第2章-21-211离散型随机变量

2．1离散型随机变量及其分布列2．1.1离散型随机变量●三维目标1.知识与技能(1)理解随机变量及离散型随机变量的含义．(2)会用离散型随机变量描述随机现象．2．过程与方法通过具体实例，感受现实生活中大量随机现象存在着的数量关系，经历概念的形成过程，从而体会概念的内涵．3．情感、态度与价值观体会数学来源于生活，也应该服务于生活，增强学习数学的兴趣．●重点、难点重点：离散型随机变量的概念．难点：用离散随机变量描述随机现象．教学时从具体实例出发，引导学生观察、分析、掌握离散型随机变量的概念，通过例题与练习让学生在应用中更深入理解其概念以强化重点，引导学生通过对用随机变量表示随机试验的结果的理解来化解难点．课标解读1.理解随机变量及离散型随机变量的含义．2．了解随机变量与函数的区别与联系．3．会用离散型随机变量描述随机现象.离散型随机变量【问题导思】(1)抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上，反面向上两种结果，这种试验结果能用数字表示吗？(2)在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗棵数为x，则x取什么数字？【提示】(1)可以，可用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．(2)x＝0,1,2，…10.1．随机变量(1)定义：在随机试验中，确定一个对应关系，使得每一个都用一个表示．在这个对应关系下，随着的变化而变化．像这种随着变化而变化的变量称为随机变量．(2)表示：随机变量常用字母，，，，…表示．2．离散型随机变量所有取值可以的随机变量，称为离散型随机变量．试验结果确定的数字数字试验结果试验结果XYξη一一列出随机变量的概念判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)北京国际机场候机厅中2013年5月1日的旅客数量；(2)2013年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数；(3)2013年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间；(4)体积为1000cm3的球的半径长．【思路探究】判断所给的量是否随试验结果的变化而变化，发生变化的是随机变量．【自主解答】(1)旅客人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(2)所查酒驾的人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(3)动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．(4)球的体积为1000cm3时，球的半径为定值，不是随机变量．随机变量的辨析方法1．随机试验的结果是否具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．2．随机试验的结果的确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．(1)下列变量中，不是随机变量的是()A．一射击手射击一次命中的环数B．标准状态下，水沸腾时的温度C．抛掷两枚骰子，所得点数之和D．某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数(2)10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是()A．取到产品的件数B．取到正品的概率C．取到次品的件数D．取到次品的概率【解析】(1)B中水沸腾时的温度是一个确定值．(2)A中取到产品的件数是一个常量不是变量，B，D也是一个定值，而C中取到次品的件数可能是0,1,2，是随机变量．【答案】(1)B(2)C离散型随机变量的判定指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．(1)某座大桥一天经过的车辆数X；(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；(3)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ.【思路探究】随机变量的实际背景→判断取值是否具有可列性→得出结论【自主解答】(1)车辆数X的取值可以一一列出，故X为离散型随机变量．(2)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．(3)不是离散型随机变量，水位在(0,29]这一范围内变化，不能按次序一一列举．“三步法”判定离散型随机变量(1)依据具体情境分析变量是否为随机变量．(2)由条件求解随机变量的值域．(3)判断变量的取值能否被一一列举出来，若能，则是离散型随机变量；否则，不是离散型随机变量．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ.(1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值．(2)若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后结果都加上6分，求最终得分η的可能取值，并判定η是否为离散型随机变量．【解】(1)ξ0123结果取得3个黑球取得1个白球2个黑球取得2个白球1个黑球取得3个白球(2)由题意可得：η＝5ξ＋6，而ξ可能的取值范围为{0,1,2,3}，∴η对应的各值是：5×0＋6,5×1＋6,5×2＋6,5×3＋6.故η的可能取值为6,11,16,21.显然，η为离散型随机变量．用随机变量表示随机试验的结果写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果．(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；(2)从标有1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和．