第4章n维向量空间

1第4章n维向量空间§4.1n维向量定义1n个有次序的数naaa,,,21所组成的数组),,,(21naaa称为n维向量,这n个数称为该向量的n个分量,第i个数ia称为第i个分量.n维向量可写成一行，称为行向量，也可以写成一列,称为列向量.向量常用黑体小写字母、、、ba等表示,即n维列向量记为naaa21,n维行向量记为),,,(21n.行向量与列向量的计算按矩阵的运算规则进行运算.例设.)1,0,1,0(,)2,4,7,1(,)3,1,0,2(TTT(1)求32;(2)若有x,满足,0253x求.x解（1）32TTT)1,0,1,0(3)2,4,7,1()3,1,0,2(2.)1,2,4,5(T（2）由,0253x得x)53(21])1,0,1,0(5)2,4,7,1()3,1,0,2(3[21TTT.)8,2/7,1,2/5(T在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”称为向量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象.引入坐标系后，又定义了向量的坐标表示式（三个有次序实数），这就是上面定义的3维向量.因此，当3n时，n维向量可以把有向线段作为其几何形象.当3n时，n维向量没有直观的几何形象.§4.2向量组的线性相关性1、向量组的概念若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组.2例如，一个nm矩阵mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211每一列mjjjjaaa21),2,1(nj组成的向量组n,,,21称为矩阵A的列向量组，而由矩阵A的的每一行),,2,1(),,,(21miaaaTiniii组成的向量组m,,,21称为矩阵A的行向量组.反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵。2、线性组合与线性表示定义2给定向量组sA,,,:21，对于任何一组实数skkk,,,21,表达式sskkk2211称为向量组A的一个线性组合,skkk,,,21称为这个线性组合的系数.给定向量组sA,,,:21和向量,若存在一组数,,,,21skkk使,2211sskkk则称向量是向量组A的线性组合,又称向量能由向量组A线性表示(或线性表出).例设).3,0,0,1(),1,4,0,3(),1,2,0,1(21由于212,因此是21,的线性组合.例2n维向量组TnTT)1,,0,0(,,)0,1,0(,)0,,0,1(21称为n维单位坐标向量组，任意一个n维向量Tnaaa),,,(21都能由它们线性表示。3如何判断向量能由向量组m,,,21线性表示？定理1向量能由向量组m,,,21线性表示的充分必要条件是矩阵),,,(21mA的秩等于矩阵),,,,(21mB的秩.例判断向量T)11,1,3,4(1与T)11,0,3,4(2是否各为向量组,)5,1,2,1(1TT)1,1,1,2(2的线性组合.若是,写出表示式.解设,12211kk对矩阵)(121施以初等行变换:1115111312421990330550421000000110421000000110201易见，秩)(121秩.2),(21故1可由21,线性表示，且由上面的初等变换可取,21k12k使.2211类似地，对矩阵),,(221施以初等行变换:1115011312421990430550421000100110421易见,秩,3)(221秩.2)(21故2不能由21,线性表示.3、向量组的线性相关性(一)、线性相关性概念定义3给定向量组,,,,:21sA如果存在不全为零的数,,,,21skkk使,02211sskkk则称向量组A线性相关,否则称为线性无关.注:①包含零向量的任何向量组是线性相关的;②向量组只含有一个向量时，则4（1）0的充分必要条件是是线性无关的；（2）0的充分必要条件是是线性相关的；③仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例；④两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线,三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面.例1设有3个向量(列向量):,421,221,101221不难验证,02321因此321,,是3个线性相关的3维向量.(二)、线性相关性的判定容易看出：向量组)2(,,,21ss线性相关的充必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余1s个向量线性表示.向量组mA,,,:21构成矩阵）（mA,,,21，向量组A的线性相关就是齐次线性方程组02211mmxxx有非零解。