第3章图象变换

1第3章图象变换在空域中对图象处理直观、简洁，但图象的一些特征从空域中难以直接检测到，需要从其他角度，采用变换方式将图象从空域转换为变换域，利用变换域的特性提取图象的特征，如频率特性、尺度特性等。图象变换广泛应用于图象编码、图象压缩、图象特征提取等领域中。3.1傅里叶变换1.1-D傅里叶变换对一个连续函数f(x)等间隔采样可得到一个离散序列。设共采了N个样，则这个离散序列可表示为{f(0)，f(1)，f(2)，…，f(N–1)}。借助这种表达，并令n为离散实变量，u为离散频率变量，可将离散傅里叶变换对定义为：10()()()exp20,1,,1NnnFFfnfnjNN1101()()()exp20,1,,1NnfnFFFjnNNN每个u值都确定所对应的正弦和余弦对的频率，所以称为频率变量。2.2-D傅里叶变换设图象(,)fmn的大小为MN，2-D傅里叶变换为：1100(,)(,)exp20,1,,1;0,1,,1MNmnmnFfmnjMNMN其反变换为：11001(,)(,)exp20,1,,1;0,1,,1MNmnmnfmnFjmMnNMNMN例实际图象的傅里叶频谱下图给出两幅实际图象和他们的傅里叶频谱图。图(a)的图象反差比较柔和，反映在傅里叶频谱上低频分量较多，频谱图中心值较大（中心为频域原点）。图(b)的图象中有较规则的线状物，反映在傅里叶频谱上也有比较明显的射线状条带。(a)(b)23.卷积定理两个1-D连续函数的卷积定义为：()()()()dfxgxfzgxzz如果f(x)的傅里叶变换是F(u)，g(x)的傅里叶变换是G(u)，那么：()()()()fxgxFG()()()()fxgxFG推广到2-D，两个2-D函数的卷积定义为：(,)(,)(,)(,)ddfxygxyfpqgxpyqpq2-D时的卷积定理为：(,)(,)(,)(,)fxygxyFuvGuv(,)(,)(,)(,)fxygxyFuvGuv设f(x,y)与g(x,y)分别是大小为AB、CD的两个图象，将其周期性扩展为MN，M=A+C-1，N=B+D-1。则f(x,y)与g(x,y)的卷积的2-D傅里叶变换为f(x,y)与g(x,y)的2-D傅里叶变换的乘积，即：(,)*(,)(,)(,)fmngmnFG这样，图象的线性滤波结果可以方便地用图象与滤波器单位响应的2-D傅里叶变换的乘积快速计算。设函数f(x,y)与滤波器单位响应h(x,y)的卷积结果是g(x,y)，即g(x,y)=h(x,y)*f(x,y)，那么根据卷积定理在频域有：(,)(,)(,)GuvHuvFuv其中G(u,v)，H(u,v)，F(u,v)分别是g(x,y)，h(x,y)，f(x,y)的傅里叶变换。然后，通过2-D傅里叶反变换求得滤波器的输出结果：1(,)(,)(,)gxyFHuvFuv4．Gabor滤波一维Gabor函数的富里叶变换为：2201()exp2G当0||1时，12()0.6Ge，此时带宽2，等效带宽2m。二维Gabor函数，采用二进制尺度2-γ伸缩，均匀旋转角度θl，时的富里叶变换为：222,02(,)expsincos0222lllG可见，经过伸缩和旋转的Gabor函数相当于带宽和中心频率都随尺度因子变化的带通滤波器，但带宽和中心频率比不变。设ω0=π，δ=1。当γ=0，1，2，3；θ=0时Gabor滤波器的纵切面如3图(a)，当γ=0，1，2，3；θ=00，300，600，900，1200，1500时Gabor滤波器在幅度为0.5处的横切面如图(b)。带宽和中心频率比：00022222采用γ=0，1，2，3；θ=00，450，900，1350；γ=0，1，2，3的Gabor滤波器对蝴蝶斑纹图象的亮度滤波效果如图（左上角为花斑图像原图）。=00=450=900=1350=0=1=2（a）（b）图（a）Gabor滤波器的纵切面（b）Gabor滤波器在幅度为0.5处的横切面4=3=4图3-1不同尺度和角度的Gabor滤波器滤波效果3.2离散余弦变换2-D离散余弦变换（DCT）和其反变换由以下两式定义：1100(21)(21)(,)()()(,)coscos,0,1,,122NNxxxuyvCuvauavfxyuvNNN1100(21)(21)(,)()()(,)coscos,0,1,,122NNxuyvfxyauavCuvxyNNN其中a(u)由下式定义：1/0()2/1,2,...1NuauNuN2-DDCT的正变换核表达式为：(21)(21)(,,,)()()coscos22xuyvgxyuvauavNNDCT的变换核具有可分离性和对称性，即11(21)(21)(,,,)(,)(,)()cos()cos22xuyvgxyuvgxugyvauaNN例离散余弦变换示例下两图给出离散余弦变换的一个示例，其中左图是一幅原始图象，右图是对左图的离散余弦变换结果（变换幅值）。