第2章逻辑代数基础数电最新

逻辑代数的历史1847年，爱尔兰数学家乔治·布尔(GeorgeBoole)创立布尔代数。随着电子技术和计算机技术的发展，布尔代数在数字逻辑电路的分析和设计中得到了广泛的应用，统称为逻辑代数。逻辑-------事物发生的条件和结果之间的规律。逻辑代数去别于普通代数。2019/12/201第2章逻辑代数基础2.1逻辑代数中的三种基本运算2.1.1逻辑代数中的问题1、逻辑代数中的变量和常量2、正逻辑高----1低----0逻辑变量：用大写英文字母表示逻辑常量：取值只有0和1逻辑：逻辑关系中的条件和结论只取对立的两个值（1和0），例如是和非、对和错、真和假、闭合和断开、有和无等等。逻辑的“1”与“0”是逻辑概念，仅代表两种不同的逻辑状态，没有数量大小。逻辑0逻辑1逻辑0逻辑1逻辑0采用正逻辑的数字电压信号2.1.2基本逻辑运算1.与逻辑：当决定某事件的所有条件都具备时，事件才发生的逻辑关系。功能表灭灭灭亮断断断合合断合合与逻辑关系开关A开关B灯Y电源ABY真值表（Truthtable）逻辑函数式与门（ANDgate)逻辑符号与逻辑的表示方法：ABY&000100011011ABBAY功能表灭灭灭亮断断断合合断合合ABYABY开关A开关B灯Y电源或逻辑关系2.或逻辑：决定某事件结果的几个条件中，只要有一个或一个以上具备时，事件就会发生的逻辑关系。BAY或门（ORgate)真值表逻辑函数式逻辑符号011100011011ABYABY≥1非逻辑关系开关A灯Y电源R3.非逻辑：条件具备，事件不发生；条件不具备，事件一定发生的逻辑关系。真值表逻辑函数式AY逻辑符号非门（NOTgate)1001AY1AY(1)与非逻辑(NAND)(2)或非逻辑(NOR)(3)与或非逻辑(AND–OR–INVERT)(真值表如P17表2-4)1110ABY100011011CDABY3AB&1YBAY210002.1.3几种常用的逻辑运算ABY1Y2Y1、Y2的真值表AB2Y≥1AB&CD3Y≥1(4)异或逻辑(Exclusive—OR)(5)同或逻辑(Exclusive—NOR)AB=14YBABABAY4011000011011BAY5=A⊙BABY4ABBA100100011011ABY5AB=5Y总结异或和同或的逻辑关系，并举例。3.逻辑符号对照特定外形符号ABYAY国标符号AB&BAYA1AYABYABBAY≥1国标符号AB&BAYABYAB=1BAYABYABYABBAY≥1特定外形符号2.2.1基本定律（P18)2.2逻辑代数的基本定律和常用公式分配律ACABCBA)()()(CABABCA证明公式))((CABABCA方法一：公式法CBBACAAACABA))((右式BCABACABCBCA)1(左式BCA证明公式))((CABABCA方法二：真值表法(将变量的各种取值代入等式两边，进行计算并填入表中)ABCCBBCABACA))((CABA0000010100111001011101110001000100011111000111110011111101011111相等证明：列出真值表例2-1用真值表证明摩根定律A+B=A•BABA+BA+BABA·B0001101101111000111001001000BAAB(8)ABABAAAAA)()(BBA)1(BA))((BAAAAABA推广2.2.2常用公式CAABBCCAAB(1)ABBABABA(2)DBCB)(DAC)(ACDAB(3)BCAACAAB)(左BCAABCCAABCAAB公式(1)证明：CAABBCDCAAB推论ABBABABABABA左)()(BABABBABBAAAABBA公式(2)证明：即BA=A⊙B同理可证CAABBCCAABAABABAA⊙B6.关于异或运算的一些公式异或同或BABABABAABA⊙BBA=A⊙BBAA⊙B常量和变量的异或运算AA1AA00AA1AA将Y式中“.”换成“+”,“+”换成“.”“0”换成“1”,“1”换成“0”原变量换成反变量，反变量换成原变量2.3逻辑代数的三个基本规则1.代入规则：等式中某一变量都代之以一个逻辑函数，则等式仍然成立。例如，已知BABA(用函数B+C代替B)则CBACBABCA)(2.反演规则：多个变量上的“非”号应保留运算顺序：括号与或,保留原函数运算次序注意:Y例2-3：求0ACCBBAY反演规则的应用：求逻辑函数的反函数将Y式中“.”换成“+”,“+”换成“.”“0”换成“1”,“1”换成“0”原变量换成反变量，反变量换成原变量Y例2-4：求的反函数YEDCBCBAY的反函数Y3.对偶规则：如果两个表达式相等，则它们的对偶式也一定相等。将Y中“.”换成“+”,“+”换成“.”“0”换成“1”,“1”换成“0”)()(CABAYACABYDCABYCDBAY例如对偶规则的应用：证明等式成立(P18,P19除还原律外，它们互为对偶式）0·0=01+1=10AAAA1)(对偶式Y例2-52.4.1逻辑函数的基本概念2.4逻辑函数及其表示方法逻辑函数：如果输入逻辑变量A、B、C∙∙∙的取值确定之后，输出逻辑变量Y的值也被唯一确定，则称Y是A、B、C∙∙∙的逻辑函数。并记作。CBAFY,,在逻辑代数中，用英文字母表示的变量称为逻辑变量。在二值逻辑中，变量的取值不是1就是0。原变量和反变量：字母上面无非号的称为原变量，有非号的叫做反变量。