第2章随机变量及其分布.

2019/12/201第二章随机变量及其分布§2.1随机变量及分布函数2019/12/202§2.1.1随机变量观察以下随机试验的结果:例2.1掷一枚色子考察出现的点数,则}6,5,4,3,2,1{试验结果与数之间的恒等映射为:6,...,2,1,)(iiXi例2.2某厂出厂灯泡中抽取一只做寿命试验,记录灯泡的寿命,则}0|{样本点与数之间也有恒等映射)(X2019/12/203例2.4随机从某人群中抽样,观察抽得的人的性别,此时}{},{21男，女我们可以建立样本点与数之间的映射为:0)()(1)()(21女男XXXX定义2.1设是一试验的样本空间,如果对于每一个样本点,规定一个实数)(X这样就定义了一个定义域为的实值函数)(XX,称X为随机变量注意:还有许多试验的结果本身不是实数2019/12/204随机变量的定义随机变量常用X、Y、Z或、、等表示2019/12/205随机变量与普通函数的区别(1)定义域是样本空间,样本空间不一定是实空间;(2)随机变量的取值具有随机性;即试验之前,不知道样本空间中哪一个样本点出现,从而)(X取何值不能确定,而试验之后,)(X才确定取何值;(3)随机变量的取值具有一定的概率;例如61)2)((XP在例2.1中,2019/12/206利用随机变量表示事件有了随机变量的定义之后,我们可以用随机变量落入某个区域来表示随机事件.例如:用“}5,3,1{X”表示打色子的时候“出现奇数点”这一随机事件；用“”1X表示“打出的色子数等于1”这一随机事件.一般情况下，我们可以用})(|{GX表示随机变量取值在G中的样本点构成的事件，简记为)(GX2019/12/207§2.1.2随机变量的分布函数定义2.2设X是随机变量，对任意实数x∈R，定义F(x)＝P(Xx)称F(x)为随机变量X的分布函数.注(1)分布函数的本质是一个概率，即事件{ω|X(ω)x}的概率P(Xx)(2)对任意实数a,b(ab),P(aXb)＝F(b)－F(a)2019/12/208X012P0.10.60.3例2.5已知随机变量X的取值情况如右表，求X的分布函数分布函数的求法()()FxPXx＝0,00.1,010.7,121,2xxxx＝因为分布函数是定义在整个数轴上，所以0122019/12/209可见,此题中,F(x)是一个阶梯型函数)(xFx01122019/12/2010例2.6某射手向半径为R的圆形靶射击一次，假定不会脱靶。弹着点落在以靶心为圆心，r为半径的圆形区域的概率与该区域的面积成正比,设随机变量X表示弹着点与靶心的距离,求X的分布函数,并求概率)434(RXRPRX解:对任意的2)0(],,0[xkxXPRx2019/12/2011例2.621Rk2)0(1RkRXP由题意,(1)0,()()()0xFxPXxP当2222)0()0()()(,0)2(RxRxxXPXPxXPxFRx当1)()(,)3(xXPxFRx当2019/12/2012例2.621])4()43[(1)4()43()434(222RRRRXPRXPRXRPF(x)xF(x)是一个单调不减的函数2019/12/2013定理2.1分布函数的性质1)单调不减性：若x1x2,则F(x1)F(x2);;1)(lim)()(,0)(lim)()(xFXPFxFXPFxx).()(lim)0(000xFxFxFxx3)右连续性：对任意实数x，2)归一性：对任意实数x，0F(x)1且4)对任意的)0()()(000xFxFxXP0x2019/12/2014注:(1),(2),(3)也是分布函数的特征，即任意一个函数G(x)满足(1),(2)和(3)，则G(x)是某个随机变量的分布函数.2019/12/2015§2.2离散型随机变量定义2.3若随机变量X取值x1,x2,…,xn,…且取值的概率P(X=xk)=pk,(k=1,2,…)(2.2.1)称(2.2.1)为离散型随机变量X的分布律或概率分布.可表为表格Xx1x2…xk…Pp1p2…pk…2019/12/2016X~,,,,,,2121kkpppxxx或矩阵2019/12/2017分布律的性质,2,1,01kpk121kkpbxakkpbXaP)(3属于(a,b]中的那些xk所对应的概率的和2019/12/2018利用分布律的性质计算参数例：设随机变量X的分布律为,......4,3,241)(ncnXPn试求常数c.解：由随机变量的性质，得2241)(1nnncnXP411161c12c2019/12/2019例2.7一批产品包括7件正品,3件次品,依次从中不放回取一件产品,X表示取到正品时的抽取次数,求X的分布律,并求P(X2)与分布函数.解:Xp11072971033120741201P(X2)=P(X=3)+P(X=4)=1/152019/12/2020例2.7120141207330721071~X由题意:,1,120/730/710/7,30/710/7,10/7,0)(xF1x21x32x43xx42019/12/2021解:设Ai表示第i个零件不合格,它们之间互相独立.用一台机器独立地制造3个同种零件,第i个零件不合格的概率为1/(i+1),i=1,2,3.以X表示三个零件中不合格品的个数，求X的分布律与分布函数.)