第2部分+插值方法

明德新民止于至善插值和数据拟合简介及应用2004年6月至7月黄河进行了第三次调水调沙试验，特别是首次由小浪底、三门峡和万家寨三大水库联合调度，采用接力式防洪预泄防水，形成人造洪峰进行调沙试验获得成功。整个试验期为20多天，小浪底从6月19日开始预泄放水，直到7月13日恢复正常供水结束。小浪底水利工程按设计拦沙量为75.5亿m3,在这之前，小浪底共积泥沙达14.15亿t，这次调水调沙试验一个重要目的就是由小浪底上游的三门峡和万家寨水库泄洪，在小浪底形成人造洪峰，冲刷小浪底库区沉积的泥沙，在小浪底水库1、黄河小浪底调水调沙问题明德新民止于至善陆续开闸放水，人造洪峰于29日先后达到小浪底，7月3日达到最大流量2700m3/s,使小浪底水库的排沙量也不断地增加。表1是由小浪底观测站从6月29日到7月10日检测到的试验数据。现在根据试验数据建立数学模型研究下面的问题:(1)给出估算任意时刻的排沙量及总排沙量的方法。(2)确定排沙量与水流量的变化关系。开闸泄洪以后，从6月27日开始三门峡水库和万家寨水库1、黄河小浪底调水调沙问题明德新民止于至善日期6.296.307.17.27.37.4时间8:0020:008:0020:008:0020:008:0020:008:0020:008:0020:00水流量18001900210022002300240025002600265027002720026500含沙量326075859098100102108112115116表1试验观测数据单位：水流为m3/s，含沙量为kg/m31、黄河小浪底调水调沙问题明德新民止于至善续表1日期7.57.67.77.87.97.10时间8:0020:008:0020:008:0020:008:0020:008:0020:008:0020:00水流量26002500230022002000185018201800175015001000900含沙量118120118105806050302620851、黄河小浪底调水调沙问题2、机床加工问题3、给药方案问题4、化学反应浓度问题明德新民止于至善5、水箱水流量问题5、水箱水流量问题许多供水单位由于没有测量流入或流出水箱流量的设备，而只能测量水箱中的水位。试通过测得的某时刻水箱中水位的数据，估计在任意时刻（包括水泵灌水期间）t流出水箱的流量f（t）。时间（s）水位（10–2E）时间（s）水位（10-2E）03175446363350331631104995332606635305453936316710619299457254308713937294760574301217921289264554292721240285068535284225223279571854276728543275275021269732284269779254泵水35932泵水82649泵水39332泵水8596834753943535508995333974331834459327033405、水箱水流量问题给出上面原始数据表，其中长度单位为E(1E=30.24cm）。水箱为圆柱体，其直径为57E。假设：（1）影响水箱水流量的唯一因素是该区公众对水的普通需求；（2）水泵的灌水速度为常数；（3）从水箱中流出水的最大流速小于水泵灌水速度；（4）每天的用水量分布都是相似的；（5）水箱的流水速度可用光滑曲线来近似；（6）当水箱的水容量达到514.8×103g时，开始泵水；达到667.6×103g时，便停止泵水。一、问题的提出第1类问题：函数y=f(x)表达式未知,但知道其在[a,b]上n+1个互异点xi的值yi=f(xi)(i=0,1,...,n).第2类问题：函数y=f(x)表达式已知,但太复杂,只能计算其在[a,b]上n+1个互异点xi的值yi=f(xi)(i=0,1,...,n).第2部分插值与逼近已知一个数据表格：xx0x1x2…xnyy0y1y2…yn1.问题:如何求函数f(x)的解析式？2.方法:用一个简单而又尽可能光滑的函数y=p(x)f(x)p(x)明德新民止于至善近似代替函数y=f(x),即y=f(x)y=p(x)满足条件p(xi)=yi=f(xi)(i=0,1,...,n)3.插值法的思想4.几何意义.......Oxyx0x1xn-1xn（2）f(x)称为被插函数；说明：（1）p(x)称为f(x)的插值函数；（3）xi称为插值节点,(xi,yi)称为插值点,[a,b]称为插值区间.第2部分插值与逼近若将多项式函数作为插值函数,相应的插值问题称为多项式插值（代数多项式插值）。(1)pn(x)是一个次数不超过n的多项式;二、多项式插值已知一个数据表格：xx0x1x2…xnyy0y1y2…yn求一个多项式pn(x),使其满足如下条件：（2）pn(xi)=yi=f(xi)(i=0,1,...,n)。(2-1)第2部分插值与逼近明德新民止于至善设所要构造的插值多项式为：nnnxaxaxaaxp2210)(由插值条件niyxpiin,,1,0)(得到如下线性代数方程组nnnnnnnnnyaxaxayaxaxayaxaxa101111000100111二、多项式插值第2部分插值与逼近明德新民止于至善nnnnnnxxxxxxxxxD212110200111nijjixx0)(D0，因此，pn(x)由a0,a1,…,an唯一确定。二、多项式插值(1)插值多项式存在性且唯一性!!讨论的问题：(2)如何求插值多项式?(3)插值多项式近似代替f(x)的误差（余项）?第2部分插值与逼近节点互不相同！