第3章刚体力学.

1.自由刚体的自由度内部任何两点的距离在运动中保持不变的物体称为刚体.自由刚体自由度.6s轴线的3个方向角刚体绕该轴线转过的角度.第三章刚体力学若刚体中的任何两点的连线在运动中保持其方向不变,这种运动称为平动.平动中刚体上每一点的位移、速度、加速度和轨道全是相同的,选基点代表整个刚体.在运动过程中,若刚体上有两个点不动,则刚体的运动称为转动.（1）刚体的平动自由度3s（2）刚体的转动2.刚体的两种基本运动:平动和转动刚体的任一运动都可以分解为平动和转动的叠加.转动轴可以在刚体之外,但必须与刚体固连.基点亦可在刚体之外,只要它与刚体固连.若直线始终保持不动,则称为固定转动轴,简称固定轴.若直线只是瞬时不动,则称为瞬时转动轴,简称瞬时轴.若在运动过程中,刚体上有一点始终固定不动,则刚体的运动称为定点运动.1.刚体的一般运动自由刚体作一般运动时自由度6s2.刚体的一般运动可分解为随基点的平动和绕基点的转动若刚体在运动中不受任何限制，则刚体称为自由刚体，这种运动称为刚体的一般运动.va一、欧拉角刚体定点运动的自由度是3,如何选择3个变量,使它们既能简单、明确、单值地确定刚体位置,又能独立变化。欧拉选择3个角度,即著名的欧拉角作为描述刚体定点运动的变量。§3.3欧拉角1.仅φ角改变,保持θ,ψ不变——进动。相应的角速度称为进动角速度。2.仅θ角改变,保持φ,ψ角不变——章动。相应的角速度为章动角速度,为沿节线的单位矢量。3.仅ψ角改变,保持θ,φ角不变——自转。相应的角速度为自转角速度。当3个角同时变化,三种运动同时存在时,体的角速度为3个分角速度的合成。这样选取的3个角θ,φ,ψ称为欧拉角,它们的量度方向如图所示,它们的变化范围分别为：这3个角是独立的。最能说明其独立性的事实是:当任何一个角自由改变时,其他两个角可以保持不变。二、欧拉运动学方程刚体角速度的表达式是一个矢量方程,为了实际计算,必须化为投影方程。它既可以投影到静坐标上进行计算,也可以投影到动坐标Oxyz上进行计算,由于动力学上的原因,我们需要把它投影到动坐标上去。这组方程称为欧拉运动学方程。§3.2刚体运动方程与平衡方程一、空间力系的简化1、力的可传性原理力可沿它的作用线向前或向后移动，刚体运动不因力沿力的作用前后移动而改变。即：作用在刚体上的力是滑移矢量，而不是自由矢量。FF2、平衡力不改变刚体运动状态：刚体上施以一平衡力（等大，反向且作用在同一直线上）刚体运动状态不变。3、力系的简化⑴共点力系：采用平行四边形法则简化为一个单力—合力⑵共面非平行力的简化：利用力的可传性原理，将两力沿力的作用线滑移汇集于一点，再用平行四边形法则简化—合力。(3)平行力的简化力偶臂:力偶中两个力的作用线之间的距离。力偶矩:力偶中任何一个力的大小与力偶臂d的乘积，方向可用右手螺旋定则确定。力偶：等大反向的一对平行力（不在同一直线上）(4)一力向一点简化说明：该力和力偶矩对刚体的作用与原力等效。FAoFAo1F1FAo1FoM一力向一点o简化，得一个力和一个力偶矩，该力等于原力，该力偶矩等于原力对o点之矩。F(5)空间力系向一点简化力系中每一个力都向简化中心简化得一力和力偶矩，这些共点力和诸力偶矩可合成为一个单力和一个单力偶矩，其作用与原力系等效。结论：作用在刚体上的任意空间力系可向简化中心简化得：一个单力—主矢和一个力偶矩—主矩。)......,n21FFF（主矢：主矩：)(1iniiFrMniiFF1二、自由刚体的运动微分方程由质心运动定律(惯性系中)Fdtrdmc22即：zcycxcFzmFymFxm由对质心的动量矩定理(平动质心系中)：①ccMdtJdczczcycycxcxMdtdJMdtdJMdtdJ即：②①、②即为刚体的基本微分方程inieirdFdT1)(③对保守力系TVE④原则上，由以上基本方程，就可以求解刚体问题，还可用动能定理（刚体中各点之间距离不变，合内力做功为0）：刚体动能的微分等于各外力所做的元功之和，即：三、刚体的平衡方程2、平衡方程00000000zyxzyxMMMMFFFF1、平衡条件：刚体的平衡条件是受的主矢和主矩同时为零,若主矢,而主矩，则刚体有转动；若主矢，而主矩,则刚体有平动,故刚体的平衡条件为：。