逻辑变量：若两逻辑函数具有相同的真值表，则这两个逻辑函数相等•[例]在举重比赛中有3个裁判员，规定只要2个或2个以上的裁判员认为成功，试举成功；否则试举失败。第二步：状态赋值。对于A、B、C设：“1”表示该裁判员认为成功，“0”表示该裁判员认为不成功。对于Y设：Y=1表示试举成功，Y=0表示试举失败第三步：逻辑关系式为CBAFY,,第一步：设置输入变量和输出函数。3个裁判作为3个输入变量--------A、B、C；输出的逻辑函数------Y;真值表表示法；逻辑函数表达式法；2.4.2逻辑函数的表示方法逻辑图表示法；波形图表示法。卡诺图表示法等；ABCY00000101001110010111011100010111优点：直观明了，便于将实际逻辑问题抽象成数学表达式。缺点：难以用公式和定理进行运算和变换；变量较多时，列函数真值表较繁琐。1.真值表ABCCABCBABCAYABCY00000010010011100101110111010111ABCABCABCABC2.逻辑函数式表示法将逻辑变量用与、或、非等运算符号按一定规则组合起来表示逻辑函数。第一步：写出函数值为1的乘积项；1用原变量表示0用反变量表示第二步：将所有使函数值为1的乘积项相加；CABCABY优点：书写简洁方便，易用公式和定理进行运算、变换。缺点：逻辑函数较复杂时，难以直接从变量取值看出函数的值。化简后：CABCABYABYC&&优点：最接近实际电路。缺点：不能进行运算和变换，所表示的逻辑关系不直观。&ABBCAC≥13.逻辑图表示法输入变量和对应的输出变量随时间变化的波形ABY优点：形象直观地表示了变量取值与函数值在时间上的对应关系。缺点：难以用公式和定理进行运算和变换，当变量个数增多时，画图较麻烦。4.波形图C2.4.3逻辑函数各种表示方法间的相互转换真值表函数式ABCCBAY将真值表中使逻辑函数Y=1的输入变量取值组合所对应的最小项相加，即得Y的逻辑函数式。ABCY00000101001110010111011110000001函数式4.逻辑图ABBABAYABBABA)()(BABBAABABABA0110ABY00011011ABABAABBBAY&&&&例2-7；例2-85、波形图转化真值表（P26)2.4.4逻辑函数的标准形式1.最小项与最小项之和的形式（1）最小项的概念：包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的形式出现一次。)(A,BFY(2变量共有4个最小项)BABABAAB)(A,B,C,DFY(4变量共有16个最小项)(n变量共有2n个最小项)DCBADCBA…DABC…ABCDDCBA)(A,B,CFY(3变量共有8个最小项)CBACBACBABCACBACBACABABCBCACBA,B,CY)(都是最小项吗？1CBA1CBA对应规律：1原变量0反变量（2）最小项的性质：0000000100000010000001000000100000010000001000000100000010000000000001010011100101110111ABCCBACBACBABCACBACBACABABCa任一最小项，只有一组对应变量取值使其值为1；ABC001ABC101b任意两个最小项的乘积为0；c全体最小项之和为1；d任何两个相邻项均可合并成一项并消去一个互补因子。（3）最小项的编号：把使最小项为1对应的变量取值当成二进制数，与之相应的十进制数，就是该最小项的编号，用mi表示。对应规律：原变量1反变量0CBACBACBABCACBACBACABABC00000101001110010111011101234567m0m1m2m3m4m5m6m72）最小项标准表达式CBABA,B,CFY)(CBACBAABCCAB5176mmmmm76,,5,1任何逻辑函数都是由其变量的若干个最小项构成，都可以表示成为最小项之和的形式。)()(AACBCCABY[例]写出下列函数的标准与或式：[解]或m6m7m1m5[例]写出下列函数的最小项表达式：CBADABY)()()(CBDABA)()(CBDBADCBCABA)()()(AADCBBBCACCBADCBADCBACBACBABCADCBADCBADCBADCBADCBADCBADBCABCDAm7m6m5m4m1m0m88014567mmmmmmm)8,7,6,5,4,1,0(mm0与前面m0相重真值表法P282.6逻辑函数的化简方法1.化简的标准（1）乘积项个数最少（2）每个乘积项中变量个数最少卡诺图法公式法2.化简的方法2.6.1公式化简法1.并项法:ABAABBACABABCYBAABBACDDACDCADCAY)D()D(DCCACDCAAD)(CADCA[例][例]（与或式最简与或式）公式定理2.吸收法：AABAABFEABCDABY[例][例CDBCDAABYCDBAAB)(CDABABABBA3.消去法：BABAACBCABAYCBCBACBCBACBA[例][例]ACBABCBY4.配项添项法：BBAABCAACBAABBCAABCCBAABABABCCABY项加AAABABABABCCABABCBCCBAABYABABCABCAB[例][例])()(BCACBAABCABCAAB综合练习：CDDACABCCAY1[例2-10]DDACBCCACDACABCACDABADBCBCCBAY2BADBCBCCBABADBCBCCBABA