第29讲导数的综合应用-曲线的切线

1第13讲导数的综合应用（3）—曲线的切线3.利用导数的几何意义,求切线方程,解决与切线方程有关的问题：曲线yfx在0xx处的切线方程为000yfxfxxx，切线与曲线的综合，可以出现多种变化，在解题时，要抓住切线方程的建立，切线与曲线的位置关系展开推理，发展理性思维.【例1】已知函数yfx在R上是一个连续函数,函数yfx的图象是曲线C,以C上一点00,Axy为切点的切线l,对应的一次函数为ygx,记Fxfxgx,若切线l在点A处穿过曲线C（即动点在点A附近沿曲线()yfx运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧）,则().①00Fx；②00Fx；③函数Fx在0xx处一定没有极值；④函数Fx在0xx处可能有极值其中正确的是（）.（A）①,④（B）①,③（C）②,④（D）②,③【分析及解】这是一个切线穿过曲线的问题,主要研究在切线方程ygx与曲线方程yfx的差所形成的函数Fxfxgx在0xx的状态.因为000Fxfxgx，而以00,Axy为切点的切线l的斜率为0fx,也为0gx,即00fxgx,所以,00Fx,因此①正确;因为切线l在点A处穿过曲线C，则当0xx和0xx时，Fx异号，所以，函数Fx在0xx处一定没有极值，因此③正确。故选B.【例2】(2005湖南卷,文)设0t，点,0Pt是函数3()fxxax与2()gxbxc的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.（Ⅰ）用t表示a，b，c；（Ⅱ）若函数)()(xgxfy在1,3上单调递减，求t取值范围.【分析及解】（I）因为函数)(xf，)(xg的图象都过点,0t，所以0)(tf，即03att.因为,0t所以2ta..,0,0)(2abccbttg所以即又因为)(xf，)(xg在点,0t处有相同的切线，所以).()(tgtf而.23,2)(,3)(22btatbxxgaxxf所以将2ta代入上式得.tb因此.3tabc故2ta，tb，（II）解法1.))(3(23,)()(223223txtxttxxyttxxtxxgxfy.当0))(3(txtxy时，函数)()(xgxfy单调递减.由0y，若txtt3,0则；若.3,0txtt则由题意，函数)()(xgxfy在1,3上单调递减，则(1,3)(,)(1,3)(,).33tttt或2所以.39.333tttt或即或又当39t时，函数)()(xgxfy在1,3上单调递减.所以t的取值范围为(,9][3,).解法2.3223()(),yfxgxxtxtxt2232(3)()yxtxtxtxt因为函数)()(xgxfy在1,3上单调递减，且))(3(txtxy是1,3上的抛物线，所以.0|,0|31xxyy即(3)(1)0,(9)(3)0.tttt解得.39tt或所以t的取值范围为(,9][3,).【例3】(2007湖北卷,理)已知定义在正实数集上的函数21()22fxxax,2()3lngxaxb,其中0a．设两曲线()yfx,()ygx有公共点,且在该点处的切线相同．（I）用a表示b，并求b的最大值；（II）求证：()()fxgx（0x）．【分析及解】（Ⅰ）设()yfx与()(0)ygxx在公共点00()xy，处的切线相同．()2fxxa∵，23()agxx，由题意,()yfx和()ygx在公共点处的函数值相同,切线的斜率也相同.0000()(),()().fxgxfxgx，即22000200123ln232xaxaxbaxax，，由20032axax得0xa，或03xa（舍去）．即有222221523ln3ln22baaaaaaa．把b看作a的函数.令225()3ln(0)2haataa，则()2(13ln)haaa．于是当(13ln)0aa，即130ae时，()0ha；当(13ln)0aa，即13ae时，()0ha．故()ha在130e，为增函数，在13e，∞为减函数，3于是()ha在(0)，∞的最大值为123332hee,即23max3.2be（Ⅱ）设221()()()23ln(0)2Fxfxgxxaxaxbx，只需证明Fx的最小值等于0即可.则()Fx23()(3)2(0)axaxaxaxxx．故()Fx在(0)a，为减函数，在()a，∞为增函数，于是函数()Fx在(0)，∞上的最小值是000()()()()0FaFxfxgx．故当0x时，有()()0fxgx，即当0x时，()()fxgx．【例4】（2008海南、宁夏卷,文）设函数bfxaxx，曲线yfx在点22f，处的切线方程为74120xy．（Ⅰ）求yfx的解析式；（Ⅱ）证明：曲线yfx上任一点处的切线与直线0x和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值．【分析及解】(Ⅰ）方程74120xy可化为734yx．当2x时，122yf．又2bfxax，于是12,272.4ff即1222744baba，，解得13ab，，故3f(x)xx．