()0(321AAAPXP3141)411)(311)(211()(iiAP例2019/12/2022)()()()1(321321321AAAPAAAPAAAPXP2411413221433121433221)()()()2(321321321AAAPAAAPAAAPXP41413121413221433121241413121)()3(321AAAPXP2019/12/2023X~241412411413210,1,24/23,24/17,4/1,0)(xF0x10x21xx332x2019/12/2024§2.2.2常见的离散型分布(1)几何分布定义2.4若随机变量X取值为1,2,…,且,...2,1,)(1kpqkXppkk其中,1,10pqp则称X服从参数为p的几何分布,记为)(~pGX可见,若一个随机变量X表示重复的贝努利试验中,首次成功出现所需的试验次数,则)(~pGX2019/12/2025(2)超几何分布定义2.5设N,n,m为正整数,若随机变量X的分布律为nkCCCkXPpnNknmNkmk,...,1,0,)(则称X服从超几何分布,记为),,(~NmnHX古典概型中,不放回摸球试验,N个球,其中有m个红球,随机从N个球中取n个,取到红球的个数为X,则),,(~NmnHX2019/12/2026(3)二项分布则称X服从参数为n，p的二项分布，记为X~B(n,p)定义2.6设随机变量X的可能取值为0,1，2,…,n，且nkqpCkXPknkkn,,1,0,)(特别地,当n=1时，二项分布X~B(1,p)，即为(0-1)分布.ppX110~2019/12/2027某人独立地射击，设每次射击的命中率为0.02，射击400次，求至少击中目标两次的概率.解每次射击看成一次试验，设击中次数为X，则X~B(400,0.02)X的分布律为400,,2,1,0,98.002.0)(400400kCkXPkkk例2019/12/2028所求概率为)400()3()2()2(XPXPXPXP)1()0(1XPXP997.098.002.040098.013994002019/12/2029二项分布的最有可能次数pqkqkpnkXPkXP111)1()(若X~B(n,p)，则可见,pk是先是随着k的增大而增大，达到其最大值后再随着k的增大而减少.记二项分布的最可能次数为k0otherspnNpnpnpnk],)1[()1(1)1()1(0，和2019/12/2030(4)泊松(Poisson)分布)0(,2,1,0,!)(kekkXPk则称X服从参数为的泊松分布，X~P().定义2.7若随机变量X可能的取值为0,1,2,…,且可证：二项分布以泊松分布为极限分布定理2.2(泊松定理)设随机变量,!)1(limekppCkknnknknn),,(~nnpnBX且满足nnp则2019/12/2031证：二项分布以泊松分布为极限分布左=knknnknnnk)1())(1)...(1(!1knkknnnknnnk)1()1()1)...(1(!ennn)1(lim11得证2019/12/2032P(X2)=1－P(X＝0)－P(X＝1)=1－(1＋8)e－8＝0.996981上例可用泊松定理计算取=np=400×0.02＝8,故近似地有2019/12/2033例2.12某网吧有300台电脑,每台电脑的上网人因各种原因需要网管帮助的概率为0.01,现在有两种方式配备网管:A:配备10名网管,每人负责30台电脑;B:配备8名网管,共同负责300台电脑;(1)证明:方式B比方式A效果好;(2)若只需要方式B下有上网人得不到及时帮助的概率小于0.02,则8名网管可减少至几名?2019/12/2034例2.12证明:设分别为两种方式下有人得不到帮助的概率,则只需证21,pp21ppX为方式A下一名网管负责的30台电脑中任意时刻需要帮助的人数,)01.0,30(~BX设Ai为方式A下一名网管负责的30台电脑中有人得不到及时帮助,i=1,2,…,100361.0)1()0(1)2()(XPXPXPAPi2019/12/2035例2.12注意1021,...,,AAA相互独立,于是1121012101210(...)1(...)1P()P()P()0.3077pPAAAPAAAAAA2019/12/2036例2.12Y为方式B下300台电脑中任一时刻需要帮助的人数,)01.0,300(~BY由于np=3,近似地有)3(~PY于是,查泊松分布表,有0038.0)9()8(2YPYPp(2)设N为使得02.0)1()(NYPNYP的最小的N,查泊松分布表,得N+1=82019/12/2037某商店出售某种商品，具历史记录分析，每月销售量服从参数=5的泊松分布。问在月初进货时，要库存多少件此种商品，才能以0.999的概率充分满足顾客的需要？解用X表示每月销量，则X~P()=P(5)。由题意，要求k，使得P(X≤k)≥0.999，即999.0)1(1)(1)(kXPkXPkXP思考题2019/12/2038001.0999.01)1(kXP这里的计算通过查Poisson分布表得到,=5001.0000698.0)14(XP001.0002019.0)13(XPk+1=14时,k+1=13时,所以，k=13，即月初进货库存要13件.2019/12/2039对离散型随机变量的认识(1)离散型随机变量是通过“分布律”来刻画的；(2)