第3章线性控制系统的能控性和能观性20151015

3.1能控性的定义3.2线性定常系统的能控性判别3.3线性连续定常系统的能观性3.4离散时间系统的能控性与能观性3.5时变系统的能控性与能观性3.6能控性与能观性的对偶关系3.7状态空间表达式的能控标准型与能观标准型3.8线性系统的结构分解3.9传递函数阵的实现问题3.10传递函数中零极点对消与状态能控性和能观性之间的关系3.1能控性的定义1．线性连续定常系统的能控性定义线性连续定常系统：几点说明：()0fxt2．线性连续时变系统的能控性定义线性连续时变系统：能控性的定义与定常系统相同，但是矩阵A(t)和B(t)是时变矩阵，其状态矢量x(t)的转移，与初始时刻t0的选取有关。3.2线性定常系统的能控性判别3.2.1具有约旦标准型系统的能控性判别1．单输入系统具有约旦标准型系统矩阵的单输入系统，状态方程为：或式中(2)(1)为简明起见，下面列举三个具有上述类型的二阶系统，对其能控性加以剖析。即：显然，状态x1不能控。模拟结构图为简明起见，下面列举三个具有上述类型的二阶系统，对其能控性加以剖析。即：显然，状态x2能控，而x1与x2有关，所以两个状态变量都能控模拟结构图为简明起见，下面列举三个具有上述类型的二阶系统，对其能控性加以剖析。即：显然，状态x2能控，而x1与x2有关，所以两个状态变量都能控模拟结构图2．具有一般系统矩阵的多输入系统系统的状态方程为：(12)3.2.2直接从A与B判别系统的能控性1．单输入系统线性连续定常单输入系统：其能控的充分必要条件是由A、b构成的能控性矩阵：(14)2．多输入系统对多输入系统，其状态方程为：其能控的充分必要条件是矩阵：的秩为。(15)因为3.3线性连续定常系统的能观性3.3.2定常系统能观性的判别定常系统能观性的判别也有两种方法，一种是对系统进行坐标变换，将系统的状态空间表达式变换成约旦标准型，然后根据标准型下的C阵，判别其能观性，另一种方法是直接根据A阵和C阵进行判别。1．转换成约旦标准型的判别方法线性时不变系统的状态空问表达式为：现分两种情况叙述如下：(1)A为对角线矩阵(2)这时式(2)用以下形式表示，可有：(3)(4)将式(3)带入输出方程式(4)，得：这时，状态方程的解为：从而(5)P62由式(5)可知，当且仅当输出．矩阵C中第一列元素不全为零时，y(t)中总包含着系统的全部自由分量而为完全能观。2．直接从A、C阵判断系统的能观性当N满秩时，则系统是能观的311113111111XXuyX例：试判别下面系统的能观性　　　　　　　3111,131111C11NCA2244AC解：　　系统能观。,2rankN3.6能控性与能观性的对偶关系能控性与能观性有其内在关系，这种关系是由卡尔曼提出的对偶原理确定的，利用对偶关系可以把对系统能控性分析转化为对其对偶系统能观性的分析。从而也沟通了最优控制问题和最优估计问题之间的关系。3.6.1线性系统的对偶关系有两个系统，一个系统为：另一个系统：为：若满足下述条件，则称与是互为对偶的。3.6.2对偶原理对偶原理是现代控制理论中一个十分重要的概念，利用对偶原理可以把系统能控性分析方面所得到的结论用于其对偶系统，从而很容易地得到其对偶系统能观性方面的结论。3.7状态空间表达式的能控标准型与能观标准型3.7.1单输入系统的能控标准型如果系统是状态完全能控的，即满足：对于一般的n维定常系统：1．能控标准型(1)若线性定常单输入系统：是能控的，则存在线性非奇异变换：(2)(3)使其状态空间表达式(1)化成：(4)其中(5)的各项系数。16若线性定常单输入系统：(6)相应的状态空间表达式(6)转换成：(7)是能控的，则存在线性非奇异变换：(8)其中(9)能观1型(10)(11)的各项系数，亦即系统的不变量。(12)163.7.2单输出系统的能观标准型与变换为能控标准型的条件相似，只有当系统是状态完全能观时，即有：系统的状态空间表达式才可能导出能观标准型。若线性定常系统：是能观的，则存在非奇异变换：(13)(14)1．能观标准型使其状态空间表达式(13)化成：(15)其中(16)(17)(18)取变换阵：(19)能控2型对偶关系2．能观标准型(20)若线性定常单输出系统：是能观的，则存在非奇异变换(21)例：PPT49使其状态空问表达式(20)变换为：(22)其中(23)(24)(25)称形如式(22)的状态空间表达式为能观标准型。