定理2向量组m,,,21线性相关的充要条件是它所构成的矩阵),,,(21mA的秩小于向量的个数m；向量组线性无关的充要条件是mAR)(例5讨论n维单位坐标向量组TnTT)1,,0,0(,,)0,1,0(,)0,,0,1(21的线性相关性.解n维单位坐标向量组构成的矩阵5)(21nE,,,100010001是n阶单位矩阵.由,01E知nR)E(，即)(ER等于向量组中向量的个数,故此向量是线性无关的.例已知,1111,5202,7423试讨论向量组321,,及21,的线性相关性.解),,,321(A7514212011213rrrr5502202013252rr,000220201,32)(向量的个数Ar故向量组,,,321线性相关;因前两个向量构成的矩阵的秩为2等于向量的个数，所以，向量组21,线性无关.例判断下列向量组是否线性相关:.11134,1112,5121321解对矩阵)(321,,施以初等行变换化为阶梯形矩阵:1115111312421990330550421000000110421秩,,,32)(321所以向量组321,,线性相关.例9证明：若向量组,,线性无关,则向量组,,亦线性无关.证设有一组数,,,321kkk使60)()()(321kkk（1）成立，整理得0)()()(322131kkkkkk由,,线性无关，故000322131kkkkkk（2）因为110011101,02故方程组（2）仅有零解.即只有0321kkk时（1）式才成立.因而向量组,,线性无关.定理(1)相关向量组增加向量后仍然相关，线性无关的向量组减少向量后仍然线性无关.（2）无关向量组的每个向量增加分量后仍然线性无关.相关向量组减少分量后仍然相关（3）当向量组的维数小于向量的个数时,此向量组必线性相关.（4）若向量组m,,,21线性无关，而向量组,,,1m线性相关,则向量可由m,,,21线性表示，且表示是唯一的§4.3向量组的秩一、两个向量组的等价定义4设有两向量组,,,,:;,,,:2121smBA若向量组B中的每一个向量都能由向量组A线性表示,则称向量7组B能由向量组A线性表示.若向量组A与向量组B能相互线性表示,则称这两个向量组等价.按定义,若向量组B能由向量组A线性表示,则存在),,2,1(,,,21tjkkksjjj使,),,,(21212211sjjjsssjjjjkkkkkk所以,),,,(),,,(2122221112112121stssttstkkkkkkkkk其中矩阵tsijtskK)(称为这一线性表示的系数矩阵.若,nttsnsBAC则矩阵C的列向量组能由矩阵A的列向量组线性表示,B为这一表示的系数矩阵.,),,,(),,,(212221112112121snssnsnbbbbnbbbbbccc而矩阵C的行向量组能由B的行向量组线性表示,A为这一表示的系数矩阵.TsTTmsmmssTmTTaaaaaaaaa2121222211121121所以，矩阵A经初等行变换变为矩阵B，则矩阵A的行向量组与矩阵B行向量组等价；矩阵A经初等列变换变为矩阵B，则矩阵A的列向量组与矩阵B列向量组等价。二、极大线性无关组定义5设有向量组,,,,:21sA若在向量组A中能选出r个向量r,,,21,满足(1)向量组rA,,,:210线性无关;8(2)向量组A中任意1r个向量(若有的话)都线性相关.则称向量组0A是向量组A的一个极大线性无关组(简称为极大无关组).注:含有零向量的向量组没有极大无关组例全体n维向量构成的向量组记作nR,求nR的一个极大无关组.解因为n维单位坐标向量构面的向量组nE,,,21:是线性无关的，又知，nR中的任意1n个向量都线性相关，因此向量组E是nR的一个极大无关组三、向量组的秩定义6向量组s,,,21的极大无关组所含向量的个数称为该向量的秩,记为),,,(21sr.规定:由零向量组成的向量组的秩为0.例nR的秩等于n.三、矩阵与向量组秩的关系定理设A为nm矩阵，则矩阵A的秩等于它的列向量组的秩,也等于它的行向量组的秩.可知，若rD是矩阵A的一个最高阶非零子式,则rD所在的r列就是A的列向量组的一个极大无关组;rD所在的r行即是A的行向量组的一个极大无关组.。以向量组中各向量为列向量组成矩阵后，只作初等行变换将该矩阵化为行阶梯形矩阵，则可直接写出所求向量组的极大无关组；同理，也可以向量组中各向量为行向量组成矩阵，通过作初等列9变换来求所求向量组的极大无关组.例求向量组：T)5312(1α，T)3134(2α，T)7323(3α，T)171514(4α的秩和一个极大无关组定理5若向量组B能由向量组A线性表示,则)()(ArBr.推论1等价的向量组的秩相等.推论2设nssmnmBAC,则)}.(),(min{)(BrArCr推论3设向量组B是有向量组A的部分组，若向量组B线性无关，且向量组A能由向量组B线性表示，则向量组B是向量组A的一个极大无关组.§4.4向量空间一、向量空间与子空间定义7设V为n维向量的集合,若集合V非空,且集合V对于n维向量的加法及数乘两种运算封闭,即(1)若,,VV则V;(2)若,,RV则V.则