右图左上角对应低频分量，由图可见，左图中的大部分能量在低频部分。53.3小波变换1．连续小波变换小波变换是利用基本小波的尺度伸缩和位移对信号进行变换。基本小波ψ(x)是具有震荡衰减特性的实值函数，且满足下列条件：()0xdx（3-9）其频谱满足：2|()|||Cd（3-10）小波基函数为：,1()abxbxaa（3-11）其中，尺度参数a0为实数，指示小波基函数的伸缩尺度。位移参数b为实数，指示沿x轴的平移位置。函数f(x)连续小波变换定义为：**,,1(,)(),()()()()fababxbWabfxxfxxdxfxdxaa（3-12）连续小波逆变换为：,201()(,)()fabdafxWabxdbCa（3-13）从滤波器的角度考虑，可以将小波变换看作冲激响应为小波基函数（尺度为a）的滤波器族的响应。记：1()()axxaa1()()()aaaxxxaa小波变换用卷积表示：6(,)()()faaWabfxbxdxfb重构f(x)同样可以由滤波器族的输出经再次滤波后组合而成，即：220011()()()()aaaadadafxfbxbdbfxCaCa因而，不同尺度的小波变换相当于用不同带宽和中心频率的滤波器对信号进行滤波，小波变换系数相当于滤波器的输出。二维函数f(x,y)的连续小波变换定义为：,,(,,)(,)(,)xyfxyabbWabbfxyxydxdy（3-14）,,1(,),xyyxabbybxbxyaaa（3-15）二维连续小波逆变换为：,,301(,)(,,)(,)xyfxyabbxydafxyWabbxydbdbCa（3-16）2.离散二进小波变换（DWT）在实际应用中，需要对小波变换的尺度因子、位移因子进行离散化，用离散的数值计算实现小波变换。取000,jjaabkab，其中001,0,,abjk为整数。离散化的方式：/2,000jjjkxaaxkb特别地，取002,1ab，称二进小波变化。二进小波族：/2,()2(2)jjjkxxk（3-17）二进小波变换系数：/2,,(),()2()(2)jjjkjkDfxxfxxkdx（3-18）在实际应用中，为了减少数据冗余，通常希望小波基之间正交，即：,,,,,jklmjlkm任何2()fxLR都可以表示为：,,jkjkjkfxDx（3-19）7正交小波函数x可以由尺度函数x的伸缩和平移的线性组合生成，而尺度函数x也满足双尺度方程，即某一尺度上的尺度函数可以由下一尺度的自身函数的线性组合生成，满足如下方程：2222nnznnzxhxnxgxn（3-20）其中，h是具有低通特性的传递函数，被称为低通滤波器；g是具有高通特性的传递函数，被称为高通滤波器。h和g为正交镜像滤波器，有如下关系：111nnngh（3-21）根据多尺度分析，fx用有限的尺度函数x和小波函数x的伸缩和平移描述：,,,,1JJkJkjkjkkZjkZfxcxdx（3-22）其中/2,,/2,,,22,,22,JJJkJkjjjkjkcfxxfxxkdxkdfxxfxxkdxkZZ由x和x的二进平移和尺度的正交性，可以算出：*1,,2*1,,2,,jkjnnknjkjnnkncchkdcgkZZ（3-23）用图形表示：及,1,21,2,jkjnknjnknnncchdgkZ（3-24）用图形表示：c0c1d1c2d2……cjdjc0c1d1c2d2……cjdj8式（3-23）用卷积表示：*1,*1,*2,*2,jkjjkjcchkkdcgkkZZ（3-25）其中**hkgk、表示hkk、g的共轭的反转，2k表示仅取偶数。用图形表示：式（3-24）用卷积表示：,11'*'*,jkjjcchkdgkkZ（3-26）其中11''jjckdk、表示11jjckdk、的插值，即1,21,21''0jnjnccnc，1,21,21''0jnjnddnd。用图形表示：1,21,221,211,121''''*jnknjnknjnjmkmjknnnnmchchchchchk举例，Haar小波,0,1/2),1/2,1)ttt1-10,其它，尺度函数1,[0,1)0tt,其它当J=1时，系数1/211,1/211,22(2)(21)/222(2)(21)/2kkcfxxkdxfkfkdfxxkdxfkfk表示2k处fx的均值和细节。3.二维离散小波变换c0↓2c1d1↓2*h*gc0c1d1↑2hg↑2⊕9将一维离散小波变换推广到二维，考虑可分离的尺度函数，用一维小波函数x和尺度函数x的乘积生成，即：,xyxy（3-22）1,xyxy（3-23）2,xyxy（3-24）3,xyxy（3-25）其中，Φ是二维尺度函数，对应信号的低频分量；ψ1、ψ2、ψ3是三个二维小波函数，分别对应信号在x、y方向的低频-高频、高频-低频、高频-高频分量。利用这四个二维基本小波，通过不同尺度的伸缩和平移对图像f(x,y)变换，得到低频分量、xy方向的低频-高频、高频-低频、