明德新民止于至善x0x1(x0,y0)(x1,y1)p1(x)f(x)2.1一次插值多项式及误差估计f(x)p1(x)已知数据表格：xx0x1yy0y1(1)p1(x)是一个次数不超过1的多项式;求一个多项式p1(x),使其满足如下条件：（2）p1(xi)=yi=f(xi)(i=0,1)。几何意义!问题的引入：明德新民止于至善(1)一次拉格朗日（Lagrange）插值公式,)(010110101xxxxyxxxxyxp01010110(),().xxxxlxlxxxxx)()()(11001xlyxlyxp称之为节点x0,x1处的拉格朗日插值基函数。称之为一次拉格朗日插值多项式特点？Lagrange法1736-18132.1一次插值多项式及误差)()()(11001xlyxlyxp)(xliiixxxx011,0i2.1一次插值多项式及误差(2)一次牛顿（Newton）插值公式)](,[)()(01001xxxxfxfxp称之为一次牛顿插值多项式(3)线性（行列式）插值公式称之为一次线性插值多项式1100101)()(1)(xxxfxxxfxxxp(4)一次插值的误差截断误差R1(x)=f(x)–p1(x)称为插值多项式的误差定义称000)()(],[xxxfxfxxfkkk为函数f(x)关于点x0、xk的一阶差商(均差)；（余项）。明德新民止于至善设f(x)在区间[a,b]上2阶导数存在,xi[a,b](i=0,1)为2个互异节点,则对任何x[a,b],有)()()(11xpxfxRbaxxxxf,))((!2)(10(且与x有关）2.1一次插值多项式及误差(4)一次插值的误差估计102011,)(max8)()(10xxxxfxxxRxxx特别地))((!2)()(10xxxxfxR))((2)(max1010xxxxxfxxx210]2)()([2)(max10xxxxxfxxx8)()(max20110xxxfxxxx0x1x2f(x)p2(x)f(x)问题提出：2.2二次插值多项式及误差估计p2(x)(1)p2(x)是一个次数不超过2的多项式;已知数据表格：xx0x1x2yy0y1y2求一个多项式p2(x),使其满足如下条件：（2）p2(xi)=yi=f(xi)(i=0,1,2)。几何意义？明德新民止于至善(1)二次拉格朗日（Lagrange）插值公式1200102()()(),()()xxxxlxxxxx0211012()()(),()()xxxxlxxxxx0122021()()().()()xxxxlxxxxx特点？2.2二次插值多项式及误差估计)()()(11001xlyxlyxp)(xliiixxxx011,0i)()()()(2211002xlyxlyxlyxp称之为二次拉格朗日(Lagrange)插值多项式.(2)二次牛顿（Newton）插值公式称之为节点xi(i=0,1,2)处的拉格朗日插值基函数。2.2二次插值多项式及误差估计(1)二次拉格朗日(Lagrange)插值公式),)(](,,[)](,[)()(1021001002xxxxxxxfxxxxfxfxp称之为二次牛顿（Newton）插值多项式.))(()()(1002xxxxCxxBAxp令,则)()](,[)()(001001xxBAxxxxfxfxp明德新民止于至善20210121012)()(1)()(xxxpxxxpxxxpc可验证2,1,0),()(2)(012012ixfxpxpii次的多项式是不高于11001001)()(1)()(xxxfxxxfxxxpa22002002)()(1)()(xxxfxxxfxxxpb1100101)()(1)(xxxfxxxfxxxp2.2二次插值多项式及误差估计(3)逐次线性插值公式二次逐次线性插值多项式明德新民止于至善(4)二次插值多项式的误差估计设f(x)在区间[a,b]上3阶导数存在,xi[a,b](i=0,1,2)为3个互异节点,则对任何x[a,b],有)()()(22xpxfxRbaxxxxxxf),())((!3)(210(且与x有关）2.2二次插值多项式及误差估计明德新民止于至善(1)pn(x)是一个次数不超过n的多项式;已知数据表格：xx0x1x2…xnyy0y1y2…yn求一个多项式pn(x),使其满足如下条件：（2）pn(xi)=yi=f(xi)(i=0,1,...,n)。问题提出：其中li(x)(i=0,1,…,n)是节点xi处的n次拉格朗日插值基函数。2.3n次插值多项式及误差估计(1)n次拉格朗日（Lagrange）插值公式)()()()(1100xlyxlyxlyxpnnn明德新民止于至善0101()()()nnxxxlxlxlx节函点数函数值1000100010,()(0,1,,)1,ijjilxjnji0()()()inlxAxxxx11()()iixxxx其中A为常数.由li(xi)=1可得2.3n次插值多项式及误差估计(1)n次拉格朗日（Lagrange）插值公式明德新民止于至善)())(()(1110niiiiiixxxxxxxxA00()()()()()(0,1,,)niiinxxxxlxxxxxin11()()iixxxx11()()iiiixxxxnijjjijxxxx0,01niinxxx,11ininixxxxxlxlyxpiniin0ininniixxxxy110niinijjjijnyxxxxxp002.3n次插值多项式及误差估计(1)n次拉格朗日（Lagrange）插值公式明德新民止于至善(2)n次牛顿（