动表达式的物理意义。（2）掌握波形曲线，并能熟练地建立平面简谐波的波动表达式。（3）掌握相干波叠加后，合振幅最大、最小的条件，并能根据波动的基本规律解决某些波动问题。（4）理解平面电磁波的波动表达式及电磁波的性质。2．难点（1）正确理解驻波的形成及其特点，求解波腹、波节的位置。（2）多普勒效应产生的机理及对有关问题的计算。（3）振荡偶极子的电磁场。四、基本概念及规律1．描述平面简谐波的物理量（1）波长沿波传播方向上振动相位完全相同（相位差为2）的相邻两点间的距离，称为波的波长。在空间，波向前传播了一个波长，介质中各质点的振动状态重复一次。波长是波动过程所特有的物理量，体现了波动过程在空间的周期性。（2）周期T和频率。波向前传播一个波长所需的时间为波的周期。周期的倒数即为频率，它表示单位时间内波向前传播的距离内包含的完整波的个数。波的周期和频率等于振源的周期和频率，所以，波的周期和频率由振源的状况决定，与介质的性质无关。（4）波速u振动相位（振动状态）在介质中传播的速度。波速完全由介质本身的特性决定。（5）波速u与波长、周期T（或频率）的关系Tu由于/2，所以上式又可以写成2u2．平面简谐波的波动表达式若坐标系原点处质点的振动表达式为0cos()yAt则沿x轴传播的平面简谐波的一般表达式为,cosxyxtAtu（）式中的“”号分别表示波沿x轴正方向和负方向传播，沿x轴正方向传播的波取正号，沿x轴负方向传播的波取负号。应用关系式22/,Tu,可以写出平面简谐波的其它表达式为262,cos2txyxtAT（）,cos2xyxtAt（）,cos()yxtAtkx（）3．波的能量和强度（1）波的能量波动过程也是能量传播的过程。若波沿x轴正方向传播，在波传播的波线上，任一体积元dV所具有的动能、势能及总能量分别为222kp1dddsin2xWWVAtu222kpdddsinx式中是介质的密度。从以上各式可以看出能量是时间t的函数，且具有/ftxu的形式，所以能量以波速u向前传播。体积元的动能和势能是同相位的，二者同时到达最大值，同时为零。（2）波的能量密度单位体积中的能量叫做能量密度，也是时间的函数VWwuxtA222sin能量密度在一个周期内的平均值，叫做平均能量密度，其表达式为22011d2TwwtAT（3）能流密度（波的强度）单位时间内垂直通过面积为S的能量叫做能流。能流在一个周期内的平均值，叫做平均能流，其表达式为uSwP垂直通过单位面积的平均能流，叫做能流密度，也叫做波的强度，其表示式为2221AuuwI4．惠更斯原理惠更斯原理介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子波的波源，而在其后的任一时刻，这些子波的包络就是新的波前。5．波的干涉（1）波的干涉现象若有两列波在空间相遇，相遇区域内的某些地方振动始终加强，而另一些地方振动始终减弱，并形成稳定的、有规律的振动强弱分布的现象。（2）相干条件不是任意两列波相遇都会产生干涉现象的，能够产生干涉现象的波，叫做相干波；它263们的波源，叫相干波源。相干波源的条件是：频率相同、振动方向相同、相位差相同或相位差恒定。（3）干涉加强、减弱的条件设两相干波为1111cosryAtu2222cosryAtu它们的相位差为21212rr当相位差满足2(0,1,2,)kk时，21AAA，干涉加强；(21)(0,1,2,)kk时，21AAA，干涉减弱。式中21为两波源初相位差，12rr为两列波的波程差。6．驻波驻波是由振幅、频率、传播速度都相同的两列相干波，在同一直线上沿相反方向传播时叠加而成的一种特殊的干涉现象。（1）驻波表达式设形成驻波的两列相干波是1cos2()txyAT2cos2()txyAT叠加后形成驻波的波函数（驻波方程）为12222coscosyyyAxtT驻波作为一种特殊的振动，其特殊性体现在其振幅和相位的分布上。（2）驻波的特点1）任一质元的振幅波线上x处的质元作振幅为2cos(2/)Ax的简谐振动。2）波腹和波节的位置凡是满足2cos(2/)1Ax的那些质点，振幅最大，等于2A，这些点称为波幅。所以波幅的位置为,2,1,02kx凡是满足2cos(2/)0Ax的那些质点，振幅最为零，处于静止状态，这些点称为波节。