（Ⅱ）设00Pxy，为曲线上任一点，由231yx知曲线在点00Pxy，处的切线方程为002031yyxxx，即00200331yxxxxx．令0x得06yx，从而得切线与直线0x的交点坐标为060x，．令yx得02yxx，从而得切线与直线yx的交点坐标为0022xx，．4所以点00Pxy，处的切线与直线0x，yx所围成的三角形面积为0016262xx．故曲线yfx上任一点处的切线与直线0x，yx所围成的三角形的面积为定值，此定值为6．【例5】(2007湖南卷,文)已知函数3211()32fxxaxbx在区间[11)，，(13]，内各有一个极值点．（I）求24ab的最大值；（II）当248ab时，设函数()yfx在点(1(1))Af，处的切线为l，若l在点A处穿过函数()yfx的图象（即动点在点A附近沿曲线()yfx运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧），求函数()fx的表达式．【分析及解】（I）因为函数3211()32fxxaxbx在区间[11)，，(13]，内分别有一个极值点，所以2()fxxaxb0在[11)，，(13]，内分别有一个实根，设两实根为12xx，（12xx），则2214xxab，且2104xx．于是2044ab，20416ab，且当11x，23x，即2a，3b时等号成立．故24ab的最大值是16．（II）解法1.由(1)1fab知()fx在点(1(1))f，处的切线l的方程是(1)(1)(1)yffx，即21(1)32yabxa，因为切线l在点(1())Afx，处穿过()yfx的图象，所以21()()[(1)]32gxfxabxa在1x两边附近的函数值异号，则1x不是()gx的极值点．而()gx321121(1)3232xaxbxabxa，且22()(1)1(1)(1)gxxaxbabxaxaxxa．若11a，则1x和1xa都是()gx的极值点．所以11a，即2a，又由248ab，得1b，故321()3fxxxx．解法2.同解法1得21()()[(1)]32gxfxabxa2133(1)[(1)(2)]322axxxa．因为切线l在点(1(1))Af，处穿过()yfx的图象，5所以()gx在1x两边附近的函数值异号，设233()1222aahxxx，由(1)0h,则hx在1x两边附近的函数值同号，因此，1x是()hx的一个极值点，则3(1)21102ah，所以2a，又由248ab，得1b，故321()3fxxxx．【例6】已知函数0,012xaaxxf,该函数图象在点00,xfxP处的切线为l,设切线l交x轴,y轴分别为21,00,yNxM和两点.（Ⅰ）将OMON(为坐标原点)的面积S表示为0x的函数0xS;（Ⅱ）若函数xfy的图象与x轴交于点0,tT,则1x与t的大小关系如何?请证明你的结论;（Ⅲ）若在210x处,0xS取得最小值,求此时a的值及0xS的最小值.【分析及解】(Ⅰ)axxf2.切线l的方程为002021xxaxaxy,20012axxaxy.令0y得0,21020axaxM,令0x,得201,0axN.所以，22000011024axSxOMONxax.（Ⅱ）由012axxf及0x得ax1,即at1.于是taxaxxaxaxaxx122122212100000201.所以，1xt,当且仅当ax10时取等号.（Ⅲ）2020202020402041134123axaxaxaxaxxaxS,由0,0,000xaxS得ax310.当01320ax即ax310时,00xS;当01320ax即ax3100时,00xS,所以ax310时,0xS取得最小值为aa934,6由21310ax得34a,此时32934minaaS.【例7】(2005辽宁卷)函数)(xfy在区间（0，+∞）内可导，导函数)(xf是减函数，且.0)(xf设mkxyx),,0(0是曲线)(xfy在点（)(,00xfx）的切线方程，并设函数.)(mkxxg（Ⅰ）用0x、)(0xf、)(0xf表示m；（Ⅱ）证明：当)()(,),0(0xfxgx时；（Ⅲ）若关于x的不等式),0[231322在xbaxx上恒成立，其中,ab为实数求b的取值范围及a与b所满足的关系.【分析及解】（Ⅰ）曲线)(xfy在点（)(,00xfx）的切线方程为000yfxfxxx，即0000yfxxxfxfx，对照切线方程ykxm，则).()(000xfxxfm（Ⅱ）令.0)(),()()(),()()(00xhxfxfxhxfxgxh则因为)(xf递减，所以)(xh递增，因此，当0)(,0xhxx时；当0)(,0xhxx时.所以0x是)(xh唯一的极值点，且是极小值点，可知)(xh的最小值为0，因此,0)(xh即).()(xfxg（Ⅲ）0,10ab是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.若0)1(,122baxxbaxx即对任意),0[x成立,设2(1)uxxaxb，则当0a,2ax时，2min414