第3章时变电磁场.

第3章时变电磁场麦克斯韦方程组3.1边界条件3.2坡印廷定理3.3波动方程3.4时谐电磁场3.5随时间变化的电磁场称为时变电磁场。时变电磁场既是空间的函数，也是时间的函数，这时变化的电场和变化的磁场不再独立存在，出现了由电场和磁场构成的统一电磁场。麦克斯韦概括了前人成果，对宏观电磁场的变化规律加以总结，提出了著名的麦克斯韦方程组。以麦克斯韦方程组为核心的经典电磁理论已成为研究宏观电磁现象和现代工程电磁问题的基础。3.1麦克斯韦方程组3.1.1法拉第电磁感应定律（3.1）这就是法拉第电磁感应定律。tΦdd图3.1穿过导体回路的磁通变化产生感应电动势（3.3）（3.5）式（3.3）和（3.5）为法拉第电磁感应定律的积分形式和微分形式。SSCttSBSBEdddddltBE3.1.2位移电流（3.7）麦克斯韦称为位移电流密度。tdDJ图3.3交流电路中的电容器例3.2如图3.3所示电路，已知平行板电容器的横截面为S，极板间距为d，外加电压为，求导线上的传导电流i和极板间的位移电流id。tUUsin0解平行板电容器间的电场垂直于极板，大小为tdUdUEsin0极板上的电荷密度为，总电荷为tdUEDnSsin000tdSUSqSsin00导线上的传导电流i是由于极板上的电荷q随时间变化导致的，因为有（3.10）tdSUtqicos00dd极板间的位移电流id是由于极板间的电场随时间变化产生的，位移电流密度，则有（3.11）平行板间的位移电流id等于导线中的传导电流i，说明全电流是连续的。tDJdtdSUtESStDSJiddcos000例3.3已知海水的电导率为4S/m，相对介电常数为81。求当f=1MHz时，传导电流与位移电流的比值。假设电场是正弦变化的，可以写成。位移电流密度为传导电流为wtEEmcostEtDJmrdsin0EJc传导电流振幅与位移电流密度振幅的比值为位移电流振幅随着频率的升高而增大，使随频率而变。980000mmrdmcmEEtEJJdmcmJJ3.1.3麦克斯韦方程和边界条件积分形式为（3.13）SCtSDHddJlSCtSBEddl0SSBdqSSDd微分形式为（3.14）（3.15）（3.16）（3.17）tDHJtBE0BD任何电磁场都存在于一定的媒质中，媒质中和的关系及和的关系由本构关系给出。若媒质是线性、各向同性的，有（3.19）式（3.19）称为媒质的本构关系。EDHBEJ3.2边界条件3.2.1边界条件的一般形式磁场切向分量的边界条件或(3.20)电场切向分量的边界条件或(3.21)SJHHn21SJHH2t1t021EEn2t1tEE磁感应强度法向分量的边界条件或（3.22）电位移法向分量的边界条件或（3.23）021BBn2n1nBBS21DDnSDD2n1n3.2.2理想导体表面的边界条件或或或或SJHn1SJH1t01En01tE01Bn01nBS1DnSD1n3.2.3理想介质分界面的边界条件或或或或021HHn2t1tHH021EEn2t1tEE021BBn2n1nBB021DDn2n1nDD例3.4无限大无源区域中，已知其中和是常数，求。ztEzxcos0eeE解tBEztztEtztEztEyyycossinsincos1000z-z-z-edeeeeeH3.3坡印廷定理时变场的一个重要性质是电磁波能在媒质中传播。定义单位时间内穿过与能量流动方向相垂直的单位表面的能量为能流矢量，其方向为该点能量流动的方向。HE-EHHETempwtwtHE能流矢量或坡印廷矢量，用S表示。（3.35）HES例3.5在两导体平板和之间的空气中传播电磁波。已知其中及为常数。求：（1）磁场H；（2）能流矢量S；（3）两导体板表面上面电流密度的分布。xktzdExycossin0eE0zdzxk解（1）（3.36）tBExktzdkExktzddEtxxzxxcossinsincos100000eeEHd（3.37）xktzdkExktxktzdzddExxxxxz22020020cossincossincossineeHES在导体的表面上，法线，则0zzen)sin(000xktdExyzSeHnJ在导体的表面上dz)sin(00xktdExydzSeHnJ3.4波动方程（3.42）上式称为电场E的波动方程。（3.43）上式称为磁场H的波动方程。0222tEE222tHH3.5时谐电磁场时谐电磁场也称为正弦电磁场，指场的每一个分量随时间是正弦变化的。由于任意时变波形都可以用傅立叶变换分解为各种频率的正弦分量之叠加，因此讨论时谐电磁场具有普遍意义。3.5.1时谐场的复数表示法时谐场也称正弦场，指场的每一个分量随时间是正弦变化的。rrxjmxmxEEerryjmymyEEerrzjmzmzEEe电场强度复矢量为（3.46）电场强度瞬时值与电场强度复矢量之间的关系为（3.47）mzzmyymxxmEEEeeeEtm,tjeErERe3.5.2复数形式的麦克斯韦方程组和亥姆霍兹方程复数麦克斯韦方程组的微分形式为（3.48）DBBEDH0jjJ复数形式的波动方程（也称为亥姆霍兹方程）为022EE022HH3.5.3平均能流密度矢量（3.51）上式为用复数表示的坡印廷矢量平均值。HES21Reav例3.6将例3.5中的电场和磁场改写为复数形式，并求坡印廷矢量平均值。xktzdExycossin0eEEHxktzdkExktzddExxzxxcossinsincos0000eeH对应的复数形式为xjkyxzdEesin0eExjkxzjxjkxxxzdkEzddEeeesincos00200eeH坡印廷矢量平均值为zdkExxav2020sin221ReeHES