所以波节的位置为(21)0,1,2,4xk所以相邻波腹（或波节）之间的距离为/2。7．多普勒效应因波源或观测者相对介质运动，而使观测者接收到的波的频率0与波源的频率S不264一样，这种现象称为多普勒效应。波源和观测者沿两者连线运动时，多普勒频移的公式为0suuvv式中u为波在介质中的传播速度，、分别是波源的频率和观察者接收到的频率，0v和sv分别为观测者和波源相对介质的速度。当观测者向着波源运动时，0v前取正号，反之取负；波源向着观测者运动时，sv前取负号，反之取正。8．平面电磁波（1）平面电磁波的波动表达式0cosxEEtu0cosxHHtuE与H在量值上的关系HE电磁波的传播速度1u（2）电磁波的能量电磁波所携带的电磁能量称为辐射能。单位时间内通过垂直于传播方向的单位面积的辐射能，称为能流密度或辐射强度。即SEHS也称为坡印廷矢量。五、解题指导及解题示例本章习题的基本类型有：1.根据已知条件，建立简谐波的波动方程；2.计算能量密度，波的强度；3.有关波的干涉问题。例12-1一横波，其波动表达式为0.2cos[(2005)/2]mytx（1）求振幅、波长、频率、周期、波速和初相；（2）分别画出0,0.0025s,0.005sttt时刻的波形曲线。解（1）用比较法求解将给定的波动表达式化为]2)4.001.0(2cos[2.0]2)40(200cos[2.0xtxty上式与标准形式的波动表达式相比cos[2()]cos[2()]txxyAAtTu可得：0.2m,100Hz,40m/s,0.01s,0.4m,/2AuT。用各物理量的物理意义求解：265当cos[(2005)/2]1tx，位移y有最大绝对值，即为振幅m2.0maxyA。[(2005)/2]tx，即为t时刻，x处质点的相位。波长的物理意义：同一时刻，同一波线上相位差为2的两质点的距离。设此两点的坐标分别为21,xx，代入相位表达式12[(2005)/2][(2005)/2]2txtx，得m4.012xx周期是一个完整波形通过某一点所需的时间，或者说相位在空间传播一个波长的距离所需的时间。设1t时刻1x处的相位，在2t时刻传到一个波长远的2x处，即1122[(2005)/2][(2005)/2]txtx，则s01.0404.0)(4011212xxttT频率是单位时间内通过波线上某点的完整波形的数目，或者说是1秒钟时间波在空间上传播了多少个波长。设波1t时刻在1x处，1秒钟后的2t时刻传到2x处，即1122[(2005)/2][(2005)/2]txtx，则21212140(),1sxxttttHz10014.040)(1212ttxx波速又称为相速度，是指相位传播的速度。设1t时刻1x点的相位在2t时刻传到2x点，则1122[(2005)/2][(2005)/2]txtx，波速m/s4052001212ttxxu初相的物理意义为：0t时刻，原点0x的相位。把0t，0x代入相位表达式得初相位/2（2）首先，由解析法画出0t时刻的波形曲线)5sin(2.0)25cos(2.00xxy由于120.0025sT/4,/2ttT，所以分别将0t时刻的波形曲线向x轴正方向平移/40.1m，/20.2m，即可得到s005.0,s0025.021tt时刻的波形曲线，如图12-1所示。简注显然，第一种方法比较简洁，后者较麻烦，但由各物理量的物理意义求解有助于巩固和加深对有关物理概念的理解。例12-2如图12-2a所示为某平面简谐波在0t时刻的波形曲线。求（1）波长、周期、频率；图12-1266（2）a、b两点的运动方向；（3）该波的波动表达式；（4）P点的振动表达式，并画出振动曲线。（5）s25.1t时刻的波动表达式，并画出该波形曲线。a）b）c）d）e）图12-2解（1）由图12-2a可知/20.20m/s，故m40.0s508.040.0uTHz20.01T（2）由于波沿x轴正方向传播，故将0t时刻的波形移动tux，如图12-2b所示，可见，在0t时刻a点沿y轴负方向运动，b点沿y轴正方向运动。（3）设波动表达式为cos[2()]xyAtu由旋转矢量可得/2，如图12-2c。所以波动表达式为)254.0cos(04.0]2)08.0(4.0cos[04.0