0F0M0F0M0,0MFl2补充例题：有一重2Q的人字形梯子，由两个长为L的均质杆组成，DE处用无重柔绳拉住，放在光滑水平地面上，M处站一重P的人，求平衡时绳子的张力。（已知：AM=ME=1/3L,α）解：（2）受力分析,,2,BCNNQP（3）平衡方程0CzM0,0yxFFABCDEMBNCNQ2P（1）建立o-xyz坐标系xyzo以整体为研究对象受力分析：ABNTQN,,,0,0,0xyAzFFM联立方程(1)、(2)得：31()42TQPctg以AB为研究对象：BNAxNAyNQTAB对C点：22cos2coscos03BlNlQlP(1)0sin32cos2coslTlQlNB对A点：(2)一、刚体做定点运动时对定点的角动量定点O,角速度为。刚体中第个i质点的质量为mi为速度为位矢为。则刚体对O点的角动量为:其中符号表示对刚体中所有质点取和。§3.5转动惯量为了进行投影计算,建立任意坐标系OxyzIxx,Iyy,Izz分别称为刚体对x轴、y轴、z轴的转动惯量,Ixy,Iyz,Izx称为惯量积,统称为惯量系数。现引入符号(1)惯量系数决定于刚体质量对坐标系的分布刚体--连续体,所以取和--积分简化之一:采用与刚体固连的动坐标系，刚体质量相对于它的分布不随时间改变,6个惯量系数将成为常数。坐标系与参考系不一致!(2)角动量和角速度间存在线性变换关系.只要给出一个ω,通过这种变换机制就可求得一个新的矢量L,其大小和方向都不同于原来的L,这种线性变换称为仿射变换可写成矩阵形式9个惯量系数组成的矩阵是一个二阶张量,刚体定点运动对定点的角动量的表达式为：运算方法与矩阵运算方法相同。另外,也可将张量写成并矢形式。并矢由两个矢量并列组成,如等,两个矢量间无运算符号。它的运算规则是以相邻的两个矢量按矢量运算规则进行运算,如一个并矢与一个矢量的点积为：二、惯量张量我们用由9个惯量系数组成的惯量张量描述定点运动刚体的惯性。张量与矩阵不同,矩阵元是单纯的数,不随坐标变化而不同,张量则不同,为了使张量不随描述它的坐标系不同而变化,张量的元素就必须满足一定的坐标变换规则.正如矢量一样,矢量本身不因坐标系而改变,而它的投影必须满足一定的坐标变换规则。这样的若惯量张量的元素满足关系张量称为对称张量。惯量张量是描述刚体绕某一定点运动的惯性的物理量,因此,惯量张量应属于刚体某一点的。三、惯量主轴表达式能否进一步简化,取决于惯量张量能否简化。可以证明通过适当选择坐标系可使惯量张量对角化,即使所有惯量积为零.这样的坐标系称为点的主轴坐标系.对主轴坐标系,惯性张量成为。代表体对主轴坐标系的x,y,z各轴的转动惯量,即此时即为主轴坐标系各轴的单位矢量,为角速度在坐标系上的投影。寻找主轴坐标系属于求本征值和本征矢量问题.主轴坐标系的每一个轴称为固定点的主轴,从(A)式看出:若角速度沿某一主轴方向,则角动量的方向也沿此方向，即有（A）（A）（B）为正的比例系数我们把(B)式作为主轴的另一定义:若刚体绕过定点某轴以角速度转动,而刚体对该点的与方向相同,则此轴就是该点的惯量主轴。将(B)式展开得：这组齐次的线性方程组有非零解的条件为（C）上述方程称为特征方程,它为λ的三次方程,根据由张量元组成的矩阵是实对称矩阵,此特征方程具有3个实根，它们是λ1,λ2,λ3,称为本征值。分别将本征值代回(C)式求出与之相应的角速度矢量ωx,ωy,ωz为相应的本征矢量,它们的方向即3个主轴方向。