2109622010020001001OT3.8线性系统的结构分解3.8.1按能控性分解设线性定常系统(1)是状态不完全能控，其能控性判别矩阵：的秩则存在非奇异变换：(2)将状态空间表达式(1)变换为：(3)其中(4)(5)(6)可以看出，系统状态空间表达式变换为式(3)后，系统的状态空间就被分解成能控的和不能控的两部分，其中n1维子空间：至于非奇异变换阵：(7)3.8.2按能观性分解设线性定常系统：其状态不完全能观的，其能观性判别矩阵的秩(8)则存在非奇异变换：(9)将状态空间表达式(8)变换为：(10)其中(11)(12)(13)可见，经上述变换后系统分解为能观的维子系统：非奇异变换阵R0是这样构成的，取(14)103.9传递函数阵的实现问题3.9.1实现问题的基本概念对于给定传递函数阵W(s)，若有一状态空间表达式∑：则称该状态空间表达式∑为传递函数阵W(s)的一个实现。使之成立3.9.2能控标准型实现和能观标准型实现(1)3.7节已经介绍，对于一个单输入单输出系统，一旦给出系统的传递函数，便可以直接写出其能控标准型实现和能观标准型实现。本节介绍如何将这些标准型实现推广到多输入多输出系统。为此，必须把维的传递函3.9.3最小实现1.最小实现的定义传递函数W(s)的一个实现：如果W(s)不存在其它实现：(9)(10)2.寻求最小实现的步骤传递函数阵W(s)的一个实现∑：为最小实现的充分必要条件是∑(A，B，C)既是能控的又是能观的：这个定理的证明从略。根据这个定理可以方便的确定任何一个具有严格的真有理分式的传递函数阵W(s)的最小实现。一般可以按照如下步骤来进行。1)对给定传递函数阵W(s)，先初选出一种实现∑(A，B，C)：通常最方便的是选取能控标准型实现或能观标准型实现。3.10传递函数中零极点对消与状态能控性和能观性之间的关系既然系统的能控且能观性与其传递函数阵的最小实现是同义的，那么能否通过系统传递函数阵的特征来判别其状态的能控性和能观性呢?可以证明，对于单输入系统、单输出系统或者单输入单输出系统．要使系统是能控并能观的充分必要条件是其传递函数的分子分母间没有零极点对消。可是对于多输入多输出系统来说，传递函数阵没有零极点对消，只是系统最小实现的充分条件，也就是说，即使出现零极点对消，这种系统仍有可能是能控和能观的。对于一个单输入单输出系统∑(A，b，c)欲使其是能控并能观的充分必要条件是传递函数的分子分母间没有零极点对消。(1)(2)本章完3-1判断下列系统的状态能控性和能观测性。系统中a,b,c,d的取值对能控性和能观性是否有关，若有关，其取值条件如何？（1）系统如图所示：abcd++--++---y2x3x4x1xu解：由图可得：343432112332211xydxxxcxxxxxcxxbxxuaxx状态空间表达式为：xyuxxxxdcbaxxxx0100000110001100000043214321（3）系统如下式：xdcyubaxxxxxx00000012200010011321321解：如状态方程与输出方程所示，A为约旦标准形。要使系统能控，控制矩阵b中相对于约旦块的最后一行元素不能为0，故a,b都不等于0.要使系统能观，则C中对应于约旦块的第一列元素不全为0，故有故c,d都不等于0.3-2时不变系统XyuXX111111113113试用两种方法判别其能控性和能观性。解：方法一：2-2-112-2-11ABBM1111,1111,3113CBA系统不能控。,21rankM44221111CACN系统能观。,2rankN方法二：将系统化为约旦标准形。420133113AI212，1-1PPPA11PPPA2222211111则状态矢量：1-111T21212121T1-4-002-1-1113-113-21212121ATT1-0011111121212121BT1-20021-1111-111CT解：构造能控阵：21111AbbM构造能观阵：21111CACN3-10给定下列状态空间方程，试判别其是否变换为能控和能观标准型。x100yu210x311032010x解20131372511MbAbAb2001113179CNCACA3-11试将下列系统按能控性进行分解（1）111,100,340010121CbA解：9310004102bAAbbMrankM=23，系统不是完全能控的构造奇异变换阵RC010301100321RAbRbR，，031100010cR0100011031cR即得1002412301ccARRA0011bRbc121ccRc3-12试将下列系统按能观性进行结构分解111,100,340010121CbA解：2111132195CNCACArankN23，该系统不能观10R构造非奇异变换矩阵10111132001R031111112002R11000010134022211xRARxRbuxu0100ycRxx1线性定常系统的能控性判别2线性连续定常系统的能观性3能控性与能观性的对偶关系4状态空间表达式的能控标准型与能观标准型5线性系统的结构分解总结