【思路探究】分析题意→写出X可能取的值→分别写出取值所表示的结果【自主解答】(1)设所需的取球次数为X，则X＝1,2,3,4，…，10,11，X＝i表示前i－1次取到红球，第i次取到白球，这里i＝1,2，…，11.(2)设所取卡片上的数字和为X，则X＝3,4,5，…，11.X＝3，表示取出标有1,2的两张卡片；X＝4，表示取出标有1,3的两张卡片；X＝5，表示取出标有2,3或标有1,4的两张卡片；……X＝11，表示取出标有5,6的两张卡片．1．解答此类问题，关键是要弄清题意，第(1)问中，X＝1,2，…，11所表示的结果不需要分别列出来，只写出X＝i即可．2．在写出随机变量的取值表示的试验结果时，要特别注意，随机变量的一个值表示多个试验结果的情况，不能遗漏某些试验结果．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)一袋中装有5个同样大小的球，编号为1,2,3,4,5，现从该袋内随机取出3个球，被取出的球的最大号码数ξ；(2)电台在每个整点都报时，报时所需时间为0.5分钟，某人随机打开收音机对时间，他所等待的时间ξ分钟．【解】(1)ξ可取3,4,5.ξ＝3，表示取出的3个球的编号为1,2,3；ξ＝4，表示取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4；ξ＝5，表示取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5.(2)ξ的可能取值为区间(0,59.5]内任何一个值，每一个可能取值表示他所等待的时间．随机变量的可能取值搞错小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为1000元，3000元，6000元的奖品(不重复得奖)，小王对三关中每个问题回答正确的概念依次为45，34，23，且每个问题回答正确与否相互独立，用ξ表示小王所获奖品的价值，写出ξ的所有可能取值．【错解】ξ的可能取值为：0,1000,3000,4000,6000,9000,10000.【错因分析】①对题目背景理解不准确：比赛设三关，前一关不过是不允许进入下一关比赛的，而错解中理解为可进入下一关；②忽略题目中的条件：忽略不重复得奖，最高奖不会超过6000元．【防范措施】1.关键：关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及其取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值对应随机试验的结果．2．注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果．【正解】ξ可能取值为：0,1000,3000,6000.ξ＝0表示第一关就没有过；ξ＝1000表示第一关过而第二关没有通过；ξ＝3000表示第一关通过、第二关通过而第三关没有通过；ξ＝6000表示三关都通过．1．随机变量可将随机试验的结果数量化．2．随机变量与函数的异同点：随机变量函数相同点都是一种映射，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域不同点把试验结果映射为实数，即随机变量的自变量是试验结果把实数映射为实数，即函数的自变量是实数3.离散型随机变量可能取的值为有限个或可列举的无限个，或者说能将它的可能取值按一定次序一一列出．1．如果ξ是一个离散型随机变量，则假命题是()A．ξ取每一个可能值的概率都是非负实数B．ξ取所有可能值的概率之和为1C．ξ取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和D．ξ在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和【解析】根据离散型随机变量的特点易知D是假命题．【答案】D2．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是()A．取到产品的件数B．取到正品的概率C．取到次品的件数D．取到次品的概率【解析】取到次品的件数可能为0,1,2是随机的，可作为随机变量．【答案】C3．从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X可能取得的值有________个．【解析】X可能的取值为3,4,5,6,7,8,9，…，19，共有17个．【解析】X可能的取值为3,4,5,6,7,8,9，…，19，共有17个．【答案】174．甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”．用ξ表示需要比赛的局数，写出“ξ＝6”时表示的试验结果．【解】根据题意可知，ξ＝6表示甲在前5局中胜3局且在第6局中胜出或乙在前5局中胜3局且在第6局中胜出.课后知能检测(八)点击图标进入…下列变量中是离散型随机变量的是________．①下节数学课老师提问学生的次数X；②连续不断射击，首次命中目标需要的射击次数X；③将一个骰子掷3次，3次出现的点数之和X；④某工厂加工的某种钢管的外径与规定外径尺寸之差X；⑤笔记本电脑的使用寿命X.【思路探究】先判断是否是随机变量，再判断能否被一一列出来．【自主解答】①～⑤均为随机变量，但在①②③中，X的取值能够一一列出，故是离散型随机变量；在④⑤中，X的取值不能够一一列出，故不是离散型随机变量．【答案】①②③①某座大桥一天经过的中华牌轿车的辆数为X；②某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为X；③一天内的温度为X；④射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用X表示该射手在一次射击中的得分．其中X是离散型随机变量的是()A．①②③④B．①②④C．①③④D．②③④【解析】一天内的温度X变化的范围是连续的，无法逐一列出，它不是离散型随机变量，故选B.【答案】B