3个本征值就是刚体对3个主轴的转动惯量,也称主转动惯量。以上所述是寻找本征值和本征矢量的一般数学步骤和方法。对均匀对称的刚体,从刚体质量分布的对称性分析容易找出惯量主轴。让我们先从导出某轴为轴上某点的惯量主轴的充分必要条件。以此点为原点,以此轴为x轴建立直角坐标系(y,z轴方向任意),并设刚体以角速度绕此轴转动,则可见是的充分必要条件。根据此条件,我们能做出这样的重要结论:(1)匀质刚体的对称轴是轴上各点的惯量主轴证明:以对称轴任一点O为原点,对称轴为z轴建立坐标系Oxyz。若有一点,则必有另一点所以z轴为O点的惯量主轴。也是轴上各点的惯量主轴。x(2)与匀质刚体的对称面垂直的轴,是轴与对称面交点的惯量主轴。(3)若坐标系的两个轴是惯量主轴,则第三轴也是惯量主轴。(4)匀质刚体若有旋转对称轴,则以旋转对称轴为一轴的坐标系是主轴坐标系。若选用与刚体固连的主轴坐标系,则为最简单表达式(对角化,且元为常量)。匀质刚体若有旋转对称轴,则可选用以旋转对称轴为一轴的坐标系(不必固连)进行简化。四、刚体做定点运动时的动能所以当利用主轴坐标系时其中为角速度在主轴坐标系上的投影,Ixx,Iyy,Izz为3个主转动惯量。刚体定点运动时的动能还可写成以下形式I为刚体对瞬时轴的转动惯量。此二公式与体定轴转动的动能公式形式相同五、惯量椭球阐明惯量张量的意义及与其相关的几何关系。先研究刚体对过定点的任一个轴的转动惯量的表达式.以刚体固定点为原点建立Oxyz坐标系,过O点的轴的方向余弦为,则刚体对轴的转动惯量为：x考虑到,最后得到即此式还可写成反映了转动惯量随轴的方向变化而改变的规律。说明只要知道固定点的惯量张量,过此点的任何轴的转动惯量都可求得,因而更明确地说明惯量张量是描述刚体绕一点的转动惯性的物理量。用几何图象直观地描述转动惯量轴方向分布的情况,在轴上取一长为R的线段OP,并令R与该轴的转动惯量有如下关系：过定点O有无穷多的轴,这些线段末端(P点)的坐标为：将解出代入考虑到,所以,这些线段末端的坐标应满足以下方程：这是一个二次曲面方程。因转动惯量为有限值,线段长度R不能是无穷大,所以此曲面只能是椭球面。因它反映转动惯量分布情况,故称为惯量椭球。此方程是对原点对称的,固定点处于椭球的中心。说明以下几点:(1)对刚体中不同固定点,有不同的惯量椭球,与惯量张量一样,惯量椭球也是属于刚体中某一点的。(2)椭球一定存在3个对称轴,若以它们为坐标轴,则椭球方程化为标准形，此时，3个惯量积都为零,可见惯量椭球的3个对称轴就是固定点的3个互相垂直的主轴。不管刚体形状如何特殊,对任一点总能找到至少一套相互垂直的主轴。如果,则惯量椭球是一个旋转椭球,此时过点O在xy平面内的任何一根轴都是O点的惯量主轴;如果,则惯性椭球变成圆球,此时过O点沿任何方向的轴都是O点的惯量主轴(3)利用惯量椭球可把和方向间的关系直观地表达出来:设与惯量椭球相交于P点,则此时的方向将沿椭球面上P点的法线方向。在主轴坐标系Oxyz中,椭球面方程为设椭球面上P点的坐标为,已知该点的法线方向平行于函数在P点的梯度方向：只有方向沿惯量主轴时,才与平行。得或因为,可写成从而例题1一匀质薄圆盘能绕其中心O做定点转动,其质量为m,半径为R。已知某瞬时圆盘绕过中心与盘面成角的轴以角速度转动。试求此时圆盘对中心的角动量和圆盘的动能,以及圆盘对此轴的转动惯量。解：以过O点并垂直于盘面的轴为z轴,由角速度与z轴构成的平面与盘面的交线为x轴。由对称性可知,这样建立的坐标系是主轴坐标系。由题设知：所以,圆盘对O点的角动量为角动量与盘面的夹角α为可见角动量的方向与角速度方向不一致。可知圆盘对该瞬时轴的转动惯量为圆盘的动能为也可用另法求此转动惯量例2均匀长方形薄片的边长为与，质量为，求此长方形薄片绕其对角线转动时的转动惯量。abm设薄片的厚度为t,密度为2222Iydmytudy