第六章IIR数字滤波器的设计

§6-1引言一、DF按频率特性分类可分为低通、高通、带通、带阻和全通，其特点为：（1）频率变量以数字频率表示，，为模拟角频率，T为抽样时间间隔；（2）以数字抽样频率为周期；（3）频率特性只限于范围，这是因为依取样定理，实际频率特性只能为抽样频率的一半。00低通0高通带通00带阻全通二、DF的性能要求（低通为例）0通带截止频率阻带截止频率通带阻带过渡带平滑过渡三、DF频响的三个参量1、幅度平方响应2、相位响应3、群延迟dedejj)()(它是表示每个频率分量的延迟情况；当其为常数时，就是表示每个频率分量的延迟相同。四、DF设计内容1、按任务要求确定Filter的性能指标；2、用IIR或FIR系统函数去逼近这一性能要求；3、选择适当的运算结构实现这个系统函数；4、用软件还是用硬件实现。五、IIR数字filter的设计方法1、借助模拟filter的设计方法（1）将DF的技术指标转换成AF的技术指标；（2）按转换后技术指标、设计模拟低通filter的；（3）将（4）如果不是低通，则必须先将其转换成低通AF的技术指标。2、计算机辅助设计法（最优化设计法）先确定一个最佳准则，如均方差最小准则，最大误差最小准则等，然后在此准则下，确定系统函数的系数。)s(Ha)()(zHsHa§6-2将DF的技术指标转换为ALF的技术指标一、意义AF的设计有一套相当成熟的方法：设计公式；设计图表；有典型的滤波器，如巴特沃斯，切比雪夫等。二、一般转换方法1、2、3、4、ALFDLFALFAHFDHFALFABFDBFALFABSFDBSF三、转换举例例如，一低通DF的指标：在的通带范围，幅度特性下降小于1dB；在的阻带范围，衰减大于15dB；抽样频率；试将这一指标转换成ALF的技术指标。解：按照衰减的定义和给定指标，则有假定处幅度频响的归一化值为1，即这样，上面两式变为由于，所以当没有混叠时，根据关系式模拟filter的指标为6-3ALF的设计ALF的设计就是求出filter的系统函数Ha(S)，使其逼近理想LF的特性，逼近的形式（filter的类型）有巴特沃斯型，切比雪夫型和考尔型等。而且逼近依据是幅度平方函数，即由幅度平方函数确定系统函数。一、由幅度平方函数确定系统函数1、幅度平方函数由于所以其中，是AF的系统函数，是AF的频响，是AF的幅频特性。2、Ha（S）Ha（-S）的零极点分布特点（1）如果S1是Ha（S）的极点，那麽-S1就是Ha（-S）的极点；同样，如果S0是Ha（S）的零点，那麽-S0就是Ha（-S）的零点。所以Ha（S）Ha（-S）的零极点是呈象限对称的,例如：（2）虚轴上的零点一定是二阶的，这是因为ha（t）是实数时的Ha（S）的零极点以共轭对存在；（3）虚轴上没有极点（稳定系统在单位圆上无极点）；（4）由于filter是稳定的，所以Ha（S）的极点一定在左半平面；最小相位延时，应取左半平面的零点，如无此要求，可取任一半对称零点为Ha（S）的零点。3、由确定的方法（1）求（2）分解得到各零极点，将左半面的极点归于，对称的零点任一半归。若要求最小相位延时，左半面的零点归（全部零极点位于单位圆内）。（3）按频率特性确定增益常数。例6-1由确定系统函数。解：所以，极点为零点为均为二阶的。我们选极点-6，-7，一对虚轴零点为的零极点，这样由，可确定出，所以。因此因二、巴特沃斯低通滤波器1、幅度平方函数其中，N为整数，是filter的阶数；为截止频率。当时，则即（1）通带内有最大平坦的幅度特性；（2）不管N为多少，都通过点。)3(2/1dB2、幅频特性1.00N=2N=4N=83、巴特沃斯filter的系统函数由于所以其零点全部在处；即所谓全极点型，它的极点为也就是说，这些极点也是呈象限对称的。而且分布在巴特沃斯圆上（半径为），共有2N点。例如，N=2时，N=3时，4取左半平面的极点为的极点，这样极点仅有N个，即其中，常数由的低频特性决定。则23j21eS34j3[例6-2]导出三阶巴特沃斯LF的系统函数，设s/rad1C解：所以)1(6622111/1)()(jjjHA其极点为因此有取前三个极点，则有,1)0(AK)0(H0a1S2S2S1)S(H23a4、归一化的系统函数如果将系统函数的S,用滤波器的截止频率去除，这样对应的截止频率变为1，即所谓归一化，相应的系统函数称作归一化的系统函数记作例如，对于巴特沃斯filter)S(Han,)SS(K)S(HN1kk0a)N21k221(jCkeSN,,2,1k)21221(10,,)()(NkjkCNkkaneSSSSSKSH如果将低通filter归一化，就称作归一化原型滤波器。三、归一化原型filter的设计数据不论哪种形式（巴特沃斯，切比雪夫）的filter，都有自己的归一化原型filter，而且它们都有现成的数据表可查和设计公式例如，归一化巴特沃斯原型filter的系统函数（这里的S即）为当,增益为1，则有，N=1—10阶的各个系数，如表5-3，P148所示。如果，则E（S）的根。即的极点如表5-5，P150所示。*由归一化系统函数得，只需将S代入即可。