第六章定积分应用

1第六章定积分应用一、定积分应用的类型及定积分的元素法1、基本内容：本章是利用定积分理论来分析解决几何学和物理学中的一些问题，进而掌握用元素法（微元法）求解问题的基本思想。几何问题包括：平面图形的面积；旋转体的体积；平行截面面积为已知的立体的体积；平面曲线的弧长。物理问题包括：变力沿直线作功（含吸水和将水中物体提出）；铅直放入水中的平板所受压力；细棒对质点的引力。2.构造微元的基本思想及解题步骤（1）构造微元的基本思想无论是几何应用还是物理应用通常采用元素法。元素法的实质是局部上“以直代曲”、“以不变代变”、“以均匀变化代不均匀变化”的方法，其“代替”的原则必须是无穷小量之间的代替。将局部],[],[badxxx上所对应的这些微元无限积累，通过取极限，把所求的量表示成定积分badxxf)(。(2)元素法是应用定积分求具有可加性几何量和物理量的重要方法，具体步骤如下：①根据实际问题，先作草图，再选取适当的坐标系和积分变量(例如x为积分变量)，并确定其取值区间；②在积分区间[ba,]上，任取一个小区间，如[dxxx,]，dx很小，故运用“以直代曲”，“不变代变”等思想，求出欲求量U的元素dxxfdU)(；③对元素进行积分，得badxxfU)(，并应用微积分基本公式计算出U值.注意()dUfxdx中不能出现dx的其它幂次，如2dx；正确找出dxxfdU)(是求总量U的关键.二、定积分在几何上的应用1平面图形的面积（1）直角坐标系下的面积①设平面图形由连续曲线)(xfy，)(xgy，ax和bx)(ba围成，则面积A()bayydx上下.②设平面图形由连续曲线)(ygx，)(yhx，cy和dy)(dc围成，则面积A()dcxxdy右左.（2）极坐标系下的面积设曲边扇形由连续曲线)(及射线,(0)围成,则面积2dA)(212.2平行截面面积)(xA（bxa）为已知的立体体积badxxAV)(.3旋转体的体积①设由ax，bx(0)ab，x轴和连续曲线()0yfx所围成的曲边梯形设为G。G绕x轴旋转所形成的旋转体的体积为dxxfVbax)(2；②设由cy，dy(0)cd，y轴和连续曲线()0xy所围成的曲边梯形设为H，H绕y轴旋转所形成的旋转体的体积为dyyVdc)(24曲线弧长①直角坐标方程)(xfy)(bxa,则弧长公式dxySba21.②参数方程)()()(ttyytxx，则弧长公式Sdttytx)()(22.③极坐标)()(,则Sd)()(22三、几何应用典型例题【例1】求由0yx，xxy22所围成图形的面积。【例2】过曲线3(0)yxx上的点A作切线，使该切线与曲线及x轴所围成的平面图形的面积为34，求点A的坐标。【例3】求曲线cos3及cos1所围成的在原点侧图形的面积。解：画草图，求得极坐标下交点)0,0(，)3,23(和)3,23(。由图形的对称性，仅考虑x轴上方部分的面积的计算方法。选为积分变量，变化范围是]2,0[。从而，所求面积ddA223230)cos3(21)cos1(21245【例4】假设曲线21:1Lyx与x轴、y轴所围的平面图形D，被曲线22:Lyax分成面积相等的两部分，其中0a为常数，试确定的a的值。【例5】设由曲线xysin（20x），1y及0x围成平面图形A，试分别求平3面图形A绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积。【例6】设由曲线xysin（20x），2x及0y围成平面图形A，试求平面图形A绕直线21y旋转而成的旋转体的体积。【例7】计算底面是半径为2的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体的体积。【例8】计算半立方抛物线32)1(32xy，被抛物线32xy截得的一段弧的长度。【例9】求星形线tax3cos，tay3sin的全长.【例10】求心形线(1cos)(0)aa的全长.四、定积分在物理上的应用与典型例题：定积分的物理应用包括作功、水压力和引力等问题。本节仅给出作功、水压力和引力问题的例子。重点强调应用元素法如何确定功元素、水压力元素和引力元素。特别指出的是，在应用定积分解决物理应用方面的问题时，选取合适的坐标系，有利于积分式的简化，从而实现计算简单。【例1】一底为8厘米，高为6厘米的等腰三角形片，铅直沉入水中，顶在上，底在下，底与水平面平行，顶距水面3厘米，求每面所受的压力。【例2】将半径为R的半球形水池内注满水，若将满池水全部抽出，需作多少功？【例3】为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口，已知井深m30，抓斗自重N400，缆绳每米重50N，抓斗抓起的污泥重N2000，提升速度为sm3，在提升过程中，污泥以sN20的速度从抓斗缝隙中漏掉．现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功．（说明：(1)JsNmJmN,,,;111分别表示米，牛顿，秒，焦耳．(2)抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计）．【例4】用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比，在击第一次时，将木板击入木板1cm，如果木板每次打击铁钉所做的功相等，问锤击第二次时，铁钉又击入多少？【例5】在平面上,有一条从点(a,0)向右的射线,线密度为,在点(0,h)处（其中h0）,有一质量为m的质点.求射线对该质点的引力.【例6】有一半径为r的均匀半圆弧，质量为m，求它对位于圆心处的单位质量质点的引力。【例7】一质量为M长为l的均匀细杆AB，在AB的延长线上且与B的距离为r处有一质4量为m的质点.（1）求杆AB对质点的引力，（2）当质点在AB的延长线上从与B端距离为1r运动到2r处时，求克服引力所需作的功.