SN2210anSSaSa1d)S(H01ad00)S(E/d)S(H0an)S(Han)S(Han)S(HaC/S0a四、设计举例（巴特沃斯filter）1、技术指标2、计算所需的阶数及3dB截止频率将技术指标，代入上式，可得1)102j(Hlg203a15)103j(Hlg203aC])(1/[1)j(HN2C2a])(1lg[10)j(Hlg20N2Ca1])102(1lg[10N2C315])103(1lg[10N2C3解上述两式得：1.0N2C310)102(15.1N2C310)103(1因此，3C1004743.7,8858.5N取N=6，则3C100321.73、的求得查P148，表5-3，可得N=6时的归一化原型模拟巴特沃斯LF的系统函数为3456anS1416202.9S4641016.7S8637033.3S/(1)S(H)1S8637033.3S4641016.72)1S4142135.1S)(1S51763809.0S/[(122)]1S931851652.1S(2)(sHa将S用代入，可得3C100321.7/SS)S(Ha)104504.49S1064003.3S/[101.120923)S(H6328a)104504.49S1058498.13S)(104504.49S1094475.9S(6326326-4冲激响应不变法AF设计完毕以后，还应将变换成H（Z），也就是将S平面映射到Z平面。通常有三种方法：（1）冲激响应不变法；（2）阶跃响应不变法；（3）双线性变换法。我们这里只讨论冲激响应不变法。)S(Ha一、变换原理h（n）为DF的单位冲激响应序列，为AF的冲激响应，冲激响应不变法就是使h（n）正好等于的抽样值，即如果则有上式表明，先对沿虚轴作周期延拓，再经过的映射关系映射到Z平面。二、混迭失真DF的频响并不是简单的重复AF的频响，而是AF的频响的周期延拓，即)t(ha)t(ha)nT(h)n(ha)],n(h[Z)Z(H)],t(h[L)S(HaakaeZkTjSHTzHST)2(1)()S(HaSTeZhaj)Tk2j(HT1)e(H根据取样定理，只有当AF的频响带限于折叠频率以内时，即才能使DF在折叠频率内重现AF的频响，而不产生混叠失真。但是，任何一个实际AF的频响却不是严格带限的，就会产生混迭失真，如下图2T,0)j(HSa)T/j(Ha022三、AF的数字化方法1、一般方法。先，再对抽样，使，最后H（Z）=Z[h（n）]，一般说来过程复杂。2、方法的简化设只有单阶极点，而且分母的阶次大于分子的阶次，可展成如下的部分公式)Z(H)S(Ha)]S(H[L)t(ha1a)t(ha)nT(h)n(ha)S(Ha)S(HaN1kkkaSSA)S(HN1ktSka1a)t(ueA)]S(H[L)t(hk因此，N1kN1knTSknTSka)n(u)e(A)n(ueA)nT(h)n(hkknnZ)n(h)]n(h[Z)Z(H0nN1kkn1TSA)ze(kN1k0nn1TSk)ze(AkN1k1TSkZe1Ak3、几点结论（1）S平面的单极点变为Z平面单极点就可求得H（Z）。（2）与H（Z）的系数相同，均为（3）AF是稳定的，DF也是稳定的。（4）S平面的极点与Z平面的极点一一对应，但两平面并不一一对应。例如，零点就没有这种对应关系。4、修正的H（Z）由于DF的频响与T成反比，当T很小时，DF的增益过高，这样很不好，为此做如下修正：kSSTSkeZ)S(HakA)nT(Th)n(haN1k1TSkZe1TA)Z(Hkkaaj),Tj(H)kT2jTj(H)e(H[例6-3]AF的系统函数为，试用冲激响应不变法，设计IIRDF，T=1解：设T=1，3S11S1)S(HaT31T1eZ1TeZ1T)Z(H42311311T3111eZ)ee(Z1)ee(ZeZ11eZ11)Z(H08315679.0e,049789068.0e,367879441.0e431211Z01831.0Z4177.01Z3181.0)Z(H6-5双线性变换法通常，信号大都为时限的，据信号理论可知，时限信号变换到频域，将变成非带限信号，系统也遵循这一原则。这样当用冲激响应不变法设计DF时，不可避免的产生混叠失真。为了克服混叠失真，可采用双变换法。这种方法的基本思想是，先将S平面中非带限的所设计的系统函数变换到平面，并使其为带限的，然后再转换到Z平面。1S一、变换原理在S平面与Z平面的映射关系中,我们知道，S平面中一条宽为（如到）的横带就可以变换到整个Z平面.因此，可先将整个S平面压缩到一个中介的平面的一条横带里，再通过将此横带变换到整个Z平面上。这样就使S平面和Z平面是一一映射关系。如下图所示：1ST2TTTSeZ1时，将由经过0变到由上图可知，将S平面进行压缩，实际上，就是将其轴压缩到平面的轴上的到的范围内。这可通过正切变换实现：1Sj1jTT)2(1TtgC其中C为任意常数。由上式可知，当由经过0变到1TT通过欧拉公式，可得：CeeeejTjTjTjTj22221111上式表示两个线性函数之比，称作线性分式变换，若用S表示Z，可得：将上式关系延拓到整个S和平面，则有：1SCeeSTSTS1111借助于平面和Z平面的映射关系：，可以得到：1STSeZ1111111ZZCZZCSSCSCZ可见，也是线性分式变换（函数），这样()间的变换是双向的，故称作双线性变换ZS二、S平面与Z平面的映射关系由于jCjCSCSCZ可得：2222_)(_)(CCZ（1）当时，；这就是说，S平面的轴映射Z平面的单位圆上。01Zj（1）当时，上式的分母大于分子，则有；这表明S左半平面映射到Z平面的单位圆内。两者均是稳定的。01Z三、变换常数C的选择由于，所以只有当很小（一般），和之间才存在线性关系，即：